用函數(shù)的觀點(diǎn)求解數(shù)列問題

楊梅++甯懿楠

【摘要】教材將數(shù)列安排在函數(shù)之后學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與函數(shù)知識的密切關(guān)系，數(shù)列可看作一個定義域為N的函數(shù)，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式；其圖像表示的是一群孤立的點(diǎn)，因此，用函數(shù)的觀點(diǎn)去考查數(shù)列問題也是一種有效的途徑，本文將用函數(shù)的觀點(diǎn)來解決數(shù)列的相關(guān)問題.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；等差數(shù)列；二次函數(shù)

一、利用等差數(shù)列通項公式是一次函數(shù)形式的性質(zhì)

對于公差不為零的等差數(shù)列來說，它的通項是關(guān)于n的一次函數(shù)，其公差就是這個一次函數(shù)（直線）的斜率，因此，可用此思想來求得數(shù)列的公差，進(jìn)而求得數(shù)列中其他的量.

例1在等差數(shù)列{an}中，a5=-3，a15=27，求數(shù)列的通項公式.

分析本題中已知數(shù)列中的兩項，求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題，要求出數(shù)列通項的公式，應(yīng)先求出公差d，再按公式寫出通項.

解題思路聯(lián)系等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n一次函數(shù)，且公差就是這個一次函數(shù)的斜率，題中已知的兩項可看成兩點(diǎn)（5，-3），（15，27），求出過這兩點(diǎn)直線的斜率即為該數(shù)列的公差，則可求得數(shù)列的通項公式.

二、利用Sn是n的二次函數(shù)的性質(zhì)

分析該題的題干較短，可提取的信息不多，對于我們解決問題有一定的困難，若直接用公式然后令它們相等來解決問題較難，不易突破.因此，可以聯(lián)系公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于項數(shù)n的二次函數(shù)，將數(shù)列問題用函數(shù)的思想求解.

解題思路（1）略.

（2）該題若從數(shù)列的角度解決有一定的困難，為了更方便地解決此題，我們可以從函數(shù)的角度思考利用公差不為零的等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)之間的關(guān)系可知對稱軸為 ，即Sm+n的值為零.

反思上題第二問的解答方式利用了二次函數(shù)圖像關(guān)于對稱軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖像性質(zhì)分析解決數(shù)列問題能使問題轉(zhuǎn)變得更簡單.

三、利用函數(shù)的性質(zhì)解數(shù)列問題

數(shù)列是特殊的函數(shù)，函數(shù)基本性質(zhì)包括：單調(diào)性、周期性、奇偶性、最值性，其中函數(shù)的單調(diào)性、周期性在數(shù)列中有廣泛的應(yīng)用.

（一）函數(shù)單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用

解題思路由所求問題可知，首先應(yīng)先求出an的形式，根據(jù)題中所給出的遞推關(guān)系很容易判斷出用累加法求通項，令f（n）=ann將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再按求函數(shù)最值的方法求最值即可，但應(yīng)注意此特殊函數(shù)定義域.

反思數(shù)列是一種離散型的函數(shù)，它的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別.在利用函數(shù)單調(diào)性解決數(shù)列的最值問題時要善于利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)來分析數(shù)列問題，同時應(yīng)注意數(shù)列的定義域.

（二）函數(shù)的周期性在數(shù)列中的應(yīng)用

分析此題所要求解的是該數(shù)列的第2 008項，從題中給出的已知條件我們不能套用公式，因此，我們應(yīng)從周期性的角度考慮，結(jié)合函數(shù)周期的確定方法來解決此問題.

解題思路題中給出的遞推關(guān)系是連續(xù)三項之間的關(guān)系，我們可以令f（n）=an，聯(lián)系題中已知的遞推關(guān)系可以求出該函數(shù)的周期，用2 008除以周期再結(jié)合余數(shù)即可求出第2 008項的值.

反思本題主要考查數(shù)列的基本知識，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)所隱含的函數(shù)關(guān)系，利用周期性，從而達(dá)到解題的目的.

綜上可見，在解決較難數(shù)列問題時，常常找不到解題的突破口，使思維受阻.我們知道數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，若能將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來研究就很方便快捷.因此，當(dāng)我們在解決數(shù)列問題時，要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識，以它的概念、性質(zhì)以及圖像為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別，從而更好地解決數(shù)列問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]閆沛蓮.函數(shù)觀點(diǎn)下的數(shù)列問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006（2）：24-26.

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