基于ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)趨勢(shì)的預(yù)測(cè)

◎李曉先

基于ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)趨勢(shì)的預(yù)測(cè)

◎李曉先

股票市場(chǎng)的發(fā)展在一定程度上反應(yīng)了一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)水平，而指數(shù)則是反應(yīng)股市運(yùn)行狀況的綜合指標(biāo)。其中，上證指數(shù)作為我國(guó)幾大具有代表性的指數(shù)之一，在一定程度上綜合反應(yīng)了我國(guó)股市的發(fā)展趨勢(shì)。再者，當(dāng)今股票市場(chǎng)的波動(dòng)時(shí)刻牽動(dòng)著國(guó)內(nèi)外億萬(wàn)投資者的心弦，因此對(duì)上證指數(shù)趨勢(shì)的研究具有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義?；诖耍疚倪x取2005年1月4日至2016年12月16日的上證指數(shù)數(shù)據(jù)，運(yùn)用ARIMA模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)。研究發(fā)現(xiàn)，在短期內(nèi)ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)的預(yù)測(cè)效果較好。

ARIMA模型 上證指數(shù) 自相關(guān)函數(shù) 偏相關(guān)函數(shù)

股票市場(chǎng)起源于17世紀(jì)的荷蘭，發(fā)展至今，其作用和影響力巨大，可以說(shuō)它是一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)和金融活動(dòng)的晴雨表。很多時(shí)候股票市場(chǎng)的不穩(wěn)定波動(dòng)可能危害一國(guó)經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展。對(duì)于國(guó)家管理者而言，能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)股票價(jià)格的走勢(shì)，及時(shí)對(duì)股票市場(chǎng)進(jìn)行合理的干預(yù)和健康的引導(dǎo)，將促使國(guó)家經(jīng)濟(jì)持續(xù)健康的發(fā)展，也可以使投資者的損失最小化、收益最大化，間接起到拉動(dòng)投資的作用。對(duì)于投資者而言，股票市場(chǎng)的波動(dòng)直接影響其股票收益，或是影響其對(duì)公司所有權(quán)部分的分紅，就外國(guó)投資者而言可能還影響其對(duì)國(guó)內(nèi)的投資額度。因此，對(duì)股票市場(chǎng)運(yùn)行狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)分析研究，明確股票市場(chǎng)的運(yùn)行趨勢(shì)有助于掌握一國(guó)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況，并為當(dāng)局管理國(guó)家金融事項(xiàng)提供幫助，也為投資者進(jìn)行投資提供良好的建議并加強(qiáng)其信心。

一、預(yù)測(cè)模型

對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法有很多，如一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑、門(mén)限自回歸、灰色預(yù)測(cè)等。本文基于學(xué)者的成果經(jīng)驗(yàn)，最終選擇在金融領(lǐng)域預(yù)測(cè)效果較佳的ARIMA模型對(duì)上證指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

ARIMA模型全稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，簡(jiǎn)記ARIMA），實(shí)質(zhì)上是自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）的擴(kuò)展，是由Box和Jenkins于上世紀(jì)70年代初創(chuàng)立的著名時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，又稱(chēng)為“B-J模型”。其中，AR是自回歸，p為自回歸項(xiàng)；MA為移動(dòng)平均，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)。

ARIMA模型的基本思想是：將預(yù)測(cè)對(duì)象隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個(gè)隨機(jī)序列，該隨機(jī)序列的單個(gè)值雖然具有不確定性，但其整體而言卻是具有一定的規(guī)律。因此，可以用一定的數(shù)學(xué)模型來(lái)近似描述這個(gè)序列，通過(guò)數(shù)學(xué)方法，使該序列達(dá)到最小方差下的最優(yōu)預(yù)測(cè)。下面幾項(xiàng)為與模型相關(guān)的內(nèi)容。

（一）自相關(guān)函數(shù)（ACF）

自相關(guān)函數(shù)記為ρt,s=Corr（Yt，Ys），t，s=0，±1，±2……

ρt,s表示同一個(gè)指標(biāo)不同時(shí)間的兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，越接近于±1，說(shuō)明變量的自相關(guān)越強(qiáng)，若接近于0，說(shuō)明兩者之間幾乎沒(méi)有相關(guān)性，等于0就是不相關(guān)。

（二）偏相關(guān)函數(shù)（PACF）

ACF衡量的是Yt與Yt-k之間的相關(guān)性，并不考慮Yt與Yt-1，Yt-2，……Yt-k+1之間的關(guān)系，而PACF是考量當(dāng)Yt-1，Yt-2，……Yt-k+1保持不變時(shí)，Yt-k與Yt之間的相關(guān)性，兩者的不同之處在于對(duì)其他變量的控制不同。

PACF記如下表達(dá)式：

其中，Ri,1,2……,k是由Yi關(guān)于（Y2……Yk）的線性回歸所得的殘差。

（三）ARIMA模型

ARIMA的表達(dá)式可以寫(xiě)成三種形式。

第一種，AR（p）模型對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。

第二種，MA（q）模型的表達(dá)式。

第三種，ARMA（p，q）模型的表達(dá)式。

其實(shí)，第三種ARMA模型就是第一種與第二種的結(jié)合體，然后再考慮一個(gè)時(shí)間序列的滯后項(xiàng)問(wèn)題，引入一個(gè)d參數(shù)，使時(shí)間序列達(dá)到平衡狀態(tài)，就是最終的ARIMA模型。

二、數(shù)據(jù)來(lái)源與處理

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源

本文所選數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)泰君安數(shù)據(jù)庫(kù)，截至2017年5月，數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)上證指數(shù)更新到2016年12月16日。以12月份的數(shù)據(jù)作為對(duì)比數(shù)據(jù)，與模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)效果。2016年12月以前的數(shù)據(jù)作為建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)作用。

（二）模型步驟

ARIMA模型具體步驟如下所示。

步驟一：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，主要包括選取適當(dāng)長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)，以及對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行穩(wěn)性檢驗(yàn)，若不平穩(wěn)，則進(jìn)行差分處理成平穩(wěn)的序列。

步驟二：檢驗(yàn)ACF與PACF，確實(shí)ARIMA（p，d，q）各參數(shù)的值。

步驟三：進(jìn)行模型估計(jì)，選出最優(yōu)的模型。

步驟四：對(duì)建立后的模型進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若通過(guò)則進(jìn)行下一步。

步驟五：利用通過(guò)檢驗(yàn)的ARIMA模型對(duì)未來(lái)走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

三、實(shí)證分析

（一）時(shí)間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)一般來(lái)說(shuō)都是不平穩(wěn)的，因此在進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型估計(jì)前，都要先對(duì)序列進(jìn)行平穩(wěn)性（ADF）檢驗(yàn)，若不平穩(wěn)則通過(guò)差分處理，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的序列。當(dāng)然，即使差分后轉(zhuǎn)變成了平穩(wěn)的序列，但轉(zhuǎn)化的序列已經(jīng)沒(méi)有分析的價(jià)值，那么這序列也就不適合時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)估計(jì)，或是要通過(guò)別的方法對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理。

圖1中的Y圖明顯可以看出，此序列不平穩(wěn)，于是采取平穩(wěn)性檢驗(yàn)，結(jié)果如下所示。

圖1 序列原始圖與一階差分后的圖

從表1中可以看出，原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)一階差分后達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，也就確立模型中d的取值為1。

間接的從圖1也可以看出，其中左邊部分為原始序列形態(tài)，右邊部分為一階差分圖，經(jīng)過(guò)差分后總體達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，然而在當(dāng)期以及前期還有部分不平穩(wěn)狀態(tài)，但我們不考慮少部份異常值的影響。

表1 原始數(shù)據(jù)與一階差分?jǐn)?shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

（二）ACF與PACF圖檢驗(yàn)

ACF與PACF主要是檢驗(yàn)兩變量間的自相關(guān)關(guān)系以及兩變量間的偏相關(guān)關(guān)系，在此處的主要作用是用以確立ARIMA模型中p，q的值。

前面已經(jīng)確定上證指數(shù)經(jīng)過(guò)一階差分處理后才平穩(wěn)，現(xiàn)就對(duì)其一階差分形式進(jìn)行檢驗(yàn)選擇。

自相關(guān)的檢驗(yàn)結(jié)果告訴我們，在滯后期為4時(shí)，序列的樣本自相關(guān)系數(shù)才落入隨機(jī)區(qū)間內(nèi)。

偏相關(guān)的檢驗(yàn)結(jié)果告訴我們，在滯后期為6時(shí)，序列的樣本系數(shù)落入隨機(jī)區(qū)間，但在滯后期為13時(shí)，再次偏離隨機(jī)區(qū)間，表現(xiàn)拖尾，但最終還是選擇滯后期為6時(shí)的結(jié)果。

綜合上述ACF與PACF的檢驗(yàn)結(jié)果，我們確立ARIMA模型中p、q的值分別為4與6，也就確立了我們最終所要的模型ARIMA（4，1，6）

（三）模型檢驗(yàn)

最終估計(jì)出來(lái)的模型，能不能符合實(shí)際情況還不得而知，要經(jīng)過(guò)一定的檢驗(yàn)才能說(shuō)明這個(gè)模型的估計(jì)是有效的，于是這里我們采取對(duì)估計(jì)模型的殘差序列做白噪聲檢驗(yàn)（見(jiàn)圖2）。

圖2 白噪聲檢驗(yàn)

從圖2中可以看出ARIMA（4，1，6）通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)，適用于時(shí)間序列上證指數(shù)的建模與預(yù)測(cè)。

（四）上證指數(shù)的預(yù)測(cè)

上面已經(jīng)驗(yàn)證模型可以用于上證指數(shù)的預(yù)測(cè)，我們先看一下預(yù)測(cè)結(jié)果圖（本文實(shí)際預(yù)測(cè)了未來(lái)20個(gè)交易日的走勢(shì)，但由于數(shù)據(jù)原因我們只對(duì)比12月16日前的數(shù)據(jù)）。

圖3 上證指數(shù)未來(lái)20個(gè)交易日的預(yù)測(cè)情況

為了使圖片上的預(yù)測(cè)效果看起來(lái)更加直觀，另外選取最近100個(gè)交易日的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)（見(jiàn)圖4）。

圖4 基于ARIMA（4，1，6），以100個(gè)歷史數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)區(qū)域

圖3、圖4藍(lán)色線條為預(yù)測(cè)線，藍(lán)色周?chē)纳罨疑糠譃?0%的預(yù)測(cè)域，淺灰色的部分為95%的預(yù)測(cè)域。大致可以看出，未來(lái)預(yù)測(cè)值總的趨勢(shì)表現(xiàn)為平穩(wěn)狀態(tài)。具體情況看基于2893個(gè)歷史數(shù)據(jù)的ARIMA（4，1，6）預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的對(duì)比（見(jiàn)表2）。

表2 未來(lái)一個(gè)月的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比

表2中對(duì)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間做了一個(gè)數(shù)值的對(duì)比，結(jié)果表明前七個(gè)交易日的預(yù)測(cè)效果較好，后面五個(gè)交易日的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)則差距比較大。

四、結(jié)論與建議

目前，用于預(yù)測(cè)時(shí)間序列趨勢(shì)的方法相對(duì)來(lái)說(shuō)較多，如前面提到的灰色預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑、門(mén)限自回歸等方法，每個(gè)方法都有一定的預(yù)測(cè)優(yōu)勢(shì)，但同樣存在一定的不足之處，因?yàn)槊恳粋€(gè)方法的創(chuàng)立之初都是為了解決特定問(wèn)題而產(chǎn)生的。本文所采用的ARIMA模型，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域相對(duì)來(lái)說(shuō)是效果較佳的一種預(yù)測(cè)方法。從最后的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際發(fā)生值之間進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在未來(lái)七個(gè)交易日的預(yù)測(cè)較好，之后則效果比較差，甚至與實(shí)際發(fā)生值偏離較大。因此，用該方法進(jìn)行預(yù)測(cè)也要考慮相應(yīng)的時(shí)效性。

另外，股票市場(chǎng)的實(shí)際波動(dòng)比較大，受很多的影響因素干擾，有市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、政治風(fēng)險(xiǎn)、技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)等。單純僅靠一個(gè)模型去做預(yù)測(cè)是不夠的，甚至有時(shí)候用同一指標(biāo)的不同時(shí)間段的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)都會(huì)得出不同預(yù)測(cè)結(jié)果。因此，需要結(jié)合其他方法與經(jīng)濟(jì)事實(shí)進(jìn)行綜合判斷。

（作者單位：江西財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

責(zé)任編輯：宋 爽