旗傳遞4-(v,k,6)設計與Sz(q)群

趙 坤，溫紹泉，邢志紅，孫淑蘭，李曉霞，趙裕亮

(佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007)

旗傳遞4-(v,k,6)設計與Sz(q)群

趙 坤，溫紹泉，邢志紅，孫淑蘭，李曉霞，趙裕亮

(佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007)

設S=(P,B)是一個非平凡的4-(q2+1,k,6)設計，其中q=22n+1且為整數(shù)。如果G≤Aut(S)在S上區(qū)傳遞且Soc(G)同構于李型單群Sz(q)群，則G在S不是旗傳遞的。

區(qū)傳遞；旗傳遞；Sz(q)群；十二設計

對于正整數(shù)t≤k≤v及λ，我們定義一個t-(v，k，λ)設計是一個誘導結構S=(P，B)，其中P表示點集合且|P|=v，B表示區(qū)組集合且|B|=b，并且每個區(qū)組包含k個點，每一個P中的t-子集包含在λ個區(qū)組中。S的一個旗是指一個點—區(qū)組對(x，B)且x包含在區(qū)組β中，其中β∈B。設G≤Aut(S)。如果G在P上是傳遞的，則稱G是點傳遞的；如果G在P上是本原的，則稱G是點本原的；如果Aut(S)是點傳遞(點本原)的，則稱S是點傳遞(點本原)的；如果G在B上是傳遞的，則稱G是區(qū)傳遞的；如果G在B上是本原的，則稱G是區(qū)本原的；如果Aut(S)是區(qū)傳遞(區(qū)本原)的，則稱S是區(qū)傳遞(區(qū)本原)的。

設S=(P，B)是一個t-(v，k，λ)設計。一個對(p，β)被稱為旗，如果p∈P，β∈B且p∈β。如果G≤Aut(S)在旗集合上是傳遞的，則稱G是旗傳遞的。

對于任意的λ及較大的t的t-設計，Cameron和Praeger證明了隨后的結論：

定理[1]設S=(P，B)是一個t-(v，k，λ)設計。如果G≤Aut(S)區(qū)傳遞作用在S上，則t≤7。如果G≤Aut(S)旗傳遞作用在S上，則t≤6。

目前Huber[2]利用2—傳遞置換群的知識完成了所有的旗傳遞Steinert-設計的分類。所以決定所有的λ≥2的t-設計的旗傳遞分類是一個長期且公開的研究問題。

在2010年，徐向紅[3]完成了旗傳遞6-(v，k，λ)設計，其中λ≤5。同年，劉偉俊[4]完成了群PSL(2，q)上的旗傳遞5-(v，k，2)設計。2011年，徐向紅[5]完成了兩類Lie型單群與旗傳遞4-(v，k，2)設計的分類。本文研究了Sz(q)群與4-(v，k，6)設計的問題，最終得到了以下定理：

主要定理 設S=(P，B)是一個非平凡的4-(q2+1，k，6)設計，其中q=22n+1且n≥1為整數(shù)。如果G≤Aut(S)在S上區(qū)傳遞且Soc(G)同構于李型單群Sz(q)群，則G在S不是旗傳遞的。

1 預備引理

Suzuki群Sz(q)是屬于李型單群家族，在文獻[6-7]中被定義為SL(4，q)的一個子群。設GF(q)是一個q元素的有限域，其中q=22n+1且n≥1為整數(shù)(特別地，q≥8)。設Q是Sz(q)的Sylow 2-子群，K是有限域GF(q)的乘法群，于是Sz(q)是一個階為q2(q2+1)(q-1)的群。因此，Sz(q)作為Steiner3-(q2+1，q+1，1)設計上的自同構群2-傳遞作用在q2+1個點上。

對于t-設計S=(P，B)且G≤Aut(S)，r表示通過給定點的區(qū)組數(shù)，Gx表示點x∈P的穩(wěn)定化子，Gβ表示區(qū)組β∈B的穩(wěn)定化子，我們定義Gxβ=Gx∩Gβ。

引理1[2]設G旗傳遞作用在t-(v，k，λ)設計S=(P，B)上，則G是2-傳遞的且下列結論成立：

1)|G|=|Gx||xG|=|Gx|v，其中x∈P;

2)|G|=|Gβ||βG|=|Gβ|b，其中β∈B;

3)|G|=|Gxβ||(x，β)G|=|Gxβ|bk，其中x∈β。

引理2[8]間設S=(P，B)是一個非平凡的t-(v，k，λ)設計，則

λ(v-t+1)≥(k-t+2)(k-t+1)。

引理3[8]間設S=(P，B)是一個非平凡的4-(v，k，λ)設計，則

1)bk=vr;

推論1 設S=(P，B)是一個非平凡的4-(v，k，6)設計，如果v=q2+1，則

證明:由引理2，我們有6(v-3)≥(k-2)(k-3)。如果v=q2+1，則

6(q2-2)≥(k-2)(k-3)，

即

k2-5k-6q2+18≤0，

于是

2 主要定理的證明

假設G在4-(v，k，6)設計上是旗傳遞的且v=q2+1，則G是2-傳遞的且點傳遞。既然T=Sz(q)≤G≤Aut(T)，可以由Dedekind定理得到G=T:〈α〉且G=T:(G∩〈α〉)，這里α:x→x2，x∈GF(q)且α是GF(q)的一個自同構。設q=2f，f=2n+1是奇數(shù)且|〈α〉|=m，于是m|f。顯然|G|=q2(q2+1)(q-1)m。

首先我們將證明，如果g∈G能夠穩(wěn)定P中的3個點，則g必定至少穩(wěn)定P中的5個點。

假設g∈G，|FixP(g)|≥3，x∈|FixP(g)|。設P是Gx的正規(guī)Sylow 2-子群，則P在P-{x}上是傳遞的。由于v=q2+1，我們得到|P|=|P-{x}|=q2。因此，P正則作用在P-{x}上，那么對任意的y，z∈P-{x}，存在點h∈P使得z=yh。既然g∈Gx，h∈P且P是Gx的正規(guī)Sylow 2-子群，我們有h-1ghg-1∈P。另一方面，

zh-1ghg-1=yghg-1=yhg-1=zg-1=z，

因此h-1ghg-1=1，即gh=hg。所以，h∈C=CP(g)。我們得到C在FixP(g)-{x}上是傳遞的。因此|FixP(g)-{x}|||C|。再由C≤P，得到|FixP(g)-{x}|||P|。我們注意到|P|=q2=22f，因此|FixP(g)-{x}||22f。最終|FixP(g)-{x}|≡0(mod 2)，即為|FixP(g)|≡1(mod 2)。

對所有的h∈CT(g)，y∈FixP(g)，我們有yhg=ygh=yh，因此yh∈FixP(g)，這意味著FixP(g)是一個區(qū)組且被CT(g)所穩(wěn)定。由C≤CT(g)及C在Fixp(g)-{x}傳遞，我們得到CT(g)在Fixp(g)上也是傳遞的。因此|FixP(g)|||CT(g)|。另外，|CT(g)|||T|，因此|FixP(g)|||T|。顯然，3不能整除|T|。因而|FixP(g)|≠3。再由|FixP(g)|≡1(mod 2)，我們得到|FixP(g)|≥5，這意味著g至少穩(wěn)定P中的5個點。

現(xiàn)在我們繼續(xù)證明主要定理。顯然，α穩(wěn)定P中的0，1，∞ 3個不同的點。因此〈α〉≤G0，1，∞，于是α至少穩(wěn)定P中的6個點。既然G區(qū)傳遞在4-(v，k，6)設計上，我們找6個區(qū)組，β1，β2，β3，β4，β5及β6都是被α所穩(wěn)定。如果α改變β1，β2，β3，β4，β5及β6，則2||〈α〉|，這是不可能的。因此α必定穩(wěn)定β1，β2，β3，β4，β5及β6。我們有G∩〈α〉≤G0β1=G0β2=G0β3=G0β4=G0β5=G0β6，因此T旗傳遞作用在4-(q2+1，k，6)設計上，于是我們可以假定G=T且|G|=q2(q2+1)(k-1)。

既然G旗傳遞作用在4-(q2+1，k，6)設計上，由引理1，我們有

再由引理3及引理1，

因此

由引理2，

6|Gxβ|(q+1)(q2-2)=(k-1)(k-2)(k-3)≤(k-1)·6(v-3)=6(k-1)(q2-2)。

再由推論1，

因此|Gxβ|=1，既有

6(q+1)(q2-2)=(k-1)(k-2)(k-3)=k(k2-6k+11)-6，

這樣完成了主要定理的證明。

[1] Cameron P J，Praeger C E.Block-transitivet—designs，Ⅱ:large t，In F.DeClerck，et al.(Eds)，finite geometry and combinatorics[J].London Math.Soc.lecture Note Series，1993，(191):103-119.

[2] HuberM.Flag-transitive Steiner Designs[M].Berlin:Birkhausen Basel，Boston，2009.

[3] Xu Xianghong，Liu Weijun.On flag-transitive 6—(v，k，A)designs withA<5[J].ArsCombin，2010，97:507-510.

[4] Liu Weijun，Tan Qionghua，Gong Luozhong.Flag-transitive 5—(v，k，2)designs[J].Jiangsu Univ.，2010，31:612-615.

[5] Xu Xianghong，Zhao Lina，Liu Weijun.Two classes lie type simple groups and flag-transitive 4—(v，k，2)designs[J].Journal of Zhejiang Unviersity，2011，38:4-6.

[6] SuzukiM.A new type of simple group of finite order[J].Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.，1960，46:868-870.

[7] Suzuki M.On a class of doubly transitive groups[J].Ann.of Math.，1962，75:105-145.

[8] Shen H.The theorey of combinatorial design[M].Shanghai：Shanghai Jiao Tong Univ.Press，1990.

The Design of Flag-transitive 4-(v，k，6)and Suzuki groups

ZHAO Kun，et al.

(DepartmentofMathematics，JiamusiUniversity，JiamusiHeilongjiang154007，China)

The design letS=(P，B) be a non-trivial 4-(q2+1，k，6)，in whichq=22n+1，andn≥1 as an integer.IfG≤Aut(S)acts block-transitively onSarea，andSoc(G) is isomorphic to the simple Lie typeSz(q)group，thenGis in not flag-transitive onSarea.

block-transitive；flag-transitive；Sz(q)group；t-design

2017-05-22

黑龍江省教育廳課題(12541829)

趙坤(1978-)，女(漢)，黑龍江佳木斯，講師 主要研究常微分方程理論與應用。

10.3969/j.issn.1009-8984.2017.02.029

O152.1

A

1009-8984(2017)02-0126-03