基于FCM改進(jìn)遺傳算法的工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計*

張 屹，李子木，余 振，楊宇琪

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

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基于FCM改進(jìn)遺傳算法的工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計*

張 屹，李子木，余 振，楊宇琪

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

為了對工字梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，建立了以工字梁橫截面積最小和給定負(fù)載條件下的最小化靜撓度最小為目標(biāo)函數(shù)，以滿足梁的彎曲強(qiáng)度條件及截面尺寸限制條件為約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并提出了一種基于模糊C均值聚類改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法來對其進(jìn)行求解。該算法利用FCM的模糊劃分和最大隸屬度來對交配選擇過程進(jìn)行交配約束限制。將該算法與其他典型的多目標(biāo)優(yōu)化算法在GLT系列測試函數(shù)上進(jìn)行對比測試，結(jié)果表明所提出的算法性能更好，能得到具有更好收斂性且分布更均勻的Pareto前端。工字梁實例的求解也證明了該算法的優(yōu)良性及實用性。

工字梁；多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計；模糊C均值聚類

0 引言

工字梁是一種工字形斷面的組合梁，其具有重量輕、抗彎剛度大、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，被廣泛地用于各種建筑工程、重型機(jī)械等領(lǐng)域。工字梁能在節(jié)省大量材料的同時獲得幾乎近似于外輪廓一樣的矩形截面慣性矩，因而能承受很大的彎矩。工字梁的腹板是四邊簡支板，翼板則為三邊簡支一邊自由，其截面尺寸設(shè)計需要考慮強(qiáng)度和穩(wěn)定性是否滿足基本的安全要求。

近年來，關(guān)于工字梁的優(yōu)化設(shè)計研究有許多。陳振等[1]通過分析工字梁主要的破壞形式，找到對應(yīng)不同破壞形式的主要影響因素，進(jìn)而得到合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的理論依據(jù)。王瑤瑤等[2]采用外點法罰函數(shù)的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法對工字梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，加快收斂速度，縮短了計算時間。盧超[3]則通過改進(jìn)的元胞遺傳算法對工字梁進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，也取得了不錯的效果。本文利用基于FCM改進(jìn)的遺傳算法來求解工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題，將模糊C均值聚類(FCM)應(yīng)用到遺傳算法的交配選擇過程，得到一種基于模糊C均值聚類(FCM)進(jìn)行交配約束限制的多目標(biāo)優(yōu)化算法。然后，將改進(jìn)的算法與其它經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行性能比較。最后，將該算法用于工字梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，并與普通的優(yōu)化方案作對比，驗證算法的優(yōu)越性，為工字梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計提供一定的依據(jù)。

1 工字梁優(yōu)化模型

1.1 設(shè)計變量的選擇

工字梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要是截面尺寸的優(yōu)化[4]，其優(yōu)化設(shè)計參數(shù)有工字梁整體高度a，翼板的寬度b，腹板的厚度c和翼板的厚度d。于是確定優(yōu)化設(shè)計變量為x=[x1,x2,x3,x4]T=[a,b,c,d]T。工字梁結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 工字梁結(jié)構(gòu)

1.2 目標(biāo)函數(shù)的建立

(1) 橫截面積最小

在工字梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中，往往需要盡可能地節(jié)省耗材，因為耗材的多少決定著生產(chǎn)成本的高低。因此從降低生產(chǎn)成本的角度考慮，將工字梁的橫截面積最小作為優(yōu)化目標(biāo)之一，其表達(dá)式可由四個決策變量表示為：

minf1(x)=2x2x4+x3(x1-2x4)

(2) 最小化靜撓度最小

在減少耗材的同時還需要考慮工字梁的穩(wěn)定性和強(qiáng)度，可采用靜撓度來綜合衡量其穩(wěn)定性和強(qiáng)度。因此，在給定負(fù)載條件下的最小化靜撓度最小可作為另一優(yōu)化目標(biāo)，最小化靜撓度的公式為：

其中，P為最大彎曲載荷，l為工字梁長度，E為楊氏彈性模量，I為慣性矩。此處的慣性矩I可由決策變量表示為：

1.3 約束條件的確定

根據(jù)相關(guān)的設(shè)計要求，工字梁的優(yōu)化設(shè)計需要滿足以下約束條件。

(1)彎曲強(qiáng)度的條件限制

要保證工字梁所受的彎曲應(yīng)力小于梁的許用彎曲應(yīng)力，即有：

其中，My和Mz分別為Y軸和Z軸方向上的最大彎矩，Wy和Wz分別是Y軸和Z軸方向上的抗彎截面系數(shù)，[σ]為梁的許用彎曲應(yīng)力?？箯澖孛嫦禂?shù)又可根據(jù)所設(shè)的決策變量表示如下：

故第一個約束條件為：

(2)截面尺寸的條件限制

根據(jù)不同的設(shè)計條件和需求，對于截面的尺寸有不同的限制，即有約束條件為：

其中，amin,amax,…,dmin,dmax分別為針對實際情況所設(shè)定的尺寸上下限。

2 基于FCM改進(jìn)的遺傳算法

近年來，聚類技術(shù)發(fā)展迅猛，被廣泛地應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、統(tǒng)計學(xué)以及機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。聚類技術(shù)可籠統(tǒng)地分為硬聚類與軟聚類兩大類，所謂的硬聚類，即每一個個體只能被歸為一類；所謂的軟聚類，即通過隸屬度來確定每個個體隸屬于各個類的程度的模糊聚類。本文所提出的遺傳算法FCMMO就是利用模糊C均值聚類來進(jìn)行交配約束的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

模糊C均值聚類(FCM)[5]是一種實現(xiàn)模糊劃分的聚類方法，其主要是被用來最小化以下函數(shù)：

式中，m是一個指定模糊度的實數(shù)參數(shù)，υj是第j個聚類的中心，V={υ1,υ2,…,υC}是一系列聚類的中心，||·||代表任何一個數(shù)據(jù)點和聚類中心之間的距離的規(guī)范表示，其中μij為第i個個體對于第j個類的隸屬度，其表達(dá)式為：

基于這種FCM聚類算法，本文提出了一種交配約束限制(FMR)方案來為每一代個體xi設(shè)置交配池Qi，具體偽代碼如下：

Qi=FMRxi,P,U()①If∑k-1j=1μij≤rand()≤∑k+1j=1μij, 1≤k≤C do②Gathersolutionsinthekthclusterbasedonmaximummembershipprinciple,CT=xqk=argmaxl∈1,…,C{}μql, q∈1,…,N{}{}.③Setthematingpoolforxi, Qi=CT if CT≥2P otherwise{.④endif⑤returnQi.

確定交配池后，通過二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇機(jī)制[6]確定父代，再采用差分進(jìn)化[7]和多項式變異[8]操作來對父代進(jìn)行交叉變異操作生成新一代個體。在這個過程中，首先通過差分進(jìn)化算子生成一個試驗解y′；然后在y′上施加一個邊界修復(fù)機(jī)制，使其成為可行解；接著采用多項式變異算子對可行解進(jìn)行變異操作，進(jìn)一步提高其質(zhì)量；最后，再次采用相同的修復(fù)機(jī)制來確保變異后的解是可行解。具體偽代碼如下：

y=SolutionGenerationx,Q()①Choosetwodifferentparentsolutionsxr1,xr2fromQbybinarytournamentselectionapproach.②Generateatrialsolution y'=x+F×xr1-xr2().③Repairthesolutiony″i=aiify'ibiy'otherwiseì?í????,whereaiandbi,i=1,2,…,n,denotethelowerandupperboundariesoftheithvariable,respectively.④Mutatethesolution y?i=y″i+δi×bi-ai() if rand()biy?i otherwiseì?í????,for i=1,2,…,n.⑥r(nóng)eturny=y1,y2,…,yn()T.

具體算法流程如下：

該電影產(chǎn)業(yè)大數(shù)據(jù)可視化Hybrid App支持跨平臺，本章對軟件在多個平臺上進(jìn)行了測試，測試設(shè)備是基于Android系統(tǒng)的小米3手機(jī)和基于iOS系統(tǒng)的iPhone 7手機(jī)，測試真機(jī)參數(shù)如表1所示。

Step1：算法參數(shù)設(shè)置：種群大小N，最大迭代次數(shù)T，聚類個數(shù)C，差分控制參數(shù)F和CR，多項式變異概率Pm和變異的分布指數(shù)ηm等；

Step2：種群初始化并建立一個空的外部檔案；

Step3：設(shè)置迭代計數(shù)器t=1；

Step4：利用FCM發(fā)現(xiàn)種群個體的聚類結(jié)構(gòu)；

Step5：對每個個體按照文中提出的FMR設(shè)置交配池，利用錦標(biāo)賽選擇機(jī)制選出父代個體；

Step6：通過差分進(jìn)化策略和多項式變異操作得到子代個體；

Step7：評估子代個體，更新當(dāng)前種群和外部檔案；

Step8：更新計數(shù)器t，判斷其是否達(dá)到所設(shè)的最大

迭代次數(shù)。若是，輸出外部檔案作為最優(yōu)的Pareto前端，反之轉(zhuǎn)到Step4。

3 算法性能測試與分析

為了更好地測試本文所提出的算法性能，將該算法與MOEA/D-DE[9]，NSGA-II[10]，SMS-EMOA[11]這3種性能良好的算法在具有復(fù)雜PF形狀和PS結(jié)構(gòu)的GLT[12]系列測試函數(shù)上進(jìn)行測試，并在相同的評價指標(biāo)下對各算法的性能進(jìn)行對比評估分析。

3.1 算法評價指標(biāo)

為了定量地評價算法的性能，本文采用了兩種常用的性能評價指標(biāo)即反向世代距離(IGD)與超體積(HV)來評價該算法的性能。

(1) 反向世代距離(IGD)

假設(shè)P*代表一組均勻分布在PF上的Pareto最優(yōu)解，P是所獲得的近似解組成的近似PF，那么反向世代距離(IGD)可定義如下[13]：

(2) 超體積(HV)

超體積(HV) 的定義如下[14]：

3.2 算法參數(shù)設(shè)置

為了確保對比實驗更加公平更加客觀，所有算法均采用協(xié)調(diào)優(yōu)化后的最佳參數(shù)進(jìn)行對比實驗研究，且所有算法均通過MATLAB實現(xiàn)。

參數(shù)設(shè)置如下：種群大小N=100；變量維度n=10；最大迭代次數(shù)T=300；四種算法均采用相同的多項式變異控制參數(shù)即pm=1/n,ηm=20；MOEA/D-DE的差分算子最優(yōu)參數(shù)為F=0.3，CR=0.8；而NSGA-II和SMS-EMOA的最優(yōu)差分算子參數(shù)為F=0.5,CR=1；FCMMO的各項參數(shù)為C=7,F=0.5,CR=1。

3.3 測試結(jié)果與分析

將四種算法分別對GLT系列測試函數(shù)進(jìn)行20次獨立運算，統(tǒng)計所得IGD和HV的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，用深灰底紋表示最優(yōu)值，淺灰底紋表示次優(yōu)值，具體結(jié)果見表1和表2。

表1 反向世代距離(IGD)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

表2 超體積(HV)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

由上述兩表可知，針對IGD指標(biāo)值，F(xiàn)CMMO包攬了所有最優(yōu)值，其余三個算法分別占了2個次優(yōu)值；對于表2中的HV指標(biāo)值，F(xiàn)CMMO依然占據(jù)了所有最優(yōu)值，SMS-EMOA占了5個次優(yōu)值，NSGA-II則一個也沒有。這表明FCMMO相對于其他三種算法來說其性能最好，能獲得收斂性、多樣性及均勻性都更好的Pareto前端。

4 工字梁實例求解

現(xiàn)對某工字梁問題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，已知梁的許用彎曲應(yīng)力為[σ]=20kN/cm2，楊氏彈性模量為E=2×104kN/cm2，兩個最大彎曲載荷分別為P=600kN和Q=80kN，兩個最大彎矩分別是My=3000kN·cm和Mz=2800kN·cm，梁的長度為L=200cm，四個決策變量的上下限分別為[10,50],[10,30],[1,10],[1,10]。要求在滿足設(shè)計要求的情況下，使得梁的橫截面最小且在給定負(fù)載條件下的靜撓度最小。

針對上述工字梁實例，運用前面所提到的三種經(jīng)典算法與FCMMO對其進(jìn)行求解。對于該實際問題對算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，最終的參數(shù)設(shè)置如下：種群大小N=100，外部檔案也為100，最大評價次數(shù)為Gmax=30000，F(xiàn)CMMO的各項最優(yōu)參數(shù)為C=3,F=0.9,CR=0.6，其他算法的參數(shù)通過優(yōu)化后基本與3.2中設(shè)置相同。

圖2 NSGA-II得到的Pareto前端

圖3 FCMMO得到的Pareto前端

圖2和圖3分別給出了NSGA-II和FCMMO所得到的Pareto前端，由兩個圖對比可知，F(xiàn)CMMO得到的Pareto前端的分布性和收斂性都明顯優(yōu)于NSGA-II。

為了更加直觀地驗證FCMMO的性能，本文比較了各算法所求的子目標(biāo)的最小值，即上圖所示橫、縱坐標(biāo)最小的點A和B。四種算法的子目標(biāo)最小值及其所對應(yīng)的決策變量值具體如表3所示，粗體表示最優(yōu)值。

表3 工字梁設(shè)計問題的對比結(jié)果

從上表可知，F(xiàn)CMMO所得到的兩個最小值均優(yōu)于其他三個算法。由此可見，通過采用FCMMO來求解工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題，能在滿足彎曲強(qiáng)度條件及尺寸限制條件的約束下，使得到的工字梁結(jié)構(gòu)橫截面積更小、最小靜撓度更小。

5 結(jié)論

本文將模糊C均值聚類(FCM)加入到多目標(biāo)優(yōu)化算法中，設(shè)計了一種基于模糊C均值聚類的交配約束限制策略(FMR)，并提出了一種基于模糊C均值聚類的多目標(biāo)進(jìn)化算法(FCMMO)。在每一次迭代中，F(xiàn)MR采用模糊C均值聚類算法來發(fā)現(xiàn)種群個體的聚類結(jié)構(gòu)，然后基于該聚類結(jié)構(gòu)，根據(jù)每個個體對聚類的隸屬度為其確定相應(yīng)的交配池進(jìn)而交叉重組產(chǎn)生新的個體。

性能測試結(jié)果表明，F(xiàn)CMMO相較于其他三種經(jīng)典算法，所得到的Pareto前端分布更加均勻。運用該算法求解工字梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，所得結(jié)果也相對更優(yōu)。綜上，在求解這類簡單的多目標(biāo)優(yōu)化問題時，F(xiàn)CMMO具有一定的工程實用價值。

[1] 陳振, 王俊華, 高翔, 等. 起重機(jī)工字型截面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計探討[J]. 港口裝卸, 2014 (6): 17-20.

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(編輯 李秀敏)

A FCM Based Genetic Algorithm for I-Beam Optimization Design

ZHANG Yi，LI Zi-mu，YU Zhen，YANG Yu-qi

(College of Mechanical&Power Engineering，China Three Gorges University，Yichang Hubei 443002，China)

To optimize the design of an I-beam, the paper took the minimization of the cross-sectional area of the I-beam and the minimum static deflection that under given load condition as the objective functions, established the model for the multi-objective optimization and under that the I-beam structure meet the needs for bending strength and sectional size limitation and others．An improved multi-objective optimization algorithm based on fuzzy C-means clustering was proposed. The algorithm uses the fuzzy partition of FCM and the maximum membership degree to constrain the mating selection process. The comparative performance test results on a set of test instances(GLT) reveal that the proposed algorithm outperforms some state-of-the-art algorithms in terms of convergence and diversity．The I-beam example also proved the superiority and practicality of the algorithm.

I-beam; multi-objective optimization design; fuzzy C-means clustering

1001-2265(2017)07-0068-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.016

2016-12-18

國家自然科學(xué)基金項目(51275274，71501110)；三峽大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金(SDYC2016032)

張屹(1976—)，男，蘭州人，三峽大學(xué)教授，博士后，研究方向為智能算法及其機(jī)械工程優(yōu)化應(yīng)用，(E-mail)jxzhangyi1976@126.com。

TH166;TG506

A