復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具出生和死亡的一類分?jǐn)?shù)階SIR模型的全局漸近穩(wěn)定性

魏曉丹

(1. 大連民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116600；2. 吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具出生和死亡的一類分?jǐn)?shù)階SIR模型的全局漸近穩(wěn)定性

魏曉丹1,2

(1. 大連民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116600；2. 吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具出生和死亡的一類分?jǐn)?shù)階SIR模型地方病平衡解的全局漸近穩(wěn)定性。在某些額外的條件下，這個(gè)問(wèn)題已被討論。通過(guò)構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)，在沒(méi)有任何額外的條件下，證明了該模型地方病平衡解的全局漸近穩(wěn)定性。這個(gè)結(jié)果改進(jìn)了已有文獻(xiàn)中的一個(gè)結(jié)果。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；分?jǐn)?shù)階微分方程；全局漸進(jìn)穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)方法

是度值為k的節(jié)點(diǎn)的分布函數(shù)，n為所有節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)，并指出：如果傳播率超過(guò)這個(gè)臨界值，那么疾病將會(huì)持續(xù)傳播，并轉(zhuǎn)化為地方病。對(duì)這一結(jié)果的數(shù)學(xué)證明于2008年由Wang等[3]給出。自Pastor-Storras和Vespignani的研究工作以來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病模型的傳播動(dòng)力學(xué)得到了廣泛研究，這其中的一個(gè)重要課題便是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上微分方程模型的穩(wěn)定性分析，參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-13]。

然而，目前所見(jiàn)到的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型大多都是用整數(shù)階微分方程模型來(lái)描述的，其局限是不能準(zhǔn)確地描述記憶特征、歷史依賴性等，而分?jǐn)?shù)階微分方程模型能很好地彌補(bǔ)這些缺陷。另一方面，現(xiàn)有的大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)中研究傳播動(dòng)力學(xué)是沒(méi)有考慮出生和死亡的靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)，但對(duì)于這類網(wǎng)絡(luò)傳染病模型，由于出生會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的增長(zhǎng)，而死亡會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的衰減，因而會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，使得模型的穩(wěn)定性分析更為困難。 在文獻(xiàn)[14]中, 作者考慮了上述兩個(gè)方面，并提出了如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的分?jǐn)?shù)階微分方程模型：

k=1,2,…,n

(1)

k=1,2,…,n

而Θ*是如下方程的唯一正解：

定理1 設(shè)R0>1，那么系統(tǒng)(1)的地方病平衡解是全局漸近穩(wěn)定的。

1 若干引理

為證明定理1，不加證明地引用如下引理。

引理1[16]設(shè)x(t)∈R是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則

Dαx2(t)≤2x(t)Dαx(t)

引理2[14]設(shè)x(t)∈R+=(0,+∞)是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則

2 定理的證明

定理1的證明 設(shè) (Sk,Ik,Rk)為問(wèn)題 (1) 的一個(gè)解。令V=V1+V2+a1V3+a2V4, 其中

Nk=Sk+Ik+Rk,

并且a1,a2為正常數(shù)。接下來(lái)，計(jì)算函數(shù)Vi(i=1,2,3,4)的導(dǎo)數(shù)。首先，由引理1及Sk滿足的方程得

(2)

將其代入式(2)得

(3)

利用引理2及Θ滿足的方程：

得

(4)

DαV1(t)+DαV2(t)≤

(5)

利用引理1及Nk滿足的方程：

DαNk=b-(b+μ)Nk

得

(6)

用引理1及Rk滿足的方程得

(7)

由Young不等式得

將這兩不等式代入式(7)得

(8)

聯(lián)合式(5)，式(6)及式(8)，并取

有

DαV=DαV1+DαV2+a1DαV3+a2DαV4≤

[1]PASTOR-SATORRASR,VESPIGNANIA.Epidemicspreadinginscale-freenetworks[J].PhysicalReviewLetter, 2001, 86(14): 3200-3203.

[2]PASTOR-SATORRASR,VESPIGNANIA.Epidemicdynamicsinfinitesizescale-freenetworks[J].PhysicalReviewE, 2002, 65(3): 035108(R).

[3]WANGL,DAIGZ.Globalstabilityofvirusspreadingincomplexheterogeneousnewworks[J].SIAMJournalonAppliedMathematics, 2008, 68(5): 1495-1502.

[4]LIUJZ,TANGYF,YANGZR.Thespreadingofdiseasewithbirthanddeathnetworks[J].JournalofStatisticMechanics, 2004, 2004:P08008.

[5]YANGM,CHENGR,FUXC.AmodifiedSISmodelwithaninfectivemediumoncomplexnetworksanditsglobalstability[J].PhysicaA, 2011, 390: 2408-2413.

[6]LIUJL,ZHANGTL.EpidemicspreadingofanSEIRSmodelinscale-freenetworks[J].CommunicationinNonlinearScienceNumericalSimulation, 2011, 16(8): 3375-3384.

[7]ZHANGJP,JINZ.Epidemicspreadingoncomplexnetworkswithcommunitystructure[J].AppliedMathematicsandComputation, 2012, 219(6): 2829-2838.

[8]ZHUGH,FUXC,CHENGR.Globalattractivityofanetwork-basedepidemicSISmodelwithnonlinearinfectivity[J].CommunicationinNonlinearScienceNumericalSimulation, 2012, 17(6): 2588-2594.

[9]FERREIRAS,CASTELLANOC,PASTOR-SATORRASR.Epidemicthresholdsofthesusceptible-infected-susceptiblemodelonnetworks:acomparisonofnumericalandtheoreticalresults[J].PhysicalReviewE, 2012, 86(4): 041125.

[10]LIT,WANGYM,GUANZH.SpreadingdynamicsofaSIQRSepidemicmodelonscale-freenetworks[J].CommunicationinNonlinearScienceNumericalSimulation, 2014, 19(3): 686-692.

[12]LIC.Dynamicsofanetwork-basedSISepidemicmodelwithnonmonotoneincidencerate[J].PhysicaA, 2015, 427: 234-243.

[13]WEIXD,LIULJ,ZHOUWS.Globalstabilityandattractivityofanetwork-basedSISepidemicmodelwithnonmonotoneincidencerate[J].PhysicaA, 2017, 469: 789-798.

[14]HUOJJ,ZHAOHY.DynamicalanalysisofafractionalSIRmodelwithbirthanddeathonheterogeneouscomplexnetworks[J].PhysicaA, 2016, 448: 41-56.

[15] 丁金鳳, 金世欣, 張毅. 基于Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的Hamilton系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether理論[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 55(6): 79-85.DINGJF,JINSX,ZHANGY.FractionalNoethertheoremsforHamiltonsystemwithtimedelaybasedonCaputodervitaves[J].ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisSunyatseni, 2016, 55(6): 79-85.

[16]AGUILA-CAMACHON,DUARTE-MERMOUDMA,GALLEGOSJA.Lyapunovfunctionsforfractionalordersystems[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2014, 19(9): 2951-2957.

GlobalstabilityofafractionalorderSIRmodelwithbirthanddeathoncomplexnetworks

WEIXiaodan1,2

(1.SchoolofComputerScienceandEngineering,DalianMinzuUniversity,Dalian116600,China;2.SchoolofComputerScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130012,China)

The global stability of the endemic equilibrium of a fractional order SIR model with birth and death on complex networks is studied. Under some additional conditions, the problem is discussed. It is proved by constructing a Lyapunov function that without any additional condition, the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. The result improves previous work.

complex networks; fractional order differential equation; global stability; Lyapunov function mehtod

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.04.004

2017-04-06 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11571062)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(DC201502030407)

魏曉丹(1978年生)，女；研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；E-mail:weixiaodancat@126.com

O

A

0529-6579(2017)04-0020-04