利用幾何畫板提升“幾何直觀”核心素養(yǎng)的探索

李衛(wèi)星

【摘要】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”[1]幾何直觀實(shí)際上就是在“數(shù)學(xué)—幾何—圖形”關(guān)系鏈中讓我們感悟到的最大好處.幾何畫板能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、運(yùn)行變化規(guī)律，理應(yīng)承擔(dān)提升學(xué)生幾何直觀能力的作用，我們以浙教版九上數(shù)學(xué)第3章“圓的基本性質(zhì)”為例進(jìn)行了若干探索.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；幾何直觀；圓的基本性質(zhì)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中將“幾何直觀”列為十大核心概念之一，也是初中生所必備的核心素養(yǎng)之一.它本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象力.“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.”[1]幾何直觀包含兩方面內(nèi)容：一是幾何，主要指圖形；二是直觀，不僅僅指直接看到的圖形，更重要的是借助看到的圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，是一種方法、途徑，也是一種數(shù)學(xué)意識(shí).正如希爾伯特在《直觀幾何》一書中的序言里寫到的：“要幫助我們的學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來理解我們得到的結(jié)果和記憶我們的結(jié)果.”[2]因此，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、發(fā)揮幾何直觀性的教學(xué)價(jià)值，是我們研究幾何的重要內(nèi)容之一.

幾何畫板能動(dòng)態(tài)展示圖形對(duì)象的位置關(guān)系與變化規(guī)律，對(duì)于幾何直觀的作用是無可比擬的.“圓的基本性質(zhì)”是浙教版九上的內(nèi)容，是幾何領(lǐng)域的典型代表，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此，引入幾何畫板有利于縮小學(xué)生對(duì)幾何的距離感，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和促進(jìn)知識(shí)理解有著重要的作用.

一、凸顯過程，直觀分析動(dòng)態(tài)變化的本質(zhì)

傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)化圖形教學(xué)，只能通過教師的語言描述或由學(xué)生對(duì)一些靜態(tài)圖形進(jìn)行抽象分析，而PPT等課件最多只能為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)“一閃而過”的動(dòng)畫過程.而幾何畫板的“追蹤”功能能直觀形象地把圖形運(yùn)動(dòng)的每一個(gè)時(shí)刻展現(xiàn)給學(xué)生，為揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)能起到很好的作用.

【案例1】圓的定義的產(chǎn)生過程.

浙教版教材是用點(diǎn)的軌跡來定義圓的，我們點(diǎn)擊下圖中的“動(dòng)畫點(diǎn)”這一按鈕，就形成了線段OA（定長(zhǎng)）繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O（定點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)一周的動(dòng)態(tài)過程.在運(yùn)動(dòng)過程中，觀察到以下結(jié)論：動(dòng)點(diǎn)A與定點(diǎn)O之間的距離始終不變.還可以“擦除追蹤蹤跡”后，改變定長(zhǎng)OA，重復(fù)演示.

以上直觀的演示過程，向?qū)W生展示了清晰而完整的圓的產(chǎn)生過程，把最本質(zhì)的東西（圓的半徑的不變性）保留并呈現(xiàn)給學(xué)生，直觀的刺激為學(xué)生的進(jìn)一步思考留下了痕跡，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念的理解.

二、數(shù)形結(jié)合，直觀展示數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系

數(shù)形結(jié)合是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，用圖形解釋抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象既形象又直觀.我們借助幾何畫板中的動(dòng)畫功能進(jìn)行即時(shí)動(dòng)態(tài)操作演示，在演示的過程中進(jìn)行觀察、討論，讓學(xué)生通過觀察比較來加深對(duì)知識(shí)的理解.

【案例2】圓心角定理的形成.

如圖所示，選中A點(diǎn)，并拖動(dòng)A點(diǎn)，觀察在圓心度數(shù)不變的前提下，弦AB的長(zhǎng)度、AB的度數(shù)及長(zhǎng)度有怎樣的變化？拖動(dòng)C，改變圓心角∠AOB的大小，重復(fù)操作，結(jié)論又如何？（由此猜想發(fā)現(xiàn)圓心角定理）

通過直觀演示，猜想在同圓或等圓中，兩個(gè)相等圓心角所對(duì)的兩段弧、兩條弦之間的相等關(guān)系，為下一步的演繹推理論證奠定基礎(chǔ).

三、題組變式，直觀對(duì)比問題異同促轉(zhuǎn)化

幾何畫板因其操作簡(jiǎn)便能隨時(shí)改變題目進(jìn)行變式訓(xùn)練，把一些類似但又不相同的題目進(jìn)行歸類，通過對(duì)比教學(xué)，以求促進(jìn)一類問題的解決，進(jìn)而達(dá)到較好的教學(xué)效果.

【案例3】一個(gè)圓中的多解問題的探究.

【問題】如圖，直線AB經(jīng)過⊙O的圓心，且與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，已知∠AOC=30°，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），直線PC與⊙O相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P在直線AB的什么位置時(shí)，QP=QO？這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并相應(yīng)地求出∠OCP的度數(shù).

【變式】點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而，點(diǎn)P與線段OA有三種位置關(guān)系：在線段OA上，在線段OA的延長(zhǎng)線上，在線段OA的反向延長(zhǎng)線上.分三種情況進(jìn)行分類討論.

通過幾何畫板對(duì)動(dòng)點(diǎn)P的位置改變，自然而然地找到了P點(diǎn)與線段OA三種位置關(guān)系的分類點(diǎn)，在黑板上是達(dá)不到這種效果的.

四、探究結(jié)論，直觀演示動(dòng)態(tài)變中求不變

幾何畫板能在動(dòng)態(tài)背景問題的探究中，顯示變中的不變關(guān)系，為學(xué)生搭建了一個(gè)觀察、分析、找出問題結(jié)論的平臺(tái).在“圓的基本性質(zhì)”一章中的許多定理、性質(zhì)，在得出結(jié)論之前，可用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生觀察、分析、歸納出所需結(jié)論，有時(shí)也可在定理證明后進(jìn)行演示，使學(xué)生理解更深刻.

【案例4】圓周角定理的探究與深化.

（1）復(fù)習(xí)提問圓心角定理（略）.

（2）提出探究問題：在圓周上取一點(diǎn)C，度量∠ACB；拖動(dòng)點(diǎn)C，∠ACB的大小會(huì)變化嗎？∠ACB與∠AOB的大小有什么關(guān)系？

（3）拖動(dòng)點(diǎn)A，B，你的發(fā)現(xiàn)還正確嗎？

通過觀察、計(jì)算、分析、比較、歸納，得到圓周角定理的猜想.

（4）深化：拖動(dòng)點(diǎn)C至⊙O外或圓內(nèi)，猜想∠ACB與所夾的弧AB與EF有怎樣的關(guān)系？

引導(dǎo)學(xué)生觀察、計(jì)算、分析、比較、猜想、發(fā)現(xiàn)與證明得出圓外角、圓內(nèi)角性質(zhì).

五、幾何畫板助力學(xué)生構(gòu)建幾何直觀的三種教學(xué)形式

（一）課堂演示型：直觀助力學(xué)生思考

用幾何畫板進(jìn)行課堂演示，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)明直觀地呈現(xiàn)，能有效地幫助學(xué)生數(shù)學(xué)地思考知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.幾何畫板的動(dòng)態(tài)變化能將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，把運(yùn)動(dòng)變化過程呈現(xiàn)給學(xué)生，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

【案例5】圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究.

問題1：如圖所示，O是△ABC外一點(diǎn)，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

問題2：△ABC在繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，哪些量不變？哪些量改變了？

以上整個(gè)過程直觀地展現(xiàn)了變中找不變的過程，而這個(gè)不變就是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

（二）自主操作型：直觀反饋學(xué)生思維

幾何畫板為發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)提供了可能，通過動(dòng)態(tài)化為學(xué)生“做”數(shù)學(xué)提供了必要工具，能自主地在“問題空間”內(nèi)探索，凸顯了數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，既有個(gè)別化學(xué)習(xí)，又能較好地小組學(xué)習(xí).教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一些試探性問題，將更多的探索、思考的任務(wù)交給學(xué)生，使學(xué)生根據(jù)動(dòng)態(tài)圖形得出概括性的結(jié)論.

【案例6】垂徑定理的自主探究.

問題1：垂徑定理的理解.

“垂徑”是指，它.

問題2：垂徑定理的變式.

問題3：垂徑定理的反例.

通過提綱，結(jié)合幾何畫板構(gòu)建變式與反例，從而促進(jìn)真正理解定理，掌握垂徑定理的使用條件.

（三）互動(dòng)合作型：協(xié)作提升幾何直觀

教師首先向?qū)W生提出本教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)、任務(wù)及相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生根據(jù)自身情況選擇相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，各取所需，教師及時(shí)進(jìn)行輔導(dǎo)答疑.可分三個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)：學(xué)生先獨(dú)立學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑，內(nèi)化目標(biāo)；再實(shí)踐探索、合作交流，師生共同探疑；最后歸納梳理，師生共同揭疑.

【案例7】定理“不在同一直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的探究.

問題1：經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)能作多少圓？

問題2：經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B能作多少個(gè)圓？你認(rèn)為圓心在怎樣的一條直線上？

問題3：一個(gè)破損的輪子如圖所示.現(xiàn)要重新澆鑄一個(gè)，需先畫出輪子的輪廓線（圓）.怎樣畫這個(gè)圓？試一試，并作出這個(gè)圓.

（1）設(shè)計(jì)問題的解決方案：由問題2知道經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線上，故只需在大圓弧上找出四個(gè)點(diǎn)，畫兩條弦，它們中垂線的交點(diǎn)即是圓心的位置.

（2）問題的發(fā)展：教師在肯定的基礎(chǔ)上提出新問題，有沒有比（1）中更簡(jiǎn)單的方法？將四個(gè)點(diǎn)改為三個(gè)點(diǎn)如何？

（3）新的解決方案：讓學(xué)生通過直尺、圓規(guī)進(jìn)行方法上的驗(yàn)證.

（4）問題梳理：引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述.

這樣，在教師提出問題，學(xué)生的自主探索中，不斷發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，最終促成定理的發(fā)現(xiàn).

六、結(jié)束語

盡管“圓的基本性質(zhì)”一章綜合度較大，幾何畫板的介入，使得學(xué)生有足夠的時(shí)空參與探究與交流，經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的過程，明顯提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)，在應(yīng)用幾何畫板教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注意信息呈現(xiàn)的適切性，注意幾何畫板只是幫助學(xué)生思考，而不能代替學(xué)生的思考.幾何直觀作為2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的核心概念，其研究仍處于起步階段，許多問題仍未能得到有效解決，本文總結(jié)了一些不成熟的做法，旨為同行們拋磚引玉.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·九年級(jí)上冊(cè)[M].杭州：浙江教育出版社，2014.