基于Duane曲線的可靠性增長模型

劉俊榮，陳衛(wèi)衛(wèi)，李 星

（中國電子科技集團(tuán)公司電子科學(xué)研究院，北京 100041）

基于Duane曲線的可靠性增長模型

劉俊榮，陳衛(wèi)衛(wèi)，李 星

（中國電子科技集團(tuán)公司電子科學(xué)研究院，北京 100041）

在闡述復(fù)雜武器裝備系統(tǒng)在研制中，通常要經(jīng)過實(shí)驗(yàn)——分析——改進(jìn)的過程，即可靠性增長過程。由于產(chǎn)品處于改進(jìn)階段，每個(gè)階段的產(chǎn)品的壽命所對(duì)應(yīng)的總體就是不同的。因此估計(jì)最后階段的可靠度及其置信限就有了一定的困難，討論基于Duane曲線的指數(shù)可靠性增長模型——ERG模型。完全壽命方案下，給出了利用樞軸量構(gòu)建置信限的推斷方法，并證明了構(gòu)建的置信限具有最優(yōu)性。

可靠性增長；可靠度；置信限；樣本空間排序

引言

一個(gè)復(fù)雜武器裝備系統(tǒng)在研制中，通常有若干個(gè)階段，即采取對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行實(shí)驗(yàn)——分析——改進(jìn)的方法，每一個(gè)階段都是在前面幾個(gè)階段上基礎(chǔ)上在設(shè)計(jì)、材料、工藝等方面有所改進(jìn)，使得系統(tǒng)的可靠性得以增長，進(jìn)而改進(jìn)系統(tǒng)的過程（test-analyze-and-fix，簡稱TAAF過程），這種增長過程可以用可靠性增長模型來表示。在過去的四十多年里，可靠性增長模型在高技術(shù)復(fù)雜產(chǎn)品的研制過程中得到了越來越廣泛的應(yīng)用，并在應(yīng)用中逐步完善。其中基于杜安曲線的模型（以下簡稱Duane模型）是比較有代表性的可靠性增長模型，本文所研究的ERG模型即為基于杜安曲線的一種模型。

1 Duane模型的發(fā)展歷程

1.1 杜安曲線

1964年，杜安（Duane）通過對(duì)一些工業(yè)系統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)的研究，得到了杜安曲線性質(zhì)（Duane Learning Curve Property）：即經(jīng)驗(yàn)累積失效率與累積試驗(yàn)時(shí)間分別取對(duì)數(shù)后呈近似的線性關(guān)系。

1.2 PLP模型

1974年，Crow 將杜安的理論改進(jìn)為：一個(gè)新的系統(tǒng)在改進(jìn)過程中的失效數(shù)服從非齊次泊松過程，且具有威布爾形式的強(qiáng)度函數(shù)，

由于此模型的強(qiáng)度函數(shù)的形式具有特殊性，我們通常稱之為Power Law Process，簡稱為PLP過程。PLP過程模型時(shí)滿足杜安學(xué)習(xí)曲線性質(zhì)的，這是因?yàn)?，?/p>

則由非其次Poisson過程的定義知：

從而有：

所以：

兩邊取對(duì)數(shù)得：

其中：

然而，PLP模型有下述的缺陷：

第一：由于系統(tǒng)的改進(jìn)只發(fā)生在某些時(shí)刻，故其強(qiáng)度函數(shù)不可能是時(shí)間t的連續(xù)變化函數(shù)；

第二，在可靠性增長的情形下（即δ<1）,當(dāng)t趨于零時(shí)，PLP模型的強(qiáng)度函數(shù)趨于無窮，這是不合實(shí)際的。

1.3 ERG模型

針對(duì)PLP模型的上述缺點(diǎn)，后來很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了討論并加以改進(jìn)，Sen和Bhattacharyya（1993）將其進(jìn)一步改進(jìn)為一個(gè)逐步加強(qiáng)的模型（Step-Intensity Model），模型描述如下：

記0 < T1< T2< ……為所研究系統(tǒng)的相繼失效的時(shí)間，Ti - Ti-1相互獨(dú)立且服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，即：

其中i = 1，2，……，T0= 0

λi的表達(dá)式為：

通常，我們把這個(gè)模型稱為指數(shù)可靠性增長模型（Exponential Reliabity Growth Model），簡稱ERG模型。此模型將PLP模型中的強(qiáng)度函數(shù)化成了離散的形式，這更符合實(shí)際情況。

2 問題提出

可靠度的點(diǎn)估計(jì)及置信下限的尋求在可靠性理論及實(shí)際應(yīng)用中是一個(gè)很重要的問題。一般來說，我們最關(guān)心的是最后階段結(jié)束時(shí)產(chǎn)品的可靠度及置信下限的大小。這里提出的與初等統(tǒng)計(jì)學(xué)不同的問題是：因?yàn)閷?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)有了變化，各個(gè)階段的樣本實(shí)際上是來自不同的母體，即變母體的樣本，而我們感興趣的只是最后階段的樣本所對(duì)應(yīng)的母體。由于設(shè)備處于改進(jìn)階段，每個(gè)階段的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都是非常有限的，如何綜合利用有限的數(shù)據(jù)對(duì)最后結(jié)束階段的可靠度（或者其他等價(jià)的可靠性指標(biāo)）做統(tǒng)計(jì)推斷，并根據(jù)結(jié)果決定是否還要改進(jìn)是一個(gè)很值得探討的問題。

μ，δ是未知的參數(shù)，μ>0，δ≥1?？梢娭恍枰页靓薾+1的點(diǎn)估計(jì)和置信上限。

3 對(duì)于ERG模型的統(tǒng)計(jì)推斷

3.1 點(diǎn)估計(jì)

極大似然估計(jì)是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，劉禮（2000）[9]嚴(yán)格證明了（μ，δ）的極大似然估計(jì)存在且唯一。而且是方程（5）的唯一解。

由此知λn+1的極大似然估計(jì)為：

3.2 置信限的構(gòu)建

Ananda Sen（1998）[1]對(duì)ERG模型進(jìn)行了研究，指出：的分布與μ，δ無關(guān)，即Q是樞軸量，所以可以用Q來構(gòu)造λn+1的置信上限。

給定置信水平1-r，設(shè)q(r)是Q的分布的1-r分位數(shù)，則有：

故λn+1的1-r水平的置信上限為：

3.3 置信限的最優(yōu)性定理

在3.2節(jié)中，利用樞軸量方法得到置信限或者置信區(qū)間是比較簡單的。但是由此得到的置信限有何優(yōu)良的性質(zhì)并不清楚，下文中證明了：上述的是所有關(guān)于單調(diào)遞增的置信上限中最小的。從而可靠度的1-r水平置信下限是所有的關(guān)于極大似然估計(jì)值單調(diào)增的置信下限中最大的，即這樣的置信限具有最優(yōu)性。

下面我們證明：

但是

故

為證明式（12）成立，先證明以下引理：

將方程（5）中的xi用Ui來代替，得到下面的方程：

注意，方程（14）的左端不依賴于μ。

令

由于（U1，U2，…，U_n）與（x1，x2，…，xn）同分布，所以同分布。而

于是：

引理證畢。

證明：由引理1和（11）知：

這里：

且β（r）只與置信水平1-r和樣本量n有關(guān)。故

從式（15）可知

證畢。

但是我們永遠(yuǎn)可令：

這從定理的證明過程中適當(dāng)?shù)男薷募纯傻玫健?/p>

4 應(yīng)用實(shí)例

對(duì)于樞軸量的方法，Q分布的分位數(shù)可以用Monte Carlo模擬的得到，表1是Anada Sen（1998）[1]中給出的在r = 0.05，0.025，0.005時(shí)的分位數(shù)q（1-r）的值。

下面我們給出數(shù)值例子：

例1：設(shè)某產(chǎn)品在改進(jìn)的過程中產(chǎn)生的樣本x1，…，xn依次為：6.571 3，3.059 2，14.337 6，9.809 5，37.826 3，8.632 4，27.212 5，4.825 9，5.696 2，20.864 5，30.802 9，5.069 6，10.216 2，24.564 1，12.055 5，26.570 9，72.966 1，89.195 0，81.723 2，50.176 9，26.768 5，103.265 8，16.205 4，54.288 6，99.313 5，36.687 9，65.241 8，90.714 4，42.278 1，57.111 0，請(qǐng)根據(jù)得到的樣本數(shù)據(jù)，預(yù)測下一階斷失效率的點(diǎn)估計(jì)及其置信水平分別為0.95，0.975，0.995的置信上限。

解：

1）求點(diǎn)估計(jì)。

因此可以求解δ。而

2）求置信限

由表1中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算λn+1的置信水平為0.95，0.975，0.995的置信上限分別為：

表1 分位數(shù) q（1-r）

5 結(jié)論

本文討論了一種基于杜安學(xué)習(xí)曲線的可靠性增長模型——ERG模型，在完全壽命方案下，在極大似然估計(jì)存在且唯一的基礎(chǔ)上，利用樞軸量的方法給出了可靠度置信限的構(gòu)建方法，然后利用樣本空間排序的方法證明了構(gòu)造的置信限的優(yōu)良性,可應(yīng)用于武器裝備可靠性增長過程的評(píng)價(jià)。

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Reliability Growth Model Based on Duane Curve

LIU Jun-rong, CHEN Wei-wei, LI Xing
(CAEIT, China Electronics Technology Group Corporation, Beijing 100041)

During the complex weapon equipment development, the process including experiment, analysis, and improvement is a must, that is TAAF (test, analyze, and fix). Because the product is in the advanced stage, the population is different corresponding to product life in each sage. Therefore, there’s difficult in evaluating the reliability and its confidence limits in the final stage. This paper discusses the exponential reliability growth model-ERG based on the Duane curve. In the complete life scheme, the deduced method for the confidence limits using the pivotal quantity is proposed, and the priority of the confidence limit is proven in this paper.

reliability growth; reliability; confidence limit; sample space sequence

V21

A

1004-7204（2017）03-0043-05

劉俊榮（1976-），山東招遠(yuǎn)人，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)及驗(yàn)證技術(shù)。