基于憶阻器的時滯混沌系統(tǒng)及偽隨機(jī)序列發(fā)生器?

吳潔寧王麗丹?段書凱

1)(西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院,重慶 400715)2)(非線性電路與智能信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400715)(2016年6月21日收到;2016年10月7日收到修改稿)

基于憶阻器的時滯混沌系統(tǒng)及偽隨機(jī)序列發(fā)生器?

吳潔寧1)2)王麗丹1)2)?段書凱1)2)

1)(西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院,重慶 400715)2)(非線性電路與智能信息處理重慶市重點實驗室,重慶 400715)(2016年6月21日收到;2016年10月7日收到修改稿)

憶阻器作為可調(diào)控的非線性元件,很容易實現(xiàn)混沌信號的產(chǎn)生.基于憶阻器的混沌系統(tǒng)是當(dāng)下研究的熱點,但是基于憶阻器的時滯混沌系統(tǒng)目前卻鮮有人涉足.因此,本文提出了一個新型憶阻時滯混沌系統(tǒng).時延的存在增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性,使系統(tǒng)能夠產(chǎn)生更豐富、更復(fù)雜的動力學(xué)行為.我們對提出的憶阻時滯混沌系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,確定了顯示系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點的相應(yīng)參數(shù)區(qū)域.討論了在不同參數(shù)情況下的系統(tǒng)狀態(tài),系統(tǒng)呈現(xiàn)出形態(tài)各異的混沌吸引子相圖,表現(xiàn)出豐富的混沌特性和非線性特性.最后,將系統(tǒng)用于產(chǎn)生偽隨機(jī)序列,并經(jīng)過實驗驗證,我們提出的系統(tǒng)具有良好的自相關(guān)性和互相關(guān)性,同時能獲得相對顯著的近似熵.該時滯混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜的動力學(xué)行為和良好的隨機(jī)性,能滿足擴(kuò)頻通信和圖像加密等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用需要.

憶阻器,時滯混沌,穩(wěn)定性分析,隨機(jī)性分析

1 引 言

憶阻器是Chua[1]于1971年提出的一種具有記憶功能的非線性電阻,2008年惠普(HP)實驗室Strukov等[2]數(shù)學(xué)推導(dǎo)出了HP憶阻器模型,并且物理實現(xiàn)了憶阻器,制造出了世界上第一個憶阻器.此后,憶阻器日益受到學(xué)術(shù)界的重視,在非線性科學(xué)領(lǐng)域、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域、材料科學(xué)領(lǐng)域都得到廣泛的關(guān)注和研究[3?6].憶阻器作為可調(diào)控的納米級器件,在非線性領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景,可以開拓性地推進(jìn)這類傳統(tǒng)領(lǐng)域的發(fā)展.由于憶阻器的電荷和磁通具有奇對稱的特性[7,8],Itoh和Chua[9]運用一個磁通控制的分段線性憶阻器模型替換了蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管,實現(xiàn)了第一個基于憶阻器的混沌系統(tǒng).Muthuswamy和Kokate[10]采用運算放大器和乘法器等基本電子元件實現(xiàn)了一個憶阻器等效電路,并用光滑憶阻器模型代替蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管,實現(xiàn)了一些新的憶阻混沌電路.在這些開創(chuàng)性研究的推動下,越來越多的探索致力于各類憶阻混沌系統(tǒng)的研究[11?14].近年的研究中,基于憶阻器的多渦卷混沌系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)、超混沌系統(tǒng)都呈現(xiàn)出了豐富的動力學(xué)特性[15?17],但是目前鮮有人提出基于憶阻器的時滯混沌系統(tǒng).

自從提出描述生理控制系統(tǒng)的Mackey-G lass方程以來[18],越來越多的研究致力于探索時滯動力系統(tǒng)的動力學(xué)行為.時延的存在增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性,使系統(tǒng)能夠產(chǎn)生更豐富、更復(fù)雜的動力學(xué)行為.許多自然系統(tǒng)可以用非線性時滯微分方程(DDE)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[19],比如白血病人的產(chǎn)血機(jī)制的Mackey-G lass模型、光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)諧振器動力學(xué)的Ikeda系統(tǒng)、厄爾尼諾和南方濤動(ENSO)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、種群動態(tài)、腫瘤生長、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)、控制系統(tǒng)等[20?24].引入延遲的非線性系統(tǒng)中最主要的復(fù)雜性是相空間中有限維到無限維的變化,可能導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性以及許多復(fù)雜的現(xiàn)象,比如混沌、超混沌、多穩(wěn)定性、分岔、振蕩消失等.混沌系統(tǒng)可以應(yīng)用到保密通信系統(tǒng)、基于混沌的噪聲發(fā)生器、傳感器的改善以及機(jī)器人的運動功能中.由于這些原因,我們旨在設(shè)計能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的簡單的時滯系統(tǒng)[25].因此,尋找一個封閉形式的數(shù)學(xué)函數(shù)作為非線性部分的時滯動力系統(tǒng)值得特別關(guān)注.此外,時滯混沌系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析和控制設(shè)計也是目前研究的熱點,因為它們恰當(dāng)?shù)孛枋隽苏鎸嵉奈锢砬闆r.

本文在經(jīng)典Mackey-G lass系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,利用憶阻器的憶阻值和電荷之間的非線性函數(shù)關(guān)系,提出了一種新的非線性時滯混沌系統(tǒng).我們對所提出的憶阻時滯混沌系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,確定了系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)定平衡點的參數(shù)區(qū)域,討論了系統(tǒng)在不同參數(shù)情況下的穩(wěn)定性.發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)在不同參數(shù)情況下呈現(xiàn)出多樣的混沌吸引子相圖,具有豐富的混沌特性和非線性特性.新的時滯混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列具有良好的自相關(guān)性和互相關(guān)性,同時能獲得相對顯著的復(fù)雜度,表明本文所提出的新的時滯混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜的動力學(xué)行為和良好的隨機(jī)性,可以作為新型的擴(kuò)頻序列應(yīng)用于信息安全領(lǐng)域中.本文下面的內(nèi)容安排如下:第2部分介紹了本文提出的憶阻時滯混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;第3部分計算了系統(tǒng)的平衡點并對每個平衡點進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,確定了系統(tǒng)的參數(shù)范圍;第4部分發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)在不同參數(shù)情況下具有豐富的非線性運動軌跡,對其進(jìn)行了數(shù)值仿真,并驗證了系統(tǒng)在不同參數(shù)情況下的系統(tǒng)狀態(tài);第5部分通過對提出的系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列的相關(guān)性和復(fù)雜度的計算和仿真,對憶阻時滯混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性和復(fù)雜性進(jìn)行了研究和分析;第6部分對整個工作進(jìn)行了總結(jié).

2 一個新的時滯混沌系統(tǒng)模型

本文提出一個基于憶阻器的時滯混沌系統(tǒng),其方程如下:

這里a,b是系統(tǒng)參數(shù);τ是延遲時間;x(t)是憶阻器的電荷;M(.)表示憶阻值與電荷x之間的函數(shù)[14],

D是憶阻薄膜器件的厚度,M(0)是憶阻器的初始值,RON和ROFF分別代表當(dāng)TiO2?x層的厚度為D和0時的極限憶阻值,μV是氧空穴的平均遷移率.本文中憶阻參數(shù)設(shè)置為:RON=10?,ROFF=2 k?, μV=10?15m2.s?1.V?1,M(0)=1 k?,D=1 nm.憶阻值與電荷x之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

圖1 憶阻器的憶阻值電荷的函數(shù)關(guān)系曲線Fig.1.Thememristance-charge curve ofmemristor.

3 平衡點分析

將方程(1)表示成如下形式以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性:

則我們得到系統(tǒng)的平衡點為

從(6)式,我們可以分別得到關(guān)于x和xτ的Jacobian矩陣,即

系統(tǒng)的特征方程為

3.1 τ=0時平衡點的穩(wěn)定性

當(dāng)τ=0時,由特征方程(11)式可以得到

1)當(dāng)x?＜c1時,系統(tǒng)的平衡點為,特征根λ=?a;當(dāng)x?≥c2時,系統(tǒng)的平衡點為,特征根λ=?a.所以,在任意的參數(shù)a＞0的情況下,都是穩(wěn)定的平衡點.

2)當(dāng)c1≤x?＜c2時,系統(tǒng)的平衡點為,特征根λ=?a+bk.當(dāng)特征根λ存在負(fù)實部時,平衡點是穩(wěn)定的.固當(dāng)a＞bk時,為穩(wěn)定的平衡點.

由(5)式及相應(yīng)的憶阻參數(shù)可知k的值為負(fù)數(shù),固綜上(1)和(2)式我們得到當(dāng)τ=0時平衡點穩(wěn)定的條件為

所以當(dāng)τ=0,且參數(shù)a,b滿足以上條件時,系統(tǒng)的平衡點為漸近穩(wěn)定的.(13)和(14)式為選擇系統(tǒng)參數(shù)的第一個條件.

3.2 τ/=0時平衡點的穩(wěn)定性

在系統(tǒng)存在時延τ的情況下,對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性討論如下.

1)同樣地,由(8)—(11)式可知,當(dāng)x?＜c1和x?≥c2時,τ＞0時系統(tǒng)的平衡點和特征方程與3.1節(jié)討論的τ=0時的平衡點和特征方程相同,即在任意的參數(shù)a＞0的情況下,和都是穩(wěn)定的平衡點.

2)當(dāng)c1≤x?＜c2時,由(8)式,系統(tǒng)的平衡點為,此時系統(tǒng)的特征方程為一個指數(shù)方程:

設(shè)λ=μ+i v,其中μ和v為實數(shù).平衡點的漸近穩(wěn)定性發(fā)生在特征方程所有的根都存在負(fù)實部時.如果μ的值從虛部變到實部,則μ＜0代表穩(wěn)定狀態(tài),μ＞0代表分岔狀態(tài),μ=0代表極限情況,即當(dāng)μ=0時平衡點的穩(wěn)定性會發(fā)生改變,出現(xiàn)臨界穩(wěn)定曲線.下面我們假設(shè)μ=0,將λ=i v代入特征方程(11):

由(17)式的實部和虛部我們可以分別得到

聯(lián)立(18)和(19)式可以得到

當(dāng)且僅當(dāng)|Jτ|＞|J0|時成立,即|bk|＞a(這里我們設(shè)a＞0),(由憶阻參數(shù)知k的值為負(fù)).由(18)式可得到

這里n=0,±1,±2,...,當(dāng)且僅當(dāng)Jτ/=0,即bk/=0時成立.因此對于|Jτ|＞ |J0|及確定的v(當(dāng)v＞ 0時),在(τ,a,b)參數(shù)空間中,對于任一曲線如果的值是負(fù)的,而其他曲線的值為正,則可以判定穩(wěn)定域存在于的值為負(fù)的兩條曲線之間:

(22)式中n=0,1,2,...,(23)式中n=1,2,...,n選取不同的值是為了分別滿足兩式中的τ為正.同樣地,當(dāng)v＜ 0時,存在一組與(22)和(23)式相同的方程,此時n的取值為負(fù)數(shù),以保證τ的值為正.在τ＞ 0的條件下,為了確定曲線τ1(n),τ2(n)包含的穩(wěn)定域,需要分析這些曲線對應(yīng)的或者的特性,當(dāng)導(dǎo)數(shù)的值為負(fù)時即為所求的臨界曲線.由(11)式系統(tǒng)的特征方程,我們有

特征方程(24)式兩邊同時對τ求導(dǎo):

由(24)式可知,bk e?λτ= λ+a,代入(26)式:

將μ=0時λ=i v代入(27)式:

所以(28)式的實數(shù)部分為

因此可見

對于τ1(n)和τ2(n)均成立.由(24)式知,當(dāng)τ=0時,λ=?a+bk,所以當(dāng)bk?a＜0時μ＜0,平衡點是穩(wěn)定的.我們注意到條件(30)式否定了多穩(wěn)定域的存在,因為若有第二個穩(wěn)定域存在,當(dāng)n＞0時存在的曲線,但是由以上的推導(dǎo)得出所有的的值均為正,不存在這樣的曲線,并且穩(wěn)定域不存在于任意兩個相鄰的τm(n)(m=1,2)之間[19].以上這些條件都意味著這里只存在一個穩(wěn)定域:即在(a,b)參數(shù)空間中的τ=0和(τ,a,b)參數(shù)空間中的臨界曲線τ1(0)之間,緊鄰τ=0的區(qū)域.圖2中的實線部分為τ1(n)(n=0,1,2)、劃線部分為τ2(n)(n=1,2).從以上分析我們得出,τ=0和τ=τ1(0)之間的區(qū)域是惟一的穩(wěn)定域,由圖2中的有色區(qū)域表示.其中對于τ1(0)來說,而在μ的負(fù)值到正值的范圍內(nèi),其他曲線τ2(n)＜τ＜τ1(n)(n＞0)都不滿足所需的平衡條件,因此它們都屬于非穩(wěn)定域.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)a=1時參數(shù)空間τ-b的穩(wěn)定域.實線部分表示τ1(n)(n=0,1,2),劃線部分表示τ2(n)(n=1,2),陰影部分為平衡點的穩(wěn)定域Fig.2.(color online)The stability region of the parameter spaceτ-b when a=1.The solid lines denote τ1(n)(n=0,1,2),the dashed lines denote τ2(n)(n=1,2)and the shaded area is the stability region of equilibriumpoint.

從以上的討論中我們總結(jié)出c1≤x?＜c2時系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性如下.

4 數(shù)值仿真

我們使用龍格庫塔方法對系統(tǒng)方程(1)進(jìn)行數(shù)值求解.通過選擇不同的參數(shù)值可得到系統(tǒng)不同的動態(tài)范圍.下面我們保持憶阻參數(shù)不變,研究當(dāng)參數(shù)a,b,τ取不同值時,系統(tǒng)的動態(tài)變化.

這里保持憶阻參數(shù)的值不變以及令b=1,τ=1.61,改變參數(shù)a的值.當(dāng)參數(shù)a的值在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)變化時,我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會呈現(xiàn)出不同的運動軌跡.其中當(dāng)a的取值在1附近時,系統(tǒng)會產(chǎn)生混沌吸引子、周期軌道等豐富的動力學(xué)行為.圖3顯示了當(dāng)a分別取0.7,0.8,0.992,1.1時系統(tǒng)的相圖.由圖3可以看出,系統(tǒng)對于參數(shù)a的變化極其敏感,參數(shù)a極小的改變都會使系統(tǒng)呈現(xiàn)出完全不一樣的相圖軌跡.由3.2節(jié)的分析可知,圖3中的參數(shù)條件滿足,此時系統(tǒng)的平衡點是漸近穩(wěn)定的.

4.1 系統(tǒng)隨參數(shù)a的變化

圖3 保持b=1,τ=1.61,系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的相圖 (a)a=0.7;(b)a=0.8;(c)a=0.992;(d)a=1.1Fig.3.Phase d iagramof the systemwith parameter a when keepb=1 andτ=1.61:(a)a=0.7;(b)a=0.8;(c)a=0.992;(d)a=1.1.

4.2 系統(tǒng)隨參數(shù)b的變化

保持憶阻參數(shù)的值不變,我們令a=1,τ=1.61,改變參數(shù)b的值.由3.2節(jié)的分析我們知道,當(dāng)時,特征方程(15)所有的特征根都存在負(fù)實部,所有τ1(n)和τ2(n)都是臨界曲線,平衡點在整個參數(shù)范圍內(nèi)都是穩(wěn)定的.現(xiàn)在我們?nèi)的值小于這個臨界值,觀察其相圖.由以上參數(shù),可得,我們觀察到,由于k的值極大,導(dǎo)致臨界值極小,則此時滿足b的值小于臨界值的數(shù)量級變得很小.圖4(a)—(c)中|b|的取值小于臨界值,此時系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的,我們觀察到即使在參數(shù)b的值取這么小數(shù)量級的情況下,系統(tǒng)仍能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象,并且混沌吸引子軌跡豐富、形態(tài)各異.同時,在實驗中我們得到,當(dāng)b的值大于并大于10?5時,系統(tǒng)都能產(chǎn)生形如圖4(d)的混沌吸引子,并且隨著參數(shù)b的變化,吸引子的形狀不發(fā)生變化但吸引子的大小會隨b的增加而增大,吸引子在坐標(biāo)軸上的位置會隨b的取值進(jìn)行平移,相圖中吸引子的中心坐標(biāo)(x(t?τ),x(t))總是位于(10b,10b),如圖4(d)所示.從圖4顯示的參數(shù)b取不同值時所對應(yīng)的相圖可以看出,當(dāng)a=1,τ=1.61時,系統(tǒng)在參數(shù)b的動態(tài)范圍內(nèi)總是能呈現(xiàn)出豐富的混沌現(xiàn)象.

圖4 當(dāng)a=1,τ=1.61,參數(shù)b取不同的值時所對應(yīng)的系統(tǒng)相圖 (a)b=10?8;(b)b=3×10?8;(c)b=5×10?8;(d)b=2Fig.4.Phase diagramof the systemwith parameter b when keepa=1 and τ =1.61:(a)b=10?8;(b)b=3×10?8;(c)b=5×10?8;(d)b=2.

4.3 系統(tǒng)隨時延τ的變化

令a=1,b=1以及保持憶阻參數(shù)值不變.如圖5所示,當(dāng)適當(dāng)?shù)馗淖儠r延τ的值時,系統(tǒng)呈現(xiàn)出形態(tài)各異的混沌吸引子相圖.與圖3和圖4相比,改變時延τ比改變參數(shù)a或參數(shù)b的值時系統(tǒng)呈現(xiàn)出更多不同的運動軌跡,表現(xiàn)出了系統(tǒng)復(fù)雜的混沌特性和非線性特性.并且圖5(f)顯示出,當(dāng)τ=1.61時,系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象最豐富.由3.2節(jié)分析可知,此時的參數(shù)條件滿足b＞?a/k,平衡點在τ∈(0,τ(0))的范圍內(nèi)是穩(wěn)定的,在τ∈ (τ(n),τ(n+1))時是不穩(wěn)定的. 由(22)式,此時,圖5中所取的τ的值均不在(0,τ(0))的范圍內(nèi),固此時系統(tǒng)的平衡點是不穩(wěn)定的平衡點.

當(dāng)a=1,b=1,τ=1.61時,系統(tǒng)的時域波形如圖6所示.圖6為x(t)和x(t?τ)相對于時間t的波形,可以看出系統(tǒng)產(chǎn)生的時間序列具有非周期性.系統(tǒng)對初值的敏感特性如圖7所示,藍(lán)色曲線為x0=10.005的時域波形,紅色曲線為x0=10.0050001的時域波形.可以看到即使初始值只相差0.000001,時域波形在一段時間之后呈現(xiàn)出截然不同時域軌跡,表現(xiàn)出系統(tǒng)對初值變化的極端敏感性.圖8顯示了系統(tǒng)的頻譜圖,可以看出系統(tǒng)的頻譜是連續(xù)譜,并且有一系列的峰值,進(jìn)一步說明了系統(tǒng)(1)的混沌特性.

圖5 當(dāng)a=1,b=1,改變時延參數(shù)τ時所對應(yīng)的系統(tǒng)相圖 (a)τ=1.21;(b)τ=1.52;(c)τ=1.56;(d)τ=1.6;(e)τ=1.605;(f)τ=1.61;(g)τ=1.66;(h)τ=1.97Fig.5.Phase diagramof the systemwith parameterτwhen keepa=1 and b=1:(a)τ=1.21;(b)τ=1.52;(c)τ=1.56;(d)τ=1.6;(e)τ=1.605;(f)τ=1.61;(g)τ=1.66;(h)τ=1.97.

圖6 時域波形圖 (a)狀態(tài)變量x(t)的時域波形;(b)狀態(tài)變量x(t?τ)的時域波形Fig.6.The time domain waveform:(a)The time domain waveformof the state variab le x(t);(b)the time domain waveformof the state variab le x(t?τ).

圖7 (網(wǎng)刊彩色)狀態(tài)變量x(t)對初值的敏感性Fig.7.(color on line)The sensitivity of the state variab le x(t).

5 混沌偽隨機(jī)序列的特性

混沌運動雖然可以用確定的狀態(tài)方程描述,但是其長期的行為表現(xiàn)出明顯的不確定性和隨機(jī)性.考慮到混沌系統(tǒng)天然的隨機(jī)性,我們運用一種簡單的截取混沌軌跡的部分或全部二進(jìn)制比特的方法來產(chǎn)生偽隨機(jī)序列,減少了算法代價:令Li=(30000×x)mod 255,再將Li轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),并把所有Li(i=1,2,3,...,N)以二進(jìn)制的形式連接起來保存為1×N的數(shù)組,即為此系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌偽隨機(jī)序列.

5.1 混沌偽序列相關(guān)性分析

二值偽隨機(jī)序列的一個重要應(yīng)用領(lǐng)域是可以用于擴(kuò)頻通信.在擴(kuò)頻通信中,擴(kuò)頻碼的自相關(guān)函數(shù)特性決定擴(kuò)頻系統(tǒng)的多址、跟蹤、捕捉和抗干擾能力,擴(kuò)頻碼的互相關(guān)性決定擴(kuò)頻系統(tǒng)的抗多址干擾的能力.混沌序列相關(guān)特性的好壞,直接影響實際應(yīng)用中的工作性能.

圖8 系統(tǒng)的頻譜圖Fig.8.The power spectrumof systemtoinitial value.

設(shè)Lxi為關(guān)于x(t)的偽隨機(jī)序列,Lyi為關(guān)于x(t?τ)的偽隨機(jī)序列,則自相關(guān)函數(shù)為

互相關(guān)函數(shù)為

其中i=1,2,3,...,N,N為序列長度,m為相關(guān)間隔.

取N=40000,計算出時滯混沌序列的自相關(guān)和互相關(guān)特性的波形如圖9所示.實驗結(jié)果表明,憶阻時滯系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列具有良好的自相關(guān)性和互相關(guān)性.并且從相關(guān)性圖9可以看出,本文憶阻混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的相關(guān)特性波動小,比較穩(wěn)定,能滿足圖像加密和擴(kuò)頻通信等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用的需要.

圖9 新系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列的相關(guān)性 (a)自相關(guān);(b)互相關(guān)Fig.9.The correlation of chaotic sequences generated by the newsystem:(a)Self-correlation;(b)crosscorrelation.

5.2 時滯混沌系統(tǒng)復(fù)雜度分析

混沌偽隨機(jī)序列作為新型的擴(kuò)頻序列可以應(yīng)用于信息安全領(lǐng)域中,所以對混沌偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度分析顯得尤為重要.近似熵、模糊熵等方法可以描述混沌軌道隨時間演化信息的產(chǎn)生率,并以此來度量混沌序列的復(fù)雜程度和隨機(jī)性[26].計算近似熵的方法如下:

對于一個長度為N的序列L(1),L(2),...,L(N),定義一個m維的向量組X(1),X(2),...,X(i),...,X(N ?m+1)∈ Rm,其中,

取任意兩向量對應(yīng)元素之間差值的絕對值的最大值,計算出任意向量X(i)與X(j)之間的最大距離

給定一個閾值r(r＞0),對于第i個X(i),將滿足條件d[X(i),X(j)]＜r的個數(shù)與N?m的比值定義為

ApEn表示向量集隨著m的增大產(chǎn)生信息的概率,產(chǎn)生信息概率越大,ApEn的值就越大,固序列的復(fù)雜度越大,它反映了混沌運動的復(fù)雜程度.

對于混沌偽隨機(jī)序列而言,由于偽隨機(jī)序列的取值是離散的,是一種特殊情況.因為計算ApEn要求選擇較小的r,所以r的取值可以選擇離散序列集的最小距離,這里對于混沌偽隨機(jī)序列我們選擇r=0.

按照上述方法求近似熵,我們令N=4000,m=2,r=0,分別求出四個時滯混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的隨機(jī)序列復(fù)雜度,計算結(jié)果如表1所列.從表1中四個時滯混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的隨機(jī)序列對應(yīng)的近似熵的值可看出,本文所提出的新的憶阻時滯混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌偽隨機(jī)序列的近似熵相對較大,說明新系統(tǒng)的復(fù)雜度很高,表明了本文新的憶阻時滯混沌系統(tǒng)具有潛在的混沌優(yōu)勢.

表1 混沌系統(tǒng)產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的近似熵Tab le 1.Approximate entropy of pseudorandomsequence generated by time-delayed chaotic system.

6 結(jié) 論

為了獲得更為復(fù)雜的動力學(xué)行為的混沌吸引子,不斷改善混沌系統(tǒng)已成為混沌動力學(xué)研究中的重要課題.因此,本文提出了一個具有復(fù)雜動力學(xué)行為的新的憶阻時滯混沌系統(tǒng).本文利用憶阻器天然的非線性特性,構(gòu)造出將憶阻值與電荷之間的函數(shù)關(guān)系作為非線性部分的具有單個延遲時間的新的時滯混沌系統(tǒng).通過對系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,確定了適當(dāng)?shù)臅r延參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù).并分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響,用數(shù)值仿真描述了一系列具有不同時間延遲參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)的相圖,不同的參數(shù)組合和細(xì)微的參數(shù)改變便可使系統(tǒng)呈現(xiàn)完全不同的相圖軌跡,同時也驗證了系統(tǒng)具有豐富的非線性特性.將系統(tǒng)用于產(chǎn)生偽隨機(jī)序列,驗證了系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列具有良好的自相關(guān)性和互相關(guān)性,同時獲得了相對顯著的復(fù)雜度,表明本文所提出的新的時滯混沌系統(tǒng)具有豐富和復(fù)雜的動力學(xué)行為以及良好的隨機(jī)性,可以作為隨機(jī)序列發(fā)生器應(yīng)用于信息安全領(lǐng)域中.

[1]Chua L O1971IEEE Trans.Circ.Theor.18 507

[2]Strukov D B,Snider G S,Stewart D R,W illiams R S 2008Nature453 80

[3]CorintoF,Ascoli A,G illiM2011IEEE Trans.Circuits Syst.I,Reg.Papers.58 1323

[4]JoS H,Chang T,Ebong I,Bhadviya BB,Mazumder P,Lu W 2010NanoLett.10 1297

[5]Yang J J,Pickett MD,Li X,Oh lberg D A,Stewart D R,W illiams R S 2008Nat.Nanotech.3 429

[6]W ang L D,Li HF,Duan S K,Huang TW,W ang HM2016Neurocompu ting171 23

[7]Sah MP,Yang C,KimH,Chua L 2012Sensors12 3587

[8]Hu X F,Chen G R,Duan S K,Feng G 2014In Memristor Networks(Springer International Pub lishing)pp351–364

[9]Itoh M,Chua L O2008In t.J.Bifurcat.Chaos18 3183

[10]Muthuswamy B,Kokate P P 2009IETE Tech.Rev.26 417

[11]BaoBC,Liu Z,Xu J P 2010E lectron.Lett.46 228

[12]Min G Q,W ang L D,Duan S K2015Acta Phys.Sin.64 210507(in Chinese)[閔國旗,王麗丹,段書凱 2015物理學(xué)報64 210507]

[13]Stork M,Hrusak J,Mayer D 2009In ternational Conference on Electrical and Electronics Engineering,2009 ELECOBu rsa,Tu rkey,November 5–8,2009 pp58–60

[14]W ang L D,D rakakis E,Duan S K,He P F,LiaoX F 2012Int.J.Bifurcat.Chaos22 1250205

[15]Li HF,W ang L D,Duan S K2014In t.J.Bifurcat.Chaos24 1450099

[16]Cafagna D,G rassi G 2012Non linear Dyn.70 1185

[17]Yang Y F,Leng J L,Li Q D 2014Acta Phys.Sin.63 080502(in Chinese)[楊芳艷,冷家麗,李清都2014物理學(xué)報63 080502]

[18]Mackey MC,G lass L 1977Science197 287

[19]Lakshmanan M,Senthilkumar D V 2011Dynamics of Non linear Time-Delay Systems(Springer Science&Business Med ia Press)pp27–36

[20]Ikeda K,DaidoH,AkimotoO1980Phys.Rev.Lett.45 709

[21]Bou tle I,Taylor R HS,R?mer R A2007Am.J.Phys.75 15

[22]W u F X 2009Adv.Complex Syst.12 3

[23]LiaoX X,Chen G R 2003Int.J.Bifurcat.Chaos13 207

[24]Lu JQ,CaoJ D,HoD W C 2008IEEE Trans.Circuits Syst.I,Reg.Papers55 1347

[25]Zhang X M,Chen J F,Peng J H2011In t.J.Bifurcat.Chaos21 2547

[26]Guan G R,W u C M,Jia Q 2015Acta Phys.Sin.64 020501(in Chinese)[官國榮,吳成茂,賈倩2015物理學(xué)報64 020501]

PACS:05.45.Ac,05.45.Pq,05.45.Tp,02.30.KsDOI:10.7498/aps.66.030502

Amemristor-based time-delay chaotic systems and pseudo-randomsequence generator?

Wu Jie-Ning1)2)Wang Li-Dan1)2)?Duan Shu-Kai1)2)

1)(School of Electronic and Information Engineering,Southweat University,Chongqing 400715,China)2)(Chongqing Key Laboratory of Non linear Circuits and Intelligent Information Processing,Chongqing 400715,China)(Received 21 June 2016;revised manuscript received 7 October 2016)

memristor,time-delayed chaotic,stability analysis,randomness analysis

10.7498/aps.66.030502

Memristor,a controllable nonlinear element,is easy togenerate a chaotic signal.More significantly,it can improve the complexity of the chaotic systemand the randomness of signals.Although thememristor chaotic systemis a hot spot of research currently,little attention has been paid tothe memristive time-delayed chaotic system.Therefore,a newmemristor-based time-delayed chaotic systemis proposed in this paper.We construct the time-delayed chaotic systemwith single delay time by using the non linear relationshipbetween the memristance and charge ofmemristor.The existence of time delay enhances the complexity of chaotic system,which makes the systemproduce richer and more complex dynamics.In order tostudy the complex dynamic characteristics of thismemristive time-delayed system,we investigate the proposed systemby theoretical derivation,numerical simulation,stabilization of equilibriumpoints,and power spectrum.In addition,the corresponding parameter region of the stable equilibriumpoint of the systemis discussed in detail.Then,we discuss the eff ect of parameter variation on the dynamic behavior of the system,and a series of phase diagrams with diff erent time-delayed parameters and systemparameters is described by numerical simulation.We find that diff erent combinations of parameters and slight changes of parameters can make the systema completely diff erent phase diagram,which indicates that the proposed systemhas rich nonlinear characteristic.Moreover,the proposed time-delayed systemis used togenerate pseudorandomsequences,and the experimental resu lts showthat the proposed systemhas good self-correlation,cross-correlation,and the significant approximate entropy.According tothe theoretical analyses and experimental results,we conclude that the proposed newtime-delayed chaotic systemhas complex dynamic behavior and good randomness,which can meet the needs of the applications in spread spectrumcommunication,image encryption and many other fields.This research provides a significant reference for further studying the usage ofmemristor.

?國家自然科學(xué)基金 (批準(zhǔn)號:61372139,61672436,61571372)、新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃(批準(zhǔn)號:教技函[2013]47號)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(批準(zhǔn)號:XDJK2016A001,XDJK2014A009)資助的課題.

?通信作者.E-mail:ldwang@swu.edu.cn

*Project supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.61372139,61672436,61571372),the Programfor NewCentury Excellent Talents in University of Ministry of Education of China(G rant No.[2013]47),and the Fundamental Research Funds for the Central Universities,China(G rant Nos.XDJK2016A001,XDJK2014A009).

?Corresponding author.E-mail:ldwang@swu.edu.cn