求解函數(shù)極值點偏移問題的減元思想

陳芹艷

(安徽省五河縣第一中學(xué)，安徽 蚌埠 233300)

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求解函數(shù)極值點偏移問題的減元思想

(安徽省五河縣第一中學(xué)，安徽 蚌埠 233300)

本文以在數(shù)理化解題研究2016(1)發(fā)表的極值點偏移問題的一個解題策略的文章中的四道例題為例，談?wù)劀p元思想破解函數(shù)極值點偏移問題的可行性.

函數(shù)；極值點；偏移問題；減元思想

本文以文[1]的四道例題為例，談?wù)劀p元思想破解函數(shù)極值點偏移問題的可行性.

例1 已知函數(shù)f(x)=xe-x，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)x1≠x2，f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

解析 (1)x∈R，f′(x)=(1-x)e-x,設(shè)f′(x)=0，得x=1.f(x)在(-∞，1)上遞增，在(1，+∞)上遞減.

(2)不妨設(shè)x1

∵f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，所以x1+x2>2等價于f(x1)>f(2-x2),即證f(x1)=f(x2)>f(2-x2)，即證f(x2)-f(2-x2)>0.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2-x)=xe-x-(2-x)ex-2，x∈(1,+∞).

∵g′(x)=(1-x)(e-x-ex-2)>0，∴g(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)>g(1)=0得證.

評論 本解法的思維程序為：1.根據(jù)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)建立等量關(guān)系，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性，確定x1，x2的取值范圍.

2.不妨設(shè)x1

3.構(gòu)造關(guān)于x1(或x2)的一元函數(shù)g(xi)=f(xi)-f(2a-xi)(i=1,2)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并借助單調(diào)性，達到待證不等式的證明.

(2)不妨設(shè)x1

∵f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增，欲證：x1+x2<0，即證x1<-x2問題等價于證明f(x1)

解析 (1)x∈R，f′(x)=ex-a在(-∞，+∞)上遞增.

(2)當(dāng)a≤0時，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意.

例4 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x，(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)的圖象與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，線段AB的中點橫坐標(biāo)為x0，證明f′(x0)<0.

當(dāng)a≤0時，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意.

∴g(x)>g′(1/a)>0,得證.

本文所述策略是解決極值點偏移問題的通性通法，實質(zhì)上是把雙變量的等式或不等式通過減元轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑是構(gòu)造一元函數(shù)，這種方法對學(xué)生來說，親切自然，水道渠成，易于接受.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

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1008-0333(2017)16-0030-02