全國高考圓錐曲線命題規(guī)律研究

江蘇 韓文美 陸維香

全國高考圓錐曲線命題規(guī)律研究

江蘇 韓文美 陸維香

一、全國高考圓錐曲線部分試題特點(diǎn)及命題規(guī)律

1．從地位上看：圓錐曲線在高考中一直占據(jù)重要的地位，理科總體穩(wěn)定，文科分值有變小的趨勢（轉(zhuǎn)化為直線與圓內(nèi)容），穩(wěn)中求新，難度較前幾年有變小的趨勢．

2．從方向上看：考題遵循《考試大綱》和《考試說明》，立足基礎(chǔ)，貼近教材，突出能力考查．

3．從題型上看：選擇題、解答題為主，也出現(xiàn)個(gè)別填空題，一般題量維持在“一大二小”，有時(shí)文科會(huì)有其中的一題變?yōu)橹本€與圓內(nèi)容，分值維持在17～22分左右．

4．從考頻上看：結(jié)合近六年新課標(biāo)高考Ⅰ中的文理卷，考查橢圓知識出現(xiàn)12次，考查雙曲線知識出現(xiàn)10次，考查拋物線知識出現(xiàn)13次，這三個(gè)知識的考查次數(shù)基本相當(dāng)；而在解答題中，以考查橢圓與拋物線為主，其中考查橢圓知識出現(xiàn)4次，考查拋物線知識出現(xiàn)5次．

5．從難度上看：以中檔題和難題為主，選擇題一般位于4～5題與9～10題的位置，填空題一般位于14～16題的位置，大題一般位于解答題第五題的位置．

6．從考點(diǎn)上看：重點(diǎn)考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，軌跡方程的求解，圓錐曲線與平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等的交匯與綜合問題等．

二、全國高考圓錐曲線部分重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)、冷點(diǎn)分析

1．圓錐曲線的定義問題

A．1 B．2 C．4 D．8

【分析】結(jié)合定義把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，通過該點(diǎn)的橫坐標(biāo)與p的關(guān)系建立方程，即可求解對應(yīng)的參數(shù)值．

【點(diǎn)評】圓錐曲線的定義一直是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)問題，幾乎每兩年的高考題就會(huì)出現(xiàn)一次，是一個(gè)高頻考點(diǎn)．其命題規(guī)律是：（1）直接根據(jù)定義求解對應(yīng)的圓錐曲線方程或軌跡方程；（2）根據(jù)定義結(jié)合圓錐曲線方程轉(zhuǎn)化確定對應(yīng)線段長度的和或差、參數(shù)值等，能達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果．

2．圓錐曲線的方程問題

【解析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，

把點(diǎn)A、B代入方程后兩式相減，

【點(diǎn)評】圓錐曲線的方程一直是高考的重點(diǎn)問題，凡是涉及圓錐曲線的問題幾乎都與對應(yīng)的方程有關(guān)，這是一個(gè)回避不了的高頻考點(diǎn)．其命題規(guī)律是：根據(jù)圓錐曲線的定義確定方程，結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)確定方程，結(jié)合解析幾何中曲線的位置關(guān)系確定方程等．同時(shí)，圓錐曲線的方程的求解有時(shí)單獨(dú)設(shè)置問題，有時(shí)通過圓錐曲線的方程的求解來達(dá)到解決相關(guān)幾何性質(zhì)的目的，有時(shí)圓錐曲線的方程的求解只是問題解決的一部分，這些都是高考中比較常見的命題方式．

【變式2】（2015·新課標(biāo)Ⅱ文·15）已知雙曲線過點(diǎn)（4，，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．

3．圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題

【分析】設(shè)出相應(yīng)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，利用題目條件建立關(guān)系式，并利用等積法思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而確定參數(shù)a與c的關(guān)系式，從而得以求解橢圓的離心率．

【點(diǎn)評】圓錐曲線的幾何性質(zhì)是新課標(biāo)高考的一大熱點(diǎn)問題，有時(shí)也是問題設(shè)置的難點(diǎn)所在．圓錐曲線的幾何性質(zhì)溝通定義、方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等問題，是圓錐曲線中不可或缺的一大考點(diǎn)．其命題規(guī)律是：求解圓錐曲線的離心率、相應(yīng)點(diǎn)（頂點(diǎn)或焦點(diǎn)）的坐標(biāo)、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線，有時(shí)還涉及不同圓錐曲線之間的比較與關(guān)系，相應(yīng)點(diǎn)與線之間的位置關(guān)系與距離問題等，都是高考中比較常見的命題類型．

【變式3】（2014·新課標(biāo)Ⅰ理·4）已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m（m＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為 （ ）

【解析】可得漸近線方程為及c＝，則對應(yīng)距離為．

【點(diǎn)評】本題的結(jié)果可作為一條雙曲線的性質(zhì)記下來，即“雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b”．

4．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題

【分析】（1）求出直線ON的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出相應(yīng)的比值；（2）求出直線MH的方程，與拋物線方程聯(lián)立求解，即可判斷直線MH與C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（2）直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)．理由如下：

【點(diǎn)評】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考中解答題部分回避不了的考點(diǎn)，有時(shí)小題中也經(jīng)常出現(xiàn)，是高考的一大熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，幾乎每年高考均有涉及．其命題規(guī)律是：通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的建立，解決中點(diǎn)弦問題、弦長問題、位置關(guān)系問題等，常常以綜合題的形式出現(xiàn)，一般為中檔題和難題．往往通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式或通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論來解決．

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．

5．圓錐曲線中的軌跡問題

【典例5】（2016·新課標(biāo)Ⅰ理·20）設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．證明｜EA｜＋｜EB｜為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程．（節(jié)選）

【分析】通過平行線的性質(zhì)，結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，通過三角形中等角對等邊的轉(zhuǎn)化確定定值問題，并利用橢圓的定義來求解相應(yīng)的軌跡方程．

【解析】因?yàn)椋麬D｜＝｜AC｜，EB∥AC，

故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以｜EB｜＝｜ED｜，

故｜EA｜＋｜EB｜＝｜EA｜＋｜ED｜＝｜AD｜，

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋y2＝16，

從而｜AD｜＝4，

所以｜EA｜＋｜EB｜＝4，

由題設(shè)得A（－1，0），B（1，0），｜AB｜＝2，

【點(diǎn)評】軌跡問題經(jīng)常作為高考解答題中的一部分出現(xiàn)在新課標(biāo)高考的試題中，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題，關(guān)鍵是抓住條件，結(jié)合對應(yīng)的方法加以求解，為進(jìn)一步研究圓錐曲線的相關(guān)問題打下基礎(chǔ)．這是近年來新課標(biāo)高考中軌跡問題的命題規(guī)律，難度不大，只是作為綜合題的切入點(diǎn)出現(xiàn)．

【變式5】（2016·新課標(biāo)Ⅲ·20）已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．

6．圓錐曲線中的最值問題

【分析】要求△APF的周長的最小值，其實(shí)就是轉(zhuǎn)化為求解三角形三邊長之和，根據(jù)已知條件與雙曲線定義加以轉(zhuǎn)化為已知邊的長度問題與已知量的等價(jià)條件來分析，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合確定點(diǎn)P的位置，通過求解點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)而利用三角形的面積公式來處理．

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，根據(jù)雙曲線的定義可知｜PF｜＝2a＋｜PF1｜，則△APF的周長為｜PA｜＋｜PF｜＋｜AF｜＝｜PA｜＋2a＋｜PF1｜＋｜AF｜，

由于｜AF｜＋2a是定值，要使△APF的周長最小，則｜PA｜＋｜PF1｜最小，即P、A、F1共線，

【點(diǎn)評】圓錐曲線中的最值問題是高考題中的?？紗栴}之一，也是高考中的一大難點(diǎn)，往往難度比較大，知識交匯性強(qiáng)．新課標(biāo)高考中最值問題的命題規(guī)律是：參數(shù)的最值問題、幾何圖形的面積的最值問題等，而距離的最值問題等會(huì)是新課標(biāo)高考的一大冷點(diǎn)．此類問題創(chuàng)新性強(qiáng)、思維拓展、難度較大．

（1）求M的方程；

（2）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

7．圓錐曲線中的定值問題

（1）求C的方程；

（2）直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB中點(diǎn)為M．證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式、已知橢圓上的點(diǎn)以及關(guān)系式a2＝b2＋c2可求得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線l的方程，通過聯(lián)立方程，確定線段AB的中點(diǎn)M 的坐標(biāo)，利用斜率公式求解對應(yīng)的斜率，即可得以證明兩相關(guān)直線的斜率的乘積為定值．

解得a2＝8，b2＝4，

（2）設(shè)直線l：y＝kx＋b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－8＝0，

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

【點(diǎn)評】圓錐曲線中的定值問題是新課標(biāo)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn)．新課標(biāo)高考中定值問題的命題規(guī)律是：關(guān)系式乘積的定值、比值的定值、參數(shù)關(guān)系式的定值、數(shù)量積的定值、直線過定點(diǎn)等問題，有時(shí)作為小題出現(xiàn)，有時(shí)是綜合題中的較難部分．往往依題設(shè)條件直接推導(dǎo)出定值或由特殊情形找到定值，然后進(jìn)行一般性推理論證．

【變式7】（2015·新課標(biāo)Ⅱ理·20）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2（m＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．（節(jié)選）

8．圓錐曲線中的探究問題

【典例8】（2015·新課標(biāo)Ⅰ理·20）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與直線l：y＝kx＋a（a＞0）交與M，N兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？說明理由．

【分析】（1）求出M，N的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出C在點(diǎn)M和N 處的切線方程；（2）作出判定，利用設(shè)而不求思想將y＝kx＋a代入曲線C的方程整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用a表示出來，利用直線PM，PN的斜率之和為0，即可求出a，b的關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

【解析】（1）由題設(shè)可得，或

（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)P（0，b）為符合題意的點(diǎn)，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2，將y＝kx＋a代入C的方程整理得x2－4kx－4a＝0，故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，

當(dāng)b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，

故∠OPM＝∠OPN，所以P（0，－a）符合題意．

【點(diǎn)評】圓錐曲線的探究問題一直是新課標(biāo)高考試卷中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題之一，也是2017年新課標(biāo)高考的冷點(diǎn)問題，要引起高度重視．圓錐曲線的探究問題命題規(guī)律主要是：包括探索條件型與探索存在型兩主要大類，其試題立意新穎，形式多樣，體現(xiàn)了“開放探索，考查探究精神，開拓展現(xiàn)創(chuàng)新意識的空間”的高考命題指導(dǎo)思想與命題原則，已成為高考試題的一個(gè)新亮點(diǎn)，也是新課程理念下的一道亮麗的風(fēng)景線．

【變式8】（2015·新課標(biāo)Ⅱ理·20）已知橢圓C：9x2＋y2＝m2（m＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由．

（節(jié)選）

【解析】當(dāng)l的斜率為時(shí)，四邊形OAPB能為平行四邊形．（過程略）

（作者單位：江蘇省張家港職業(yè)教育中心校）