構(gòu)建函數(shù)求解二元不等式問題的策略

湖南 石向陽 唐 亮

構(gòu)建函數(shù)求解二元不等式問題的策略

湖南 石向陽 唐 亮

由于二元（或多元）不等式問題呈現(xiàn)形式復(fù)雜多樣，解題思路靈活多變，具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點，有時很難找到切入點．如果能靈活構(gòu)建函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)，往往能獲得簡捷解法．解決此類問題的關(guān)鍵就是怎樣合理構(gòu)建函數(shù)．從哪里入手，如何構(gòu)建函數(shù)，構(gòu)建什么樣的函數(shù)？本文將就此問題做出探討．

一、考慮導(dǎo)數(shù)運算法則構(gòu)建函數(shù)

若題設(shè)中出現(xiàn)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式，則往往是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則計算后而設(shè)計的，所以我們應(yīng)多從這個角度考慮如何構(gòu)建函數(shù)．根據(jù)條件式特征，積極展開聯(lián)想，借助求導(dǎo)法則，如和差求導(dǎo)、積商求導(dǎo)法則等，恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)，以便順利解決目標(biāo)問題．

【例1】已知f（x）是定義在（0，＋∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′（x）＋f（x）≤0．對于任意正數(shù)a，b，若a＜b，則必有 （ ）

A．a(chǎn)f（a）≤f（b） B．bf（b）≤f（a）

C．a(chǎn)f（b）≤bf（a） D．bf（a）≤af（b）

【解析】方法1：設(shè)g（x）＝xf（x），則g′（x）＝xf′（x）＋f（x）≤0（x＞0），那么函數(shù)g（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)（不一定是嚴(yán)格遞減）．因此，當(dāng)b＞a＞0時，g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．又bf（a）≥af（a），bf（b）≥af（b），所以bf（a）≥af（b），正確的選項為C．

【評注】方法1利用積的求導(dǎo)法則構(gòu)建函數(shù)，而方法2利用商的求導(dǎo)法則構(gòu)建函數(shù)．在建構(gòu)具體的函數(shù)時，需要對照題設(shè)中的條件，靈活應(yīng)對．一般來說，有下面的規(guī)律：

1．含導(dǎo)數(shù)式f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）可構(gòu)建函數(shù)：F（x）＝f（x）g（x）；

3．含導(dǎo)數(shù)式f′（x）＋f（x）可構(gòu)建函數(shù)：F（x）＝f（x）ex；

5．含導(dǎo)數(shù)式f′（x）＋af（x）可構(gòu)建函數(shù)：F（x）＝f（x）eax；

二、設(shè)定主元構(gòu)建函數(shù)

在許多數(shù)學(xué)問題中，都含有常量、參量、變量等多個量．通常情況下，有一些元素處于突出和主導(dǎo)地位，可視之為主元；為了解決問題，也可人為突出某個量的地位作用，先將其當(dāng)作主元；其他變元看作常數(shù)來構(gòu)建函數(shù)，再用函數(shù)求導(dǎo)知識，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解．

【變式1】設(shè)a≥b＞0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．

【證明】構(gòu)建以a為主元的函數(shù)f（x）＝3x3－3bx2－2b2x＋2b3（x≥b），f′（x）＝9x2－6bx－2b2＝（3x－b）2－3b2≥b2≥0（x≥b），所以f（x）在x∈［b，＋∞）上單調(diào)遞增，得出f（a）≥f（b）＝0．

【評注】視一個變量為主元，其他變量作常量來處理，這是多元不等式證明的一種重要思想．同時，主元策略還表現(xiàn)于主元選擇的變通性，選擇不同的主元，對于結(jié)構(gòu)不對稱的式子能形成不同的解題途徑．

三、逆轉(zhuǎn)主元構(gòu)建函數(shù)

解決數(shù)學(xué)問題時，大多是從條件出發(fā)，借助于一些具體的模式和方法，進行正面的、順向的思考．如果正向思維受阻，那么“順難則逆、直難則曲、正難則反”．在多元不等式問題中，逆轉(zhuǎn)主元思想常使思考產(chǎn)生新的源泉．

（1）當(dāng)x＞0時，f（x）≥gt（x）對任意正實數(shù)t成立；

（2）有且僅有一個正實數(shù)x0，使得g8（x0）≥gt（x0）對任意正實數(shù)t成立．

故當(dāng)x＞0時，f（x）≥gt（x）對任意正實數(shù)t成立．

因此當(dāng)x＞0時，f（x）≥gt（x）對任意正實數(shù)t成立．

所以有且僅有一個正實數(shù)x0＝2，使得g8（x0）≥gt（x0）對任意正實數(shù)t成立．

【評注】含參數(shù)問題通常含有兩個或兩個以上變元，習(xí)慣上我們把“x”當(dāng)作自變量．第（1）問中的方法一就是以x為自變量構(gòu)建函數(shù)求解，這是常規(guī)思路；方法二是視t為變量，x為常量，構(gòu)建函數(shù)求解，這時就實現(xiàn)了自變量換位．這兩種方法的可行性體現(xiàn)了變量的相對性．但對于第（2）問，如果仍把“x”當(dāng)作自變量，這種思維定式就會把問題變得相當(dāng)復(fù)雜，這時用逆轉(zhuǎn)主元的思想將x與t角色換位，問題迎刃而解．一般地，可把已知范圍的那個看作自變量，另一個看作常量．

四、巧妙消元構(gòu)建函數(shù)

因為多元，所以通過消元來解決是很自然的想法．解題中，通過消元，消多為少、化繁為簡、變難為易，常可降低思維難度．

【例4】設(shè)函數(shù)f（x）＝2ax2＋（a＋4）x＋lnx．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)y＝f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明f′（x0）＜0．

①當(dāng)a≥0時，對任意x＞0，f′（x）＞0，

∴此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞）．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若方程f（x）＝2存在兩個不同的實數(shù)解x1、x2，求證：x1＋x2＞2a．

【解析】（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞），

①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞），無極值．

②當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，＋∞）．f（a）為f（x）的極小值．

（2）因為方程f（x）＝2存在兩個不同的實數(shù)解x1、x2，不妨設(shè)x1＜x2，所以f（x）必不能為單調(diào)函數(shù)，所以a＞0．令F（x）＝f（x）－2，則F（x）與f（x）的單調(diào)性相同，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，＋∞）．F（x）＝f（x）－2＝0存在兩個不同的實數(shù)解x1、x2，所以最小值F（a）＜0，且0＜x1＜a＜x2．

要證x1＋x2＞2a成立，只需證x2＞2a－x1．又因為0＜x1＜a2a－x1＞a，所以x2、2a－x1∈（a，＋∞），而當(dāng)a＞0時函數(shù)F（x）在區(qū)間（a，＋∞）單調(diào)遞增．所以等價于只要證明F（x2）＞F（2a－x1），又F（x1）＝F（x2）＝0，即只需證明F（x1）＞F（2a－x1）．

下面證明：x∈（0，a］，F(xiàn)（x）＞F（2a－x）．

【評注】本題第（2）問，x1＋x2＞2ax2＞2a－x1，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為證明F（x2）＞F（2a－x1），進一步轉(zhuǎn)化為證明F（x1）＞F（2a－x1），因而將兩個變量的不等式問題，轉(zhuǎn)化為一個變量的不等式問題．構(gòu)建函數(shù)g（x）＝F（2a－x）－F（x）＜0＝g（a），只需證明g（x）在x∈（0，a）上單調(diào)遞增即可．

五、整體換元構(gòu)建函數(shù)

在處理多變元函數(shù)問題中，用新元去代替該函數(shù)中的部分（或全部）變元．從而使變量化多元為少元，即達(dá)到減元的目的．問題中的參數(shù)減少了，復(fù)雜問題就簡單化、明朗化了，這就是換元思想獨到的作用．

【評注】本題是多元不等式的證明，在變形過程中發(fā)現(xiàn)式子中出現(xiàn)一個整體k（x1－x2），此時巧妙地運用換元法化簡式子，把二元問題化歸為一元問題．構(gòu)建函數(shù)使問題得以轉(zhuǎn)化．一般地，變形過程中若出現(xiàn)指數(shù)形式ekx2－ekx1＝ekx2［1－ek（x1－x2）］，可考慮對k（x1－x2）作整體換元．

【變式2】同【例4】第（2）問．

【證明】不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2．

六、利用相似結(jié)構(gòu)構(gòu)建函數(shù)

有些多元不等式問題，可以通過分離變量，凸顯出原不等式隱藏的規(guī)律，即左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征相似，這時可以構(gòu)建函數(shù)，利用單調(diào)性解決．

【分析】對原不等式進行變形，構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，進行參變分離，求出a的取值范圍．

【解】已知可轉(zhuǎn)化為x1＞x2＞0時，mg（x1）－x1f（x1）＞mg（x2）－x2f（x2）恒成立．

在根據(jù)特征構(gòu)建函數(shù)時，需要有較強的觀察和聯(lián)想能力，靈活地針對不同的特征構(gòu)建出相應(yīng)的函數(shù)，這也需要我們平時注意積累，掌握一些常見解題模式．

又如已知m，n是正整數(shù)，且2＜m＜n，求證：（1＋m）n＞（1＋n）m．此問題求證的結(jié)論取對數(shù)后．構(gòu)建函數(shù)f（x）＝，只需證明f（x）在（2，＋∞）上為減函數(shù)即可．

此兩題不等式m，n位置交錯，無法直接構(gòu)建函數(shù)，考慮到是冪指數(shù)不等式，嘗試兩邊取對數(shù)，發(fā)現(xiàn)原不等式變得非常“和諧”．再根據(jù)結(jié)構(gòu)特征很容易構(gòu)建出相應(yīng)的函數(shù)．事實上，這種取對數(shù)使函數(shù)結(jié)構(gòu)顯露出來的方法是處理此類問題非常重要的手段．

通過上述幾個例題可以看出，在求解多元不等式的問題中，我們可以通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)建出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，化多元問題為一元問題，并在此基礎(chǔ)上利用函數(shù)的方法（如單調(diào)性）使原問題獲解．它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸轉(zhuǎn)化的思想，其中也滲透著猜想、探究等重要的數(shù)學(xué)思想．筆者認(rèn)為這是函數(shù)思想解題的高層次體現(xiàn)．

（作者單位：湖南省長沙市雅禮教育集團南雅中學(xué)，湖南省長沙市教育科學(xué)研究院）