關(guān)于對(duì)勾函數(shù)的探討

劉小樹(shù)

形如f（x）=ax+bx，其中a>0，b>0，稱(chēng)為對(duì)勾函數(shù).對(duì)勾函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中游離在基本初等函數(shù)外的但又經(jīng)?？疾榈暮瘮?shù)，在我們的教材中沒(méi)有正式引入教學(xué).對(duì)于剛剛進(jìn)入高一的學(xué)生，總是顧此失彼，產(chǎn)生各種錯(cuò)誤，其原因大多是很多學(xué)生對(duì)于對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律掌握不好，特別是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)及圖像變化趨勢(shì).為此筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)課，主要通過(guò)特例函數(shù)f（x）=x+2x，結(jié)合研究基本初等函數(shù)的圖像、性質(zhì)的方法，利用函數(shù)圖像的疊加，從基礎(chǔ)方法啟發(fā)，和學(xué)生一起探討，希望對(duì)高中初學(xué)者有很好的啟發(fā)作用，最后總結(jié)一般性質(zhì)和圖像，從而能夠突破理解運(yùn)用的瓶頸.

一、研究f（x）=x+2x單調(diào)性質(zhì)

定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），由于是奇函數(shù)，所以只要研究（0，+∞）的函數(shù)單調(diào)性，其值域就迎刃而解.

設(shè)x1>x2>0，則f（x1）-f（x2）=x1+2x1-x2+2x2=（x1-x2）x1x2-2x1x2，（*）

學(xué)生的困難主要是如何確定x1x2-2的符號(hào).

教師：如何確定x1x2-2的符號(hào)呢？?jī)蓚€(gè)數(shù)的乘積和一個(gè)正數(shù)如何比較大小呢？

學(xué)生1：若從x1>x2>0，可得x21>x1x2>x22>0，下面如何比較就看不出來(lái)了.（很多學(xué)生面帶難色，緊鎖眉頭，思考起來(lái)了）

教師：我們知道可以通過(guò)作差與0比較大小，能不能先找個(gè)零界點(diǎn)來(lái)嘗試呢？

學(xué)生：變形得x21-2>x1x2-2>x22-2，令x21-2=0或x22-2=0，則容易得x1=2或x2=2，找到了零界點(diǎn)，但不知道如何去用？

教師：（啟發(fā)）當(dāng)x1，x2都與2有關(guān)，那么x1，x2取值與x1x2-2有什么關(guān)系呢？這和我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)很類(lèi)似呢？

學(xué)生：（恍然大悟）一元二次方程根的分布的判斷.（一名學(xué)生舉手示意要回答這個(gè)問(wèn)題）

學(xué)生2：（胸有成竹，很自信的樣子）

∵x1>x2>2，∴x1x2>x22>2，f（x1）-f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2），（2，+∞）為增區(qū)間；

∵2>x1>x2>0，∴2>x21>x1x2>0.

（這名學(xué)生一氣呵成）結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)我們?nèi)菀椎玫剑?∞，2），（2，+∞）為遞增區(qū)間，（-2，0），（0，2）為遞減區(qū)間.（掌聲熱烈）

教師：學(xué)生2善于聯(lián)想，分類(lèi)分得很好.只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)都比2大時(shí)，乘積比2大，才有利于單調(diào)區(qū)間的判斷.因此，函數(shù)圖像在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，22），第三象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-22）.

二、研究f（x）=x+2x與y=x，y=2x之間的關(guān)系

為了進(jìn)一步掌握對(duì)勾函數(shù)的特點(diǎn)，弄清2的來(lái)源，筆者繼續(xù)追問(wèn)：當(dāng)我看到2時(shí)，我的心被隱隱地觸動(dòng)了一下（眾生笑），借著剛才學(xué)生2的聯(lián)想，我們繼續(xù)思考這個(gè)頂點(diǎn)與一元二次函數(shù)有何異同？這個(gè)2來(lái)得很突兀，一時(shí)感覺(jué)還有一些東西沒(méi)有發(fā)現(xiàn)？這個(gè)函數(shù)和y=x，y=2x有什么關(guān)聯(lián)呢？在同一坐標(biāo)系的圖像如何畫(huà)呢？（在教師的提示下，學(xué)生有的開(kāi)始嘗試）

學(xué)生3：由于（2，+∞）為遞增區(qū)間，（0，2）為遞減區(qū)間，易得在第一象限有最小值22，而當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，容易得到圖像在y=x的上方，至于（2，+∞），感覺(jué)也在y=x的上方，沒(méi)有依據(jù)，有困惑的地方.

教師提示：比較兩個(gè)函數(shù)圖像的位置如同比較兩個(gè)數(shù)的大小一樣.（稍過(guò)片刻）

學(xué)生4：哦，我明白了，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x>0，x∈（0，+∞）.

教師追問(wèn)：很好，那么Δy變化趨勢(shì)又是怎樣的？（學(xué)生思考片刻）

學(xué)生5：當(dāng)x→+∞時(shí)，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x→0；當(dāng)x→0時(shí)，Δy=f（x）-x=x+2x-x=2x→+∞.

教師：這種變化說(shuō)明了什么？

學(xué)生5：表現(xiàn)突出的是當(dāng)x→+∞時(shí)，y=x是一條漸近線(xiàn)，f（x）=x+2x圖像無(wú)限接近這條直線(xiàn).

教師：分析得很好，（共同分析）接下來(lái)f（x）=x+2x與y=2x，我們就很容易得到x→0，Δy=f（x）-2x=x+2x-2x=x→0，函數(shù)圖像f（x）=x+2x在y=2x上方，類(lèi)似于漸近曲線(xiàn)，同時(shí)y軸正半軸也是函數(shù)y=f（x）的漸近直線(xiàn).綜合以上討論我們知道，y=f（x）圖像由這兩個(gè)函數(shù)控制，同時(shí)也由它們疊加形成.很顯然和二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是不一樣的，圖像類(lèi)似于符號(hào)√，名字也由此得名.那么大家由圖像有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)2的來(lái)源呢？

學(xué)生6：由圖（如圖1所示）發(fā)現(xiàn)，2是兩個(gè)控制函數(shù)圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

教師：觀察很仔細(xì)，通過(guò)奇函數(shù)的性質(zhì)，我們這樣就掌握了定義域內(nèi)對(duì)勾函數(shù)的圖像和性質(zhì).前面的討論精彩吧？

學(xué)生：確實(shí)很精彩，而且解決了很多疑惑.

三、抽象概括

學(xué)生根據(jù)這節(jié)課的討論最后總結(jié)形如f（x）=ax+bx即f（x）=ax2+bx（a>0，b>0）的函數(shù)，其圖像（如圖2所示）及性質(zhì)如下：

定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；

奇偶性：奇函數(shù)；

單調(diào)性：-∞，-ba，ba，+∞為遞增區(qū)間，

-ba，0，0，ba為遞減區(qū)間；

頂點(diǎn)：ba，2ab，-ba，-2ab；

值域：（2ab，+∞）∪（-∞，-2ab）；

漸近線(xiàn)：漸近直線(xiàn)為y=ax，漸近曲線(xiàn)為y=bx.

教師：那么在解題中如何靈活運(yùn)用呢？（此時(shí)下課鈴聲響起）且聽(tīng)下回分解.

四、結(jié)束語(yǔ)

1.課堂的教學(xué)時(shí)間是有限的，無(wú)論課堂教學(xué)如何精彩，學(xué)生要想真正掌握知識(shí)方法，課后必須內(nèi)化成自己的東西.而教師要想打造高效精品課程，必須不斷探究，與學(xué)生共同進(jìn)步，而不能一堂言、滿(mǎn)堂灌，直接告訴學(xué)生結(jié)論.新課改要循循善誘，不斷啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)掌握解決問(wèn)題的方法.如果能“通過(guò)對(duì)有限道題的解題教學(xué)，讓學(xué)生領(lǐng)悟那種許多道題甚至無(wú)限道題也未必能生成的數(shù)學(xué)機(jī)智”[1]，那么學(xué)生才能跳出題海，撥云見(jiàn)日.

2.對(duì)勾函數(shù)在高中階段是很重要的函數(shù)，在試題中，考查得也比較頻繁，應(yīng)用也很靈活.我們每天都在進(jìn)行解題教學(xué)，有時(shí)候神采飛揚(yáng)，有時(shí)候迷惑沮喪，如果我們都是以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，讓課堂動(dòng)起來(lái)，不論對(duì)學(xué)生，還是對(duì)教師都是一種不斷提高的心理享受.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張彬.轉(zhuǎn)化與化歸思想設(shè)計(jì)示例之一[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（1）：81-86.