優(yōu)化變式教學(xué) 培育數(shù)學(xué)素質(zhì)

何孝賢

（霞浦縣第八中學(xué) 福建 寧德 352000）

優(yōu)化變式教學(xué) 培育數(shù)學(xué)素質(zhì)

何孝賢

（霞浦縣第八中學(xué) 福建 寧德 352000）

變式教學(xué)是初中數(shù)學(xué)課堂培育學(xué)科素養(yǎng)的有效途徑，也內(nèi)在地蘊(yùn)含著培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)的應(yīng)有價(jià)值。文章結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，從數(shù)學(xué)圖形、試題情境、解題方法和數(shù)學(xué)思想等方面探討變式教學(xué)，分析其對(duì)培育數(shù)學(xué)素質(zhì)的意義，注重在變式訓(xùn)練過程中探尋培養(yǎng)數(shù)學(xué)圖形意識(shí)、語言能力、多維思維和科學(xué)精神等素質(zhì)的有益策略，為促進(jìn)有效課堂教學(xué)進(jìn)行探索和實(shí)踐。

初中數(shù)學(xué)；變式教學(xué)；數(shù)學(xué)素質(zhì)；策略；應(yīng)用

探索實(shí)施變式教學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)始終是教師們關(guān)注的重要話題。我校教師在教學(xué)實(shí)踐中也總結(jié)出了許多新穎生動(dòng)的活動(dòng)形式，對(duì)優(yōu)化變式教學(xué)、創(chuàng)新變式訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)等發(fā)揮著積極的作用。下文，略談幾點(diǎn)關(guān)于如何在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效培養(yǎng)等問題。

一、活導(dǎo)圖形變式，培養(yǎng)數(shù)圖意識(shí)

圖形是體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)文化交相融合的一種美妙形式。在初中數(shù)學(xué)課程中，精選圖形案例、利用圖形變式進(jìn)行有針對(duì)的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練是學(xué)生開展數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的重要形式。教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了平面圖形（如直線、曲線、多邊形、平面區(qū)域等）、空間圖形（如立體、空間區(qū)域等）和函數(shù)圖形等的性質(zhì)和特征之后，可以靈活結(jié)合一定的典例圖例，合理變換原命題中的已知條件和范圍等，或重新設(shè)置圖形探究情境，來指引他們開展變式訓(xùn)練，深入分析新題境下的題設(shè)情況，探求新的解決方法，獲取活動(dòng)結(jié)論，進(jìn)而有效培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)圖形意識(shí)。

如，在八年級(jí)上冊幾何專題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生掌握好了相關(guān)圖形基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)識(shí)了常見圖形的特征和規(guī)律之后，利用了重置圖形應(yīng)用環(huán)境、數(shù)形結(jié)合、倒置題設(shè)條件等形式，來開展變式教學(xué)，可以促進(jìn)學(xué)生更加直觀地了解各種數(shù)學(xué)圖形的位置關(guān)系，深入認(rèn)識(shí)蘊(yùn)含于其中的知識(shí)。如，在“直線位置關(guān)系”教學(xué)后，教師把探究視角移到了學(xué)生身邊，啟發(fā)他們：“現(xiàn)在觀察下我們的教室，能不能現(xiàn)場找出一些體現(xiàn)直線平行關(guān)系、直線垂直關(guān)系的例子??？”在教師的指引下，很多學(xué)生找出了“黑板的對(duì)邊、課桌的對(duì)邊、地板前后兩條墻角線都是平行關(guān)系，而墻角相交的三條線、課桌相鄰的兩條邊都是垂直關(guān)系……”在此，教師靈活利用了教室中的熟悉事物來創(chuàng)設(shè)新的探究情境，將課堂場景轉(zhuǎn)化成圖形案例，豐富圖形素材，使學(xué)生在親切的學(xué)習(xí)環(huán)境中細(xì)致觀察，增強(qiáng)數(shù)學(xué)圖形意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

圖1

還有，利用題設(shè)中的倒置條件是指引學(xué)生進(jìn)行圖形變式訓(xùn)練的好方法。如，在九年級(jí)（2）班的一節(jié)數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)展示”課上，科代表劉學(xué)志同學(xué)帶領(lǐng)大家開始了課前5分鐘的展示活動(dòng)，他利用PPT把前一節(jié)課中老師布置的小組探究學(xué)習(xí)問題展播出來：“如圖（右截圖），昨天老師在作圖時(shí)不小心把圖給弄臟了，只能看見圖中的∠C和邊BC，并且被弄臟的∠B＝∠C，請大家想一想，怎樣才能把圖恢復(fù)到原來的樣子呢？大家想一想，能不能利用已學(xué)過的等腰三角形判定定理來探討一下呢？”這樣的多媒體情境展示后，學(xué)生們踴躍舉起手來，要求上臺(tái)演練自己的方法。有的學(xué)生利用先測量∠C，然后模畫出∠B，再延長兩角的邊使之相交于A，來補(bǔ)齊三角形；有的學(xué)生則先做出邊BC的垂直平分線，與∠C另一邊的延長線交于點(diǎn)A，從而恢復(fù)三角形；有的學(xué)生用長方形紙片對(duì)折的方法……可以看出，在“學(xué)習(xí)展示”活動(dòng)中，學(xué)生們在創(chuàng)設(shè)的“等腰三角形”變式訓(xùn)練中探得了許多有價(jià)值的解法，充分展現(xiàn)了他們愛思考、愛探索的數(shù)學(xué)品質(zhì)。

二、巧換試題情境，增強(qiáng)語言能力

巧換試題情境是進(jìn)行數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的又一有效手段。教師通過優(yōu)設(shè)適當(dāng)?shù)念}型，變換原試題中的條件、范圍、背景、設(shè)問和結(jié)論等，引導(dǎo)學(xué)生參與探討數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語、圖形、定義、法則、公式和性質(zhì)，開展變式訓(xùn)練，有利于促進(jìn)學(xué)生在新訓(xùn)練情境中增進(jìn)互動(dòng)交流，學(xué)會(huì)規(guī)范表述、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，進(jìn)而培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)語言能力。

變換試題情境，教師應(yīng)認(rèn)真分析原題，結(jié)合原題的特征，來合理變換原題中的已知條件、適用范圍、背景信息和相關(guān)結(jié)論等。如，在“一元二次方程根的判別式”一節(jié)課中，等學(xué)生已學(xué)好了一元二次方程的一般形式和根的判別式之后，適時(shí)引領(lǐng)他們開展變式訓(xùn)練：

原題：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，當(dāng)m取何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根？

變式1：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，當(dāng)m取何值時(shí)，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

變式2：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，若有一根是－1，則m的值是多少？另一根是多少？

學(xué)生通過先前的一元一次方程和一元二次方程的學(xué)習(xí)，對(duì)方程的基本形式已經(jīng)有很好的了解。原題中，教師要求學(xué)生能理解并應(yīng)用一元二次方程根的判別式Δ＝b2－4ac≥0且a≠0來判定方程有無實(shí)根，即m≤－2／3且m≠－1，進(jìn)而逐步加深了對(duì)一元一次方程、一元二次方程概念的認(rèn)識(shí)。在變式1中，適當(dāng)變換了原題條件，使學(xué)生進(jìn)一步明確了方程的二次項(xiàng)系數(shù)必須不為0，即m＋1≠0且Δ＝b2－4ac＝0；通過求值、取舍、判別的過程，學(xué)生應(yīng)用了根的判別式，順利地解決了一元二次方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根情況。在變式2中，將問題的結(jié)論進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生巧妙利用代入法，把方程的根－1代入方程，順利求出方程中m＝－2，進(jìn)而求出另一根x＝3。可見，通過改變題設(shè)的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生開展變式訓(xùn)練，能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則和性質(zhì)的理解，使他們學(xué)會(huì)整合學(xué)習(xí)思路，學(xué)會(huì)變換思考、推理論證，更加準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)方法，增強(qiáng)數(shù)學(xué)語言能力。

三、善借多樣解法，激活多維思維

思維是數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心和靈魂。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生掌握了基本解法之后，教師還應(yīng)加強(qiáng)解題技能的指導(dǎo)，鼓勵(lì)他們積極利用多樣化的解題方法，多維度地激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)良好的思維素質(zhì)。我們不僅可以通過設(shè)計(jì)“一題多解”、“一題多變”、“一題多導(dǎo)”等變式題型，來加強(qiáng)學(xué)生發(fā)散性、求異性思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維活性，而且還可以通過設(shè)計(jì)“多題一法”的變式題型，鍛煉他們的定向思維，指引他們從“多題”中探索、歸納、總結(jié)出解題規(guī)律，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性。

如，圍繞“一元一次方程的應(yīng)用”，我們可以聯(lián)系和（差）倍分、勞力分配、行程、工程、利潤、儲(chǔ)蓄、比例分配等類型的問題，來設(shè)計(jì)應(yīng)用性試題，并通過變式，指導(dǎo)學(xué)生開展列方程（組）、解決問題，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性。

原題：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)來做要20小時(shí)完成，乙單獨(dú)來做要12小時(shí)完成。請問，兩個(gè)人一起合作，要多少小時(shí)可以完成？

本題是一個(gè)非常典型的工程應(yīng)用性問題，學(xué)生應(yīng)把握好工作量、工作時(shí)間和工作效率三個(gè)量，以及三個(gè)量之間的換算關(guān)系，并進(jìn)一步理解“甲單獨(dú)做20小時(shí)完成的工作量”與“乙單獨(dú)做12小時(shí)完成的工作量”之和就是工作總量，就可以順利得出答案。學(xué)生完成解題后，教師把這個(gè)“工程安排”類題型進(jìn)行了變式設(shè)計(jì)：

變式1：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)來做要20小時(shí)完成，乙單獨(dú)來做要12小時(shí)完成。現(xiàn)在，甲先單獨(dú)做了4小時(shí)，接著乙也加入。請問，兩人一起合作還需要幾小時(shí)會(huì)完成？

在閥桿密封填料函處必須設(shè)計(jì)有防細(xì)小物料進(jìn)入填料密封系統(tǒng)的自清潔結(jié)構(gòu)，同時(shí)在設(shè)計(jì)允許的條件下，盡可能增大執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安全系數(shù)，解決因少量物料堆積引起的閥門卡澀。

變式2：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)來做要20小時(shí)完成，乙單獨(dú)來做要12小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲先單獨(dú)做了4小時(shí)，接著乙也加入。請問，兩人一起合作還要用多少小時(shí)完成這項(xiàng)工作的2／3？

變式3：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)來做要20小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲乙兩人合作3小時(shí)完成了這項(xiàng)工作的2／5。接著，甲單獨(dú)做了4小時(shí)，然后乙也加入一起做了2小時(shí)后，甲又借故離開了，剩余的工作由乙來單獨(dú)完成。請問，共用多少小時(shí)來完成這一項(xiàng)工作？

在變式1中，學(xué)生可從兩種角度進(jìn)行變式解答：（1）理解“甲先單獨(dú)完成的工作量”與“兩人合作完成的工作量”之和就等于工作總量，先設(shè)兩人一起合作，還要x小時(shí)完成這項(xiàng)工作，依題意可得：4／20＋（1／20＋1／12）x＝1，得出x＝6；（2）理解“甲共完成的工作量”與“乙完成的工作量”之和就等于工作總量，先設(shè)兩人一起合作還要x小時(shí)完成這項(xiàng)工作，依題意可得：（4＋x）／20＋x／12＝1，得出x＝6。變式2是在變式一的基礎(chǔ)上適當(dāng)改變了完成工作總量的條件，學(xué)生在此可利用建立方程來解決問題：4／20＋（1／20＋1／12）x＝2／3。在變式3，設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜了些，學(xué)生先要理解這些等量關(guān)系：“甲先單獨(dú)完成的工作量”、“兩人一起完成的工作量”和“乙單獨(dú)完成的工作量”三部分之和就等于工作總量，或“甲共完成的工作量”與“乙共完成的工作量”之和就等于工作總量，然后根據(jù)已訓(xùn)練過的變式練習(xí)可以類比得出兩種解法：（1）設(shè)共用x小時(shí)完成這項(xiàng)工作，依題意可得：4／20＋2（2／5÷3）＋（x－4－2）（2／5÷3－1／20）＝1，得出x＝12.4；（2）設(shè)共用x小時(shí)完成這項(xiàng)工作，依題意可得：（4＋2）／20＋（x－4）（2／5 ÷3－1／20）＝1得出x＝12.4。

在此，教師利用了“一題多變”變式設(shè)計(jì)，適當(dāng)變換了應(yīng)用題新內(nèi)容，逐步設(shè)置了題設(shè)難度，引導(dǎo)學(xué)生開展變式訓(xùn)練，循序漸進(jìn)地打開了學(xué)生思維。學(xué)生們在“一題多變”中開展拓展訓(xùn)練，探尋不同解決方法和技巧，激發(fā)了思維靈活性和創(chuàng)新性，提升了多維思維能力。

四、滲透數(shù)學(xué)思想，激揚(yáng)科學(xué)精神

科學(xué)精神是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，教師積極滲透數(shù)形結(jié)合、分類、方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想，有利于引導(dǎo)學(xué)生更深入把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，在變式訓(xùn)練中積極參與思考、分析、運(yùn)算、推理，提高解題能力，培育起良好的數(shù)學(xué)科學(xué)精神。

原題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）。若將△ABC向右平移5個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，請畫出平移后的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)。

圖2

變式：如圖3，△ABC中任意一點(diǎn)P（－2，2）經(jīng)過平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1（3，5），將△ABC做同樣的平移，得到△A1B1C1，請寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)。

圖3

在變題中，教師先聯(lián)系點(diǎn)在坐標(biāo)系中的符號(hào)特征，把平移問題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)問題，向右（左）平移m個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)則加（減）m；向上（下）平移n個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)則加（減）n。這樣，利用變式，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，可以有效地提高學(xué)生機(jī)智變通的思維能力，增進(jìn)思維的靈活性，培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)求知精神。

此外，分類思想和方程思想在初中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練中也受到廣泛應(yīng)用，在呈現(xiàn)問題條件、分析問題情況、開展分類討論等起到積極的作用。

原題：等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成15和18的兩部分，求等腰三角形的三邊長。

變式1：等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成12和24的兩部分，求等腰三角形的三邊長。

變式2：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，求三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

在此變式題中，要注重運(yùn)用分類思想，區(qū)分題設(shè)的不同情況進(jìn)行討論，又要利用三邊關(guān)系做好檢驗(yàn)，并重視方程思想在幾何運(yùn)算中的運(yùn)用。所以，教師在變式設(shè)計(jì)中巧妙滲透數(shù)學(xué)分類思想，有利于指引學(xué)生開展分類討論、互動(dòng)探究、準(zhǔn)確解決問題，培養(yǎng)科學(xué)精神。

總之，變式是形，素質(zhì)為本。教師優(yōu)化實(shí)施變式教學(xué)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)圖形意識(shí)、語言能力、多維思維和科學(xué)精神等數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)發(fā)揮著積極的作用。我們只有切實(shí)重視學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性地位，營造豐富的變式學(xué)習(xí)氛圍，強(qiáng)化數(shù)學(xué)多樣解法的指導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的探知欲望，才能有效地指引學(xué)生參與課堂、獲取知識(shí)、發(fā)展素質(zhì)。

［1］錢懷蓮.初中數(shù)學(xué)循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014年02期.

［2］盧建兵.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015年30期.

［3］劉洪群.變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)課堂中的實(shí)施［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016年18期.