李強(qiáng)
摘要:在平面解析幾何中,通過坐標(biāo)法把平面上的點(diǎn)與一對有序數(shù)對應(yīng)起來,從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題.空間解析幾何也是按照類似方法建立起來的.高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題的設(shè)計(jì),注意到求解方法既可以用傳統(tǒng)的幾何方法,又可用向量方法來處理,但是高中數(shù)學(xué)用向量方法處理時計(jì)算量比較大,容易出錯是很多高中生頭痛的問題,尤其是在求平面法向量時過程較為復(fù)雜,本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的內(nèi)容,給出了一種“秒求法”解立體幾何的方法.
關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);高考;立體幾何;空間解析幾何
1.兩向量的向量積
定義1.1 兩個向量 與 的向量積(外積)是一個向量,記作 ,它的模是
其中 為 與b間的夾角. 的方向與 與 都垂直.(圖1).
(圖1)
定理1.1 兩個不共線向量 與 的向量積的模,等于以 與 為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.
定理1.2 兩向量 與 共線的充要條件是 0.
證 當(dāng) 與 共線時,由于sin=0,所以 |ab|=|a||b| = 0,從而ab0;反之,當(dāng)ab 0時,由定義知,a =0 ,或b =0,或sin = 0,a ∥ b,因零矢可看成與任向量都共線,所以總有a // b,即a與b共線.
定理1.3 向量積滿足下面的運(yùn)算律
(1)反交換律 a b b a,
(2) 分配律(a b) c a c b c,c (a b) c a c b.
(3) 數(shù)因子的結(jié)合律(a) b a (b) (a b) (為數(shù)).
定理1.4 設(shè)定理1..4 設(shè) ,則
為了幫助記憶,可利用三階行列式符號將上式形式地寫成
使用時可按第一行展開.
例1 設(shè)a (2 1 1),b(1 1 2),計(jì)算ab
解
2.高中向量解空間立體幾何基本思想
2.1平行與垂直的判斷
(1)平行:設(shè) 的法向量分別為 ,則直線 的方向向量分別為 ,平面
線線平行 ∥ ∥ ;線面平行 ∥ ;
面面平行 ∥ ∥
(2)垂直:設(shè)直線 的方向向量分別為 ,平面 的法向量分別為 ,則
線線垂直 ⊥ ⊥ ;線面垂直 ⊥ ∥ ;
面面垂直 ⊥ =0
2.2夾角與距離的計(jì)算 注意:以下公式可以可以在非正交基底下用,也可以在正交基底下用坐標(biāo)運(yùn)算
(1)夾角:設(shè)直線 的方向向量分別為 ,平面 的法向量分別為 ,則
①兩直線 , 所成的角為 ( ), ;
②直線 與平面 所成的角為 ( ), ;
③二面角 ─l ─ 的大小為 ( ),
(圖2)
例3、如題圖3,在五面體 中, ∥ , , ,四邊形 為平行四邊形, 平面 , .求:
(Ⅰ)直線 到平面 的距離;
(Ⅱ)二面角 的平面角的正切值.
(圖3)
解(Ⅰ)如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù),則
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)設(shè) 得 ,由 .即 ,解得 ∥ ,
面 ,所以直線AB到面 的距離等于點(diǎn)A到面 的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面 上的射影點(diǎn)為 ,則 因 且 ,而 ,此即 解得 ①,知G點(diǎn)在 面上,故G點(diǎn)在FD上. , 故有 ② 聯(lián)立①,②解得, . 為直線AB到面 的距離. 而 所以 .
(Ⅱ)因四邊形 為平行四邊形,則可設(shè) , .由 得 ,解得 .即 .故
由 , 因 , ,故 為二面角 的平面角,又 , , 所以 .
3向量積在高考立體幾何中的應(yīng)用
在第一節(jié)中我介紹了向量積的大小和方向問題,向量積的方向就是兩個向量的所在平面的法向量,而我們在第二節(jié)中介紹了在高考中用向量法解立體幾何時重點(diǎn)是如何去求法向量,在這個基礎(chǔ)上我把兩個內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合起來就得到我們的“秒求法”求法向量。
在例題3中設(shè)A點(diǎn)在平面 上的射影點(diǎn)為 ,則 因 且 ,而 ,此即 從而求解出法向量 .
我們可以用求兩個向量向量積的方法求法向量,
法向量在不為零向量的情況下與長度無關(guān),亦可?。?,1,2)作為平面的法向量.
4結(jié)論
本文通過對高等數(shù)學(xué)的深入研究與高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題的設(shè)計(jì)有機(jī)結(jié)合,用高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的內(nèi)容,給出了一種“秒求法”解立體幾何的方法.對即將參加高考的同學(xué)有很大的幫助,同時為準(zhǔn)大學(xué)生們對高等數(shù)學(xué)有一定認(rèn)識,提高了即將要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.
參考文獻(xiàn):
[1]王福楹等.高等數(shù)學(xué)第七版冊[M].上海:同濟(jì)大學(xué),2014:17-20.
[2]文尚平.5年高考三年模擬[M].北京:首都師范大學(xué),2016:129-152.