“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)實(shí)錄與反思

林愛華

【摘要】本節(jié)課是必修5第二章第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用.通過本課的部分教學(xué)實(shí)錄談?wù)剬虒W(xué)的幾點(diǎn)反思.

【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列；前n項(xiàng)和；教學(xué)實(shí)錄；反思

一、創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1：1+2+3+4+…+100=？

師：大家都聽說過高斯的故事吧，據(jù)說在200多年前，高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們提出了這樣的一道問題：計(jì)算1+2+3+4+…+100=？當(dāng)時(shí)高斯的同學(xué)一看到題目就馬上埋頭計(jì)算起來，而唯獨(dú)他沒有這么做，他先思考，結(jié)果當(dāng)他的同學(xué)都在緊張計(jì)算卻還沒有得出答案的時(shí)候，他已經(jīng)舉手說：“老師，我做完了.”老師大吃一驚，原來是班上年紀(jì)最小的高斯.老師走到他身邊只見他在筆記上寫著5 050，不由得暗自稱贊.同學(xué)們，你們知道小高斯當(dāng)時(shí)用了什么妙法迅速解決了這個(gè)求和問題嗎？

生1：他不是從左往右一個(gè)一個(gè)計(jì)算的.

生2：高斯發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101.因此，把1+2+3+4+…+100分成50組，每組和為101，共5 050.

師：回答得非常好！

1+2+3+4+…+100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）

=101×50

=5050.

問題2：建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為1，2，3，…，9.共有多少根圓木？請用簡便的方法計(jì)算.（數(shù)據(jù)小而少，學(xué)生很快就求得結(jié)果45）

問題3：求1到n的正整數(shù)之和，即1+2+3+…+n=？

（學(xué)生們紛紛模仿小高斯的做法來算，但很快就有學(xué)生算不下去了）

生3：老師，n是奇數(shù)還是偶數(shù)？

師：都有可能.（很快有學(xué)生說出了自己的想法）

師：很好，懂得對n分類討論，要是不分類還有別的求和辦法嗎？

生5：把1+2+3+…+n各項(xiàng)順序倒過來，即n+（n-1）+…+3+2+1，把兩式相加再除以2即可.

師：回答得非常棒！剛才這名同學(xué)利用的是1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=…=n+1這一特點(diǎn)求和.

二、課題引入

師：我們把a(bǔ)1+a2+a3+…+an叫作數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，如何求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn呢？

三、探究新知

師：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=a1+a2+a3+…+an，能否用問題3的解決方法求和呢？請討論并推導(dǎo).（筆者下去巡查了一下，發(fā)現(xiàn)有的組討論很激烈）

師：請一名同學(xué)說說你們組的討論結(jié)果，是如何得到的？

師：不錯(cuò)，以上兩個(gè)公式都是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，前者反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和這個(gè)性質(zhì)；后者反映了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系，并且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”.華羅庚曾說過：“數(shù)少形不直觀，形少數(shù)難入微.”你們能否認(rèn)真觀察公式（1）（2）并給予幾何解釋.（學(xué)生沉默了近1分鐘，還是沒有發(fā)現(xiàn)哪個(gè)圖形與它們有聯(lián)系）

練習(xí)熱身：求下列等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn（略）.

（這組練習(xí)目的是幫助學(xué)生熟悉公式，并能恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式）

四、應(yīng)用舉例

例1（教材第43頁例1）（讓學(xué)生閱讀并審題）

師：根據(jù)題意求這10年資金的總投入即把這10年的資金相加，而每年投入的資金是多少？

眾生：2001年是500萬元，以后每年的投入資金比上一年增加50萬元.

師：這是怎樣的一個(gè)求和問題？

眾生：等差數(shù)列，求以500為首項(xiàng)，以50為公差的等差數(shù)列的前10項(xiàng)和.

師：很好.要用哪個(gè)求和公式？

（分析完畢，利用幻燈片給出解題過程）

例2（教材第43頁例2）（讓學(xué)生閱讀并審題）

師：要確定等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，最基本的量有哪些？（學(xué)生回顧等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，明確a1與d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，利用方程組思想解決）

五、練習(xí)鞏固（略）

六、教后反思

（一）對教學(xué)過程設(shè)計(jì)的反思

本節(jié)開頭以大家熟知的小高斯的故事設(shè)置情境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也激勵(lì)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)，淺顯的引入讓學(xué)生情緒高漲.這時(shí)又拋出第二個(gè)工地上木頭的堆放問題，層層鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般歸納等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法，并得出結(jié)論Sn=n（a1+an）2，由an=a1+（n-1）d，進(jìn)一步得到Sn=na1+n（n-1）2d.并且利用梯形面積幫助學(xué)生記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.在推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之后就是應(yīng)用舉例，由于剛剛認(rèn)識等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，本人認(rèn)為如果直接講解教材中的例1，難度較大，于是補(bǔ)充了三道練習(xí)，根據(jù)所給的條件求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.目的是讓學(xué)生熟悉公式，并能恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式.最后講解教材中的例題1、2.這樣的安排符合了學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，由易到難，層層遞進(jìn)，在練習(xí)鞏固部分，通過變式，讓學(xué)生體會“思則變，變則通”的理念，同時(shí)體驗(yàn)到方程組思想在解題中的運(yùn)用，加深理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中五個(gè)變量a1，an，n，d，Sn，只要知道其中三個(gè)就可求另外兩個(gè)，即“知三求二”.

（二）對學(xué)生評價(jià)的反思

在整個(gè)教學(xué)過程中，本人很重視學(xué)生的質(zhì)疑與回答.如果對了，本人及時(shí)給予肯定，這樣可以鼓勵(lì)他們繼續(xù)積極思考并回答問題.值得一提的是在教學(xué)過程中本來并沒有預(yù)設(shè)學(xué)生對問題3的解決會采用分類的方法進(jìn)行分組求和，當(dāng)學(xué)生提出疑問n是奇數(shù)還是偶數(shù)時(shí)，筆者沒有直接否定他的做法而是耐心引導(dǎo)，及時(shí)肯定，給他留出足夠的計(jì)算時(shí)間，使他能夠順利完成1+2+3+…+n求和，并發(fā)現(xiàn)不論n為奇數(shù)還是偶數(shù)，和都為n（n+1）2.當(dāng)筆者及時(shí)肯定他的發(fā)現(xiàn)時(shí)，他表現(xiàn)出少有的興奮，目光更有神了，聽課更專注了.雖然上課的時(shí)間較有限，但如果當(dāng)時(shí)筆者假裝沒聽見不予理睬的話，那可能將會是另外一種情形，學(xué)生會感到被教師所冷落，對他的回答不關(guān)心，從而會影響他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.總之，在課堂中對學(xué)生的評價(jià)要及時(shí)，多用賞識的眼光看待他們.

（三）對教學(xué)中不足的反思

由于對等差數(shù)列的前n項(xiàng)的公式的推導(dǎo)花費(fèi)的時(shí)間稍多了一些，而導(dǎo)致最后的變式訓(xùn)練和小結(jié)有些倉促.如果重新設(shè)計(jì)教學(xué)的話，筆者會適當(dāng)減少練習(xí).