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    尋易錯(cuò)之源,覓糾錯(cuò)之道

    2017-07-31 23:58:23林生
    廣東教育·高中 2017年5期
    關(guān)鍵詞:公比錯(cuò)因剖析

    林生

    從2010年至2016年的全國高考題來看:歷年全國卷對(duì)數(shù)列的考查雖然不是每年都作為解答題出現(xiàn),但數(shù)列卻是高考數(shù)學(xué)中的一棵“常青樹”. 而全國卷中的數(shù)列對(duì)考生的考查雖不難,但由于考生對(duì)數(shù)列的概念、性質(zhì)以及基本結(jié)論理解不透徹、思考不全面等多種原因,這就導(dǎo)致考生對(duì)數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型“難以把握”. 加上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)認(rèn)知過程,在這個(gè)過程中,由于考生的認(rèn)知水平、理解水平的不同,解題過程中往往會(huì)出現(xiàn)這樣或者那樣的錯(cuò)誤,因此若不厘清數(shù)列中的易混淆、易錯(cuò)題的題型,考生依然“重復(fù)昨天的錯(cuò)誤故事”. 所以我們?cè)趥淇嫉倪^程中就要認(rèn)真對(duì)待出現(xiàn)的錯(cuò)誤,要剖析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因,探討錯(cuò)誤的糾正方法,只有我們?cè)谶@個(gè)過程中真正地做到慎思、深思,明辨其錯(cuò)誤的“是非”,這樣才可以做到不要讓類似的錯(cuò)誤再次發(fā)生. 因此我們要真正地解決數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型,就必須要熟練數(shù)列相關(guān)知識(shí),厘清它們數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型,在解題過程中加強(qiáng)對(duì)條件和結(jié)論的分析,掌握數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型的注意問題,做到將數(shù)列中的易混淆、易錯(cuò)題的題型“藥到病除”. 下面總結(jié)歸納數(shù)列中的易混淆、易錯(cuò)題的題型,就解數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型的一些解題方法和技巧來進(jìn)行舉例分析、總結(jié)歸納,結(jié)合在數(shù)列中解題出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤來辨析,以達(dá)到正本清源的功效.

    一、混淆相近的數(shù)學(xué)概念或概念不清產(chǎn)生的錯(cuò)誤

    例1. x=■是a, x, b成等比數(shù)列的( )

    A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

    C. 充要條件 D. 既不充分也不要條件

    錯(cuò)解展示:此題易錯(cuò)選為A,若x=■,則x2=ab,所以a, x, b成等比數(shù)列,當(dāng)a, x, b成等比數(shù)列,則x2=ab,所以x=±■,所以x=■是a, x, b成等比數(shù)列的充分不必要條件,故選A.

    錯(cuò)因剖析:本題選A的原因主要是知識(shí)性的錯(cuò)誤,是由概念不清所致,等比數(shù)列中要求數(shù)列中的每一項(xiàng)及公比不能為零,所以由x2=ab不一定能推出a, x, b成等比數(shù)列,反過來,a, x, b成等比數(shù)列,有x2=ab,但是不一定推出x=■.

    正解:選D,若x=■,則x2=ab,但x, a, b有可能為零,因此推不出成a, x, b等比數(shù)列,反過來,a, x, b成等比數(shù)列,有x2=ab,所以x=±■,因此x=■是a, x, b成等比數(shù)列的既不充分也不要條件.

    變式1:已知Sn為數(shù)列{ an }的前n項(xiàng)和,且有Sn=bn+■,試判斷{ an }是什么數(shù)列?

    錯(cuò)解展示:由已知條件得:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=bn+■-(bn-1+■)=(b-1)bn-1,所以an-1=(b-1)bn-2,因此有■=b,故{ an }成等比數(shù)列.

    錯(cuò)因剖析:本題錯(cuò)誤的原因就是對(duì)等比數(shù)列的概念不清晰,忽略等比數(shù)列的公比不能為零這一情況,而b=0或b≠0.

    正解:當(dāng)b=0時(shí),顯然數(shù)列{ an }不成等比數(shù)列,此時(shí)數(shù)列{ an }為常數(shù)列;當(dāng)b≠0時(shí),由已知條件得:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=bn+■-(bn-1+■)=(b-1)bn-1,所以an-1=(b-1)bn-2,所以可得■=b,因此數(shù)列{ an }是以公比b的等比數(shù)列.

    例2. 已知數(shù)列{ an }的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{ an }的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0, n∈N?鄢,若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求{ an }的通項(xiàng)公式.

    錯(cuò)解展示:依題意a1=1,a1+a2=qa1+1,2a3=3a2+2,解得a1=1,a2=2,a3=4,因?yàn)閍2 2=a1a3,所以{ an }是一個(gè)等比數(shù)列,所以an=2n-1(n∈N?鄢).

    錯(cuò)因剖析:本題由特殊代替一般,即由前3項(xiàng)成等比數(shù)列,就錯(cuò)誤認(rèn)為數(shù)列{ an }為等比數(shù)列,要證明數(shù)列為等比數(shù)列,要確保任意一項(xiàng)都滿足■為同一常數(shù)才行.

    正解:由已知得Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對(duì)所有n≥1都成立. 所以數(shù)列{ an }是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1. 由2a2,a3,a2+2成等比數(shù)列可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,由已知q>0,故q=2. 所以an=2n-1(n∈N?鄢).

    例3. 等比數(shù)列{ an }的公比為q,則q>1是“對(duì)于任意n∈N?鄢”都有an+1>an的_______條件.

    錯(cuò)解展示:當(dāng)q>1時(shí),很多考生容易錯(cuò)誤判斷出an+1>an,或當(dāng)an+1>an時(shí),則錯(cuò)誤判斷出q>1,因此很多考生會(huì)錯(cuò)誤判斷為充要條件或充分不必要條件或必要不充分條件.

    錯(cuò)因剖析:本題主要是由于不理解等比數(shù)列的遞增數(shù)列這個(gè)基本概念所致,誤認(rèn)為判斷等比數(shù)列為遞增數(shù)列和等差數(shù)列為遞增數(shù)列一樣,只需要判斷公比的情況,殊不知判斷一個(gè)等比數(shù)列是否為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列,不單單要考慮公比,還要考慮首項(xiàng)a1才行. 對(duì)于等比數(shù)列{ an },若a1>0且q>1(或a1<0且01(a1>0或且00為遞增數(shù)列,d<0為遞減數(shù)列),切莫將判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列為遞增(遞減)混淆,要理解它們之間的本質(zhì),才可以避免出錯(cuò).

    正解:在等比數(shù)列{ an }中,由于a1沒有確定(a1>0或a1<0),因此q>1無法推出數(shù)列{ an }為遞增數(shù)列,即an+1>an,同樣由an+1>an,即等比數(shù)列{ an }是遞增數(shù)列,因此可得a1>0且q>1或a1<0且01,所以q>1是“對(duì)于任意n∈N?鄢”都有an+1>an的既不充分也不要條件.

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