高考易錯(cuò)題自測(cè)卷
——數(shù)列

江蘇 呂從軍 李 凱

高考易錯(cuò)題自測(cè)卷
——數(shù)列

江蘇 呂從軍 李 凱

一、選擇題

1．已知Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和且有Sn＝an－1（a≠0且為常數(shù)），那么數(shù)列｛an｝是 （ ）

A．等差數(shù)列

B．等比數(shù)列

C．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

D．可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列

2．已知數(shù)列an＝n2－tn＋2在（n≥2，n∈N＊）上是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 （ ）

A．［－5，5］ B．（－5，＋∞）

C．（－∞，5） D．（－5，5）

4．已知等比數(shù)列｛an｝中，a2＝1，則S3的取值范圍是（ ）

A．（－∞，－1］ B．［3，∞）

C．（－∞，－1］∪［3，∞）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）

5．已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n（n－40），則下列判斷中正確的是 （ ）

A．a(chǎn)19＞0，a21＜0 B．a(chǎn)20＞0，a21＜0

C．a(chǎn)19＜0，a21＞0 D．a(chǎn)19＜0，a20＞0

6．Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若Sn＝3n－2，則an＝（ ）

7．已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列．若a1＞0，且2（an＋an＋2）＝5an＋1，則數(shù)列｛an｝的公比q＝ （ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

9．若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，則數(shù)列｛nan｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第（ ）項(xiàng)．

A．5 B．4

C．3 D．2

10．已知等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，已知2S5、S10、S20－S10構(gòu)成等比數(shù)列，則S5、S15、S10構(gòu)成的數(shù)列是 （ ）

A．等差數(shù)列

B．等比數(shù)列

C．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

D．公比q≠1時(shí)構(gòu)成等差數(shù)列，q＝1時(shí)不構(gòu)成等差數(shù)列

二、填空題

12．已知數(shù)列｛an｝，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2（n≥3，），則an＝________．

13．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________．

15．已知數(shù)列｛an｝滿足：），an＋1＝若a6＝1，則m所有可能的取值個(gè)數(shù)為_(kāi)______．

18．已知等差數(shù)列｛an｝的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和分別為Sm，S2m，S3m，若Sm＝30，S2m＝90，則S3m＝________．

19．在等差數(shù)列｛an｝中，an＝3n－31，記bn＝｜an｜，則數(shù)列｛bn｝的前30項(xiàng)和為_(kāi)______．

20．設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和，則q的取值范圍是_______．

【參考答案與提示】

1．D 【解析】由Sn－Sn－1＝（a－1）an－1（n≥2），當(dāng)a≠1時(shí)，｛an｝是等比數(shù)列，當(dāng)a＝1時(shí)，｛an｝是等差數(shù)列，故選D．

【易錯(cuò)警示】忽視a＝1時(shí)，｛an｝是等差數(shù)列，錯(cuò)選B．

2．C 【解析】依題意a2＜a3，即4－2t＋2＜9－3t＋2，故t＜5．

【易錯(cuò)警示】不注意n的取值范圍，用a1＜a2列不等式求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

當(dāng)n≥2時(shí)，

【易錯(cuò)警示】使用公式an＝Sn－Sn－1時(shí)如果不注意n≥2，會(huì)錯(cuò)選A．

①當(dāng)q＞0時(shí)S3≥3當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時(shí)取等號(hào)；

②當(dāng)q＜0時(shí)S3≤－1當(dāng)且僅當(dāng)q＝－1時(shí)取等號(hào)．

所以S3的取值范圍為（－∞，－1］∪［3，＋∞）．

【易錯(cuò)警示】忽視q＞0或q＜0中一種情況，致使答案不全面．

5．C 【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－39；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n（n－40）－（n－1）（n－41）＝2n－41．將n＝1代入滿足上式．綜上有an＝2n－41．所以a19＝2×19－41＝－3＜0，a20＝2×20－41＝－1＜0，a21＝2×21－41＝1＞0．故選C．

【易錯(cuò)警示】求an去括號(hào)時(shí)出錯(cuò)．

【易錯(cuò)警示】當(dāng)n≥2時(shí)求出an后不注意驗(yàn)證a1是否滿足條件．

又?jǐn)?shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，且a1＞0，所以q＝2．【易錯(cuò)警示】忽視數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列．

1＋q3＝9，所以q＝2．

所以前5項(xiàng)和

9．C 【解析】因?yàn)镾n＝n2－10n），所以｛an｝為等差數(shù)列，an＝2n－11，所以nan＝2n2－11n＝2，其中數(shù)值最小的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對(duì)稱軸的項(xiàng)，即n＝3，第3項(xiàng)是數(shù)列｛nan｝中數(shù)值最小的項(xiàng)．

【易錯(cuò)警示】求最小值時(shí)忽視n為正整數(shù)．

10．D 【解析】應(yīng)用分類(lèi)討論求解：

①當(dāng)q＝1時(shí)，S5＝5a1，S15＝15a1，S10＝10a1，

此時(shí)S5＋S10＝15a1，2S15＝30a1，

所以S5＋S10≠2S15，

所以S5、S15、S10不構(gòu)成等差數(shù)列．

②當(dāng)q≠1時(shí)，依題意，2S5、S10、S20－S10構(gòu)成等比數(shù)列，所以

所以S5、S15、S10構(gòu)成等差數(shù)列．

所以an＝3＋2（n－3）＝2n－3．

當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝2×2－3＝1也適合，

【易錯(cuò)警示】不注意題目中n的取值范圍，結(jié)論錯(cuò)寫(xiě)成an＝2n－3．

13．a(chǎn)n＝2n＋1－3【解析】設(shè)遞推公式an＋1＝ 2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2（an－t），即an＋1＝2an－t，則t＝－3，故遞推公式為an＋1＋3＝2（an＋3），所以2．所以｛an＋3｝是以a1＋3＝4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3．

【易錯(cuò)警示】不能通過(guò)an＋1＝2an＋3這一條件構(gòu)造等比數(shù)列｛an＋3｝．

14．5【解析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得

【易錯(cuò)警示】分段函數(shù)的單調(diào)性判斷出錯(cuò)，以致列出的不等式組不全面．

【易錯(cuò)警示】a3、a5的取值注意不要漏掉一種情況．

18．180【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，

所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m是公差為m2d的等差數(shù)列，

所以2（S2m－Sm）＝Sm＋S3m－S2m．

即2×（90－30）＝30＋S3m－90，所以S3m＝180．

【易錯(cuò)警示】不會(huì)利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，

【易錯(cuò)警示】忽視絕對(duì)值的意義，認(rèn)為bn＝an．

（作者單位：江蘇省贛榆縣海頭高級(jí)中學(xué)，江蘇省啟東市呂四中學(xué)）