復(fù)積分的求法

鄧琴++楊建芳

【摘要】本文主要研究復(fù)積分的求法，對復(fù)積分的求法做了較系統(tǒng)的歸納總結(jié)，給出了五種常用的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】復(fù)積分；復(fù)變函數(shù)；留數(shù)

【基金項(xiàng)目】杭州電子科技大學(xué)2014年高等教育研究資助項(xiàng)目（YB1425）.

一、五種常用的方法

復(fù)積分的求法是復(fù)變函數(shù)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).復(fù)積分的求解方法靈活多樣，而且目前的教科書對復(fù)積分的求法沒有做較系統(tǒng)的歸納.本文主要研究積分曲線為封閉曲線的復(fù)積分的求法，對其求法做較系統(tǒng)的歸納總結(jié)，給出五種常用方法.

1.利用柯西-古薩基本定理求復(fù)積分.

2.利用復(fù)合閉路定理求復(fù)積分.

3.利用柯西積分公式求復(fù)積分.

4.利用解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式求復(fù)積分.

5.利用留數(shù)定理求復(fù)積分.

當(dāng)被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)沒有奇點(diǎn)時用柯西-古薩基本定理求復(fù)積分.當(dāng)被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有一個奇點(diǎn)時用柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)公式求復(fù)積分.當(dāng)被積函數(shù)在積分曲線內(nèi)有2個或2個以上的有限個奇點(diǎn)時用復(fù)合閉路定理求復(fù)積分.

二、應(yīng)用舉例

三、小結(jié)

在計(jì)算沿封閉路線的積分時，我們常以柯西-古薩基本定理、復(fù)合閉路定理、閉路變形原理為依據(jù)，以柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式為主要工具.由于被積函數(shù)往往形式多樣，有時還比較復(fù)雜，所以常常不能直接套用某個公式就能奏效，而需將被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)淖冃?，例如，把它化為部分分式或公式中的形式，然后?lián)合使用這些定理、公式和積分性質(zhì)才能解決.

【參考文獻(xiàn)】

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