非負數(shù)的性質(zhì)與應用

謝妮娜

摘 要：非負數(shù)是初中代數(shù)中一個重要的基本概念，通過對非負數(shù)性質(zhì)介紹和應用舉例，可以對初中數(shù)學中利用非負數(shù)解方程和幾何應用問題加以分析，從中整理經(jīng)驗并指導教學。

關鍵詞：非負數(shù)；代數(shù)式；方程

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）27-0102-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.27.063

對于初中數(shù)學這個大家庭而言，“非負數(shù)”是一個不可或缺的重要成員。從數(shù)軸，絕對值，到乘方，完全平方公式，再到開方，二次根式，到處都能看到“非負數(shù)”的身影。那到底什么是非負數(shù)呢？所謂非負數(shù)，就是指零和正實數(shù)，這是從數(shù)的層面下的定義；從幾何層面來理解，非負數(shù)是指在數(shù)軸上，原點與原點右邊的點所表示的數(shù)。

一、常見的非負數(shù)

初中數(shù)學重點學習的非負數(shù)主要有三種：

1.任何實數(shù)的絕對值：a？叟0；

2.任何實數(shù)的平方：a2？叟0；

3.任何非負實數(shù)的算術平方根（二次根式）：？叟0（a？叟0）。

二、非負數(shù)常用的性質(zhì)

1.有限個非負數(shù)之和是非負數(shù)；

2.有限個非負數(shù)之和是0，則每一個均為0，即所謂的

“0+0=0”。

三、非負數(shù)的應用

在初中階段，非負數(shù)的應用集中在對其知識點性質(zhì)的相關運用。此類應用在解題時通常需要挖掘題目中暗藏的非負性條件，利用配方、倍分、拆項、添項等變形技巧，通過列方程或不等式解決問題。

1.利用非負數(shù)解決代數(shù)式的問題

（1）化簡

例1、設2x-4<0，化簡+。

解：∵2x-4<0 ∴x<2

∴原式=+=x-3+x-2=3-x+2-x=5-2x

（2）求最值

例2、求二次函數(shù)y=-2x2-8x+3的最大值

解：y=-2x-8x+3=-2（x+4x）+3=-2（x+4x+4）+11=-2（x+2）+11

∵（x+2）？叟0

∴-2（x+2）？燮0

∴ y？燮11

故y的最大值是11。

（3）求代數(shù)式的值

在求代數(shù)式的值時，必須先求出字母的值，再代入代數(shù)式求值。但在求每個字母的值時，如果已知條件的個數(shù)少于其字母的個數(shù)，就經(jīng)常需要根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，將已知條件劃分開，求出每個字母的值或找到字母之間的關系，從而求出代數(shù)式的值。

例3、若y=++2，求xy的值。

解：根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負性，可知：

x-3？叟0且x-3？叟0

即 x？叟3且x？燮3

∴ x=3，y=2

∴ xy=9

2.利用非負數(shù)解決方程的問題

如果只有一個方程，卻含有兩個或兩個以上的未知數(shù)，可以利用非負數(shù)的有關性質(zhì)把原方程劃分成幾個方程，分別求出未知數(shù)的值。

例4、已知（a-3b）2+=0，求a和b的值。

解：根據(jù)平方和二次根式的非負性可知：

（a-3b）2？叟0，？叟0，

∵ （a-3b）2+=0

∴ （a-3b）2=0且 =0

∴ a-3b=0且 3a-b-4=0

∴ a=， b=

∴ a+b=2

例5、求證：不論m為何值，方程（m2+1）x2-2（m-1）x-1=0一定有兩個不相等的實數(shù)根。

解：∵ ？駐=[-2（m-1）]2-4（m2+1）·（-1）

=8m2-8m+8

=8（m-）2+6

根據(jù)平方的非負性，可知：∵8（m-）2？叟0

∴8（m-）2+6？叟0，即？駐？叟0

∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根。

例6、是否存在實數(shù)與，使最簡二次根式與 是同類二次根式，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

解：根據(jù)“同類二次根式”的定義，可以得到：a2-2b+2=2a-b2

化簡得：a2-2a+b2-2b+2=0

變形為：a2-2a+1+b2-2b+1=0

（a-1）2+（b-1）2=0

根據(jù)平方的非負性，可知：（a-1）2？叟0且（b-1）2？叟0

得到 a=1，b=1

∴ a2+b2=1

例7、在實數(shù)范圍內(nèi)解方程：+-=（a+b+c）

分析：由一個方程求三個未知數(shù)是比較困難的，采用常規(guī)方法無法解決。但是如果通過去分母，會發(fā)現(xiàn)方程左邊的項與完全平方公式有聯(lián)系。即可以聯(lián)想到借助完全平方公式將方程化為幾個平方的和，再利用平方的非負性解決。

解：將原方程的兩端同時乘以2，得：

2+2-2=a+b+c

移項、配方，得：a-2-2+1+b-2+1+c-1-2+1=0

即：（-1）2+（-1）2+（-1）2=0

利用平方的非負性，得到：

-1=0且-1=0且-1=0

∴ a=1，b=1，c=2

3.利用非負數(shù)解決幾何問題

例8、四邊形四條邊的長為a，b，c，d，它們滿足等式a4+b4+c4+d4=4abcd。試判斷四邊形的形狀。

分析：通過確定四邊形的邊角關系，進而確定四邊形的形狀。

解：由條件有：（a4-2a2b2+b4）+（c4-2c2d2+d4）+（2a2b2-4abcd+2c2d2）=0

變形為：（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0

由：（a2-b2）2？叟0且（c2-d2）2？叟0且2（ab-cd）2？叟0

得到：a=b=c=d

故四邊形是菱形

4.利用非負數(shù)解決其他問題

例9、若實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=0，xyz=1，試判斷++的符號。

分析：要判斷++的符號必須先把它變形到可以顯示符號為止。可以采用通分對式子進行變形，化簡。最后只需求出xy+xz+yz的符號。

由條件x+y+z=0提示我們可以將xy+xz+yz與x2+y2+z2聯(lián)系起來，由此得到解題思路。

解：∵ ++=

又∵ xyz=1

∴ ++=xy+xz+yz，它的符號由xy+xz+yz決定

∵ x+y+z=0

∴ （x+y+z）2=0

即x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=0

∴ xy+xz+yz=-（x2+y2+z2）

根據(jù)x2？叟0，y2？叟0，z2？叟0，可得：xy+xz+yz<0

∴ ++的符號為負

通過以上例題可以發(fā)現(xiàn)，非負數(shù)的應用范圍廣泛。有些題目條件中的非負數(shù)非常明顯，而有些題目中的較為隱蔽，這需要我們能夠善于挖掘這些隱蔽的條件，應用非負數(shù)的概念及性質(zhì)來解題，然后加以分解，整理，靈活應用，就能達到化難為簡的奇妙效果。

參考文獻：

[1] 孫厚康.初中數(shù)學思想方法導引[D].杭州：浙江大學出版社，2015.

[2] 張秀萍.非負數(shù)在解題中的應用[J].太原大學教育學院學報，2000（4）：71-73.

[3] 覃勝平.非負數(shù)的性質(zhì)及其應用[J].中學生理科月刊，1995.

[4] 段和平.非負數(shù)性質(zhì)的應用及相關題型書寫格式的規(guī)范[J].忻州師范學院學報，2009（2）：134.