安徽省祁門縣第一中學(xué) 胡愛軍
空間幾何體初步教學(xué)的一些想法
安徽省祁門縣第一中學(xué) 胡愛軍
空間幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要章節(jié)??臻g幾何主要教什么?怎么教?教的哪些是重點?對于學(xué)生而言,學(xué)習(xí)過程要注重什么?這些教師思考是空間幾何初步教學(xué)的關(guān)鍵。
空間幾何;數(shù)學(xué);想象能力;代數(shù);圖形
空間幾何初步是學(xué)生空間想象能力培養(yǎng)的重要章節(jié)。從學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何的現(xiàn)狀來看,學(xué)生在空間感知、傳統(tǒng)幾何公理化體系的認(rèn)知、空間向量代數(shù)化運算等環(huán)節(jié)充滿了學(xué)習(xí)障礙。主要因素在于:第一,空間感知是需要培養(yǎng)和創(chuàng)造的,而且不少學(xué)生(尤其是女生)對于空間幾何體的形態(tài)和想象是極度缺乏的,這與其頭腦中長期缺乏對三維空間物體的關(guān)注有關(guān);第二,傳統(tǒng)公理化體系的數(shù)學(xué)性、嚴(yán)密性無可挑剔,但是公理化體系中諸多定理和性質(zhì)往往被現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)所忽視,對其的使用頻率也大幅降低,在學(xué)生很多解答問題中的第一選擇上升為向量方式;第三,隨著向量方式的進(jìn)入,空間幾何問題也漸漸成為代數(shù)化趨勢,吳文俊大師說的向量代數(shù)化手段解決幾何問題恰恰是這一層面的意思。因此筆者以為對于空間幾何初步教學(xué),教師要更多的以上述三個較困難的學(xué)生認(rèn)知層面出發(fā),循序漸進(jìn)地認(rèn)知空間幾何教學(xué)的難點和重點,在教學(xué)中不斷加以滲透和改進(jìn),使學(xué)生既獲得知識,也得到了空間想象能力的提高。
空間感知是一個非常抽象的教學(xué)難點??臻g幾何初步從三視圖及幾何圖形概念出發(fā),循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的空間感知,教學(xué)中需要加以滲透和體會。
問題1:在圖中,G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________。(填上所有正確答案的序號)
分析:異面直線是空間感知的難點。從位置關(guān)系來說,空間直線位置關(guān)系有三種,主要是異面、平行、相交(學(xué)生往往將垂直錯記為一種位置關(guān)系)。考查異面直線,正是考查了基本的空間感知。證明異面直線在教材中的知識是反證法為主的一種介入,這在考試要求中并不作為重點。因此,教師引導(dǎo)學(xué)生的判斷主要是從排除相交和平行導(dǎo)致共面的逆向思維為主,從而形成空間感知。很明顯,①、③是平行導(dǎo)致的共面直線,而②中M點不落在面HGN中、④中H點不落在GMN中導(dǎo)致異面直線的存在。因此,對于類似問題的處理,教師還可以通過幾何模型教具進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知和理解,從而獲得更好的感知體驗。
公理化體系是立體幾何傳統(tǒng)教學(xué)的核心和支柱。簡單來說,公理化體系是建立在四條公理體系基礎(chǔ)上的一系列定理和推論以及常見性質(zhì)組成的證明理論。我們知道,空間幾何的公理是4條,以這四條公理為基準(zhǔn)建立起了8條著名的平行和垂直判定性質(zhì)定理,是學(xué)生解決問題的主要利器。
分析:證明線線垂直有不少方式,主要是從異面直線多成角為直角、線面垂直概念、線線垂直性質(zhì)定理入手,這是公理化體系的方式,教學(xué)中要引導(dǎo)辨別;線面平行的判斷自然是以判定定理為主的論證。公理化體系中空間幾何問題的求解核心思想主要是將問題平面化,因此自然而然地尋找到線面角的位置,在三角形中計算求解。
隨著向量代數(shù)特性的引入,不少空間幾何問題獲得了更好的解題體驗。從理論上來說,空間幾何問題都可以運用向量求解,將幾何問題代數(shù)化成為一種通性通法,其優(yōu)點是培養(yǎng)了學(xué)生問題解決的一般性、快捷性、共性,但是其缺點也是比較明顯,即很有可能大量抹殺學(xué)生的創(chuàng)造性。因此,向量方式解決空間幾何問題成為我們一個不可或缺的補(bǔ)充,但不能僅僅以此為本原地踏步。
問題3:如圖,正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直,已知BC=2,AD=4,,。(1)求證:面ABF;(2)求異面直線BE與AC所成的角的余弦值;(3)在線段BE上是否存在一點P,使得平面平面BCEF?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由。
由于篇幅有限,此處解析略。
分析:向量方式最大的特征是利用其運算的特性,解決了公理化體系中較難的“找、證”環(huán)節(jié)!因此教師教學(xué)需要將代數(shù)化向量運算逐步在公理化體系后引入,獲得更多的知識解決方式。
總之,空間幾何初步教學(xué)要注重上述三方面的介入,以空間感知為主的引入、以公理化體系為本的論證、以代數(shù)化向量運算的輔助,這是空間幾何初步教學(xué)必備的、不可或缺的、循序漸進(jìn)的三部曲。
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