基于動(dòng)態(tài)調(diào)整的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法①

李克文, 張永哲

(中國(guó)石油大學(xué)(華東) 計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院, 青島 266580)

基于動(dòng)態(tài)調(diào)整的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法①

李克文, 張永哲

(中國(guó)石油大學(xué)(華東) 計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院, 青島 266580)

為了改善多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法生成的最終Pareto前端的多樣性和收斂性, 提出了一種針對(duì)多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)化狀態(tài)的檢測(cè)機(jī)制. 通過(guò)對(duì)外部Pareto解集的更新情況進(jìn)行檢測(cè), 進(jìn)而評(píng)估算法的進(jìn)化狀態(tài), 獲取反饋信息來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整進(jìn)化策略, 使得算法在進(jìn)化過(guò)程中兼顧近似Pareto前端的多樣性和收斂性. 最后, 在ZDT系列測(cè)試函數(shù)中,將本文算法與其他4種對(duì)等算法比較, 證明了本文算法生成的最終Pareto前端在多樣性和收斂性上均有顯著的優(yōu)勢(shì).

多目標(biāo)優(yōu)化; 粒子群算法; 反饋信息; 進(jìn)化狀態(tài)

1 引言

粒子群算法(Particle swarm optimization, PSO)[1]最早由Kennedy和Eberhart在1995年提出. 自Coello等人[2]在2002年提出采用粒子群算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題后, 多目標(biāo)進(jìn)化領(lǐng)域中的許多成功經(jīng)驗(yàn)被借鑒到多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法中, 并出現(xiàn)了大量的成果[3-8]. 文獻(xiàn)[9]提出的agMOPSO算法采用自適應(yīng)網(wǎng)格的方法評(píng)估Pareto最優(yōu)解的個(gè)體密度, 進(jìn)而剔除質(zhì)量較差的粒子; 文獻(xiàn)[10]提出的pdMOPSO算法采用ROUND、RANDOM以及PROB三種策略來(lái)選取全局最優(yōu)解, 這些策略有利于提高Pareto前端的多樣性, 但不易收斂到真實(shí)的Pareto前端. 文獻(xiàn)[11]提出的σMOPSO算法通過(guò)比較目標(biāo)向量之間的σ值來(lái)選取全局最優(yōu)解, 這種策略會(huì)導(dǎo)致算法容易早熟, 陷入局部極值. 文獻(xiàn)此外, 還有小生境[12]、最大最小適應(yīng)度[13]策略等. 這些多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法忽略了一個(gè)問(wèn)題: 如何平衡算法在進(jìn)化過(guò)程中的開發(fā)和開采?過(guò)度的開發(fā)會(huì)影響最終的優(yōu)化精度, 過(guò)度的開采會(huì)陷入局部極值. 當(dāng)前所存在的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法缺乏對(duì)進(jìn)化狀態(tài)的動(dòng)態(tài)檢測(cè)機(jī)制,難以獲取反饋信息來(lái)決定算法在何時(shí)采用何種進(jìn)化策略. 基于此, 本文提出了一種基于動(dòng)態(tài)調(diào)整的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)化策略, 通過(guò)檢測(cè)外部檔案中解的更新情況評(píng)估算法的進(jìn)化狀態(tài), 獲取反饋信息來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整算法的進(jìn)化策略, 使得算法在進(jìn)化過(guò)程中能夠平衡開發(fā)和開采, 兼顧到最終解集的多樣性和收斂性.

本文第二節(jié)介紹多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題和粒子群優(yōu)化算法的基本概念, 第三節(jié)介紹通過(guò)檢測(cè)外部檔案的更新情況來(lái)評(píng)估算法進(jìn)化狀態(tài)的方法, 第四節(jié)描述本文提出的動(dòng)態(tài)調(diào)整策略和算法的完整流程, 第五節(jié)分析對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果, 第六節(jié)給出全文結(jié)論.

2 基本概念

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

對(duì)于最小化無(wú)約束連續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題, 如公式(1)所示:

Pareto占優(yōu): 對(duì)于任意兩個(gè)向量稱u占優(yōu)v,或者v被u占優(yōu), 當(dāng)且僅當(dāng):

Pareto最優(yōu)解: 一個(gè)解?被稱為Pareto最優(yōu)解或Pareto非占優(yōu)解, 當(dāng)且僅當(dāng):

Pareto最優(yōu)解集: 所有Pareto最優(yōu)解的集合PS被稱作Pareto最優(yōu)解集.

2.2 粒子群優(yōu)化算法

在粒子群優(yōu)化算法中, 個(gè)體i沒(méi)有質(zhì)量, 在進(jìn)化過(guò)程中其位置和速度按照公式(5)更新.在公式(5)中, vi表示速度向量, xi表示位置向量, t表示迭代次數(shù), ω≥0表示慣性權(quán)重系數(shù), c1, c2≥0表示加速系數(shù),r1和r2是[0, 1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù), pBesti表示第i個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)解, gBest表示群體的全局最優(yōu)解.

3 進(jìn)化狀態(tài)評(píng)估檢測(cè)

根據(jù)外部檔案的更新情形, 對(duì)算法的進(jìn)化狀態(tài)做如下定義:

停滯狀態(tài): 在第t次迭代過(guò)程中, 算法產(chǎn)生的新解被拒絕進(jìn)入外部集, 則稱算法在第t次迭代中處于停滯狀態(tài).

多樣化狀態(tài): 在第t次迭代過(guò)程中, 算法產(chǎn)生的新解替換了外部集中適應(yīng)度較差的舊解, 則稱算法在第t次迭代中處于多樣化狀態(tài).

收斂狀態(tài): 在第t次迭代過(guò)程中, 如果算法產(chǎn)生的近似Pareto前端與真實(shí)的Pareto前端發(fā)生了目標(biāo)空間上的距離逼近, 則稱算法在第t次迭代過(guò)程中處于收斂狀態(tài).

種群在一次的迭代過(guò)程中可產(chǎn)生N個(gè)新解, 不同性質(zhì)的新解可能使得算法處于不同的進(jìn)化狀態(tài). 因此, 需要從宏觀上來(lái)判斷算法所處的進(jìn)化狀態(tài). 下面舉例說(shuō)明如何判斷算法的進(jìn)化狀態(tài).

假設(shè)在第t次迭代中, 算法產(chǎn)生m個(gè)新解X1, X2,…Xm進(jìn)入到外部集. 對(duì)于某一個(gè)新解Xi(1

稱算法在宏觀上朝著多樣化狀態(tài)發(fā)展, 當(dāng)且僅當(dāng):

稱算法在宏觀上朝著收斂狀態(tài)發(fā)展, 當(dāng)且僅當(dāng):

稱算法在宏觀上平衡發(fā)展, 當(dāng)且僅當(dāng):

其中, v為閾值, v取值過(guò)大, 會(huì)使得算法在進(jìn)化過(guò)程中陷入局部最優(yōu), v取值過(guò)小, 會(huì)使得算法在評(píng)估進(jìn)化狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)狀態(tài)抖動(dòng)(在多樣化狀態(tài)和收斂狀態(tài)之間頻繁轉(zhuǎn)換). 在總結(jié)多次試驗(yàn)中的閾值取值后, v的取值范圍宜為此次迭代過(guò)程中產(chǎn)生的新解個(gè)數(shù)的5%-10%.

4 基于動(dòng)態(tài)調(diào)整的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

4.1 全局最優(yōu)解選擇策略

為了使算法在進(jìn)化過(guò)程中兼顧收斂性和多樣性,需要從外部檔案中選取代表收斂性和多樣性的Pareto最優(yōu)解作為全局最優(yōu)解, 引導(dǎo)算法種群平衡開采和開發(fā)過(guò)程. 通常, 收斂性和多樣性是相互沖突的, 因此, 需要選取不同的度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估外部檔案Pareto解集的收斂性和多樣性.

外部檔案中的Pareto最優(yōu)解的個(gè)體密度可以作為多樣性指標(biāo), 個(gè)體密度最小的Pareto解作為全局最優(yōu)解引導(dǎo)種群在目標(biāo)空間的稀疏區(qū)域進(jìn)行探索, 可增加Pareto前端的多樣性. 在自適應(yīng)網(wǎng)格中, Pareto最優(yōu)解的個(gè)體密度den(Xi)定義為同Xi格坐標(biāo)相同的的Pareto最優(yōu)解的個(gè)數(shù).在自適應(yīng)網(wǎng)格中, 第k個(gè)Pareto最優(yōu)解的格坐標(biāo)分量計(jì)算方式如公式(9)所示:

其中, pk,m表示第k個(gè)Pareto最優(yōu)解在第m個(gè)目標(biāo)分量上的值, m=1, 2, …, M, M表示目標(biāo)個(gè)數(shù), k=1, 2, …, K, K表示當(dāng)前迭代過(guò)程中外部Pareto解集中的解個(gè)數(shù), fk,m表示該最優(yōu)解在第m個(gè)目標(biāo)分量上的取值,表示目前第m個(gè)目標(biāo)分量上的最小值和最大值. 為向上取整. 這里的目標(biāo)維度分割數(shù)K不需要事先取值, 不依賴用戶對(duì)MOPSO問(wèn)題的相關(guān)先驗(yàn)知識(shí), 將隨著外部Pareto解集中的解個(gè)數(shù)變化而變化.

為了選取合適的收斂性指標(biāo), 在這里借鑒參考文獻(xiàn)[14]提出的格占優(yōu)和格占優(yōu)強(qiáng)度并稍作修改, 提出G-占優(yōu)和G-占優(yōu)強(qiáng)度兩個(gè)定義.

G-占優(yōu): 假設(shè)Gx,m和Gy,m(m=1, 2, …M, M為目標(biāo)個(gè)數(shù))是外部檔案中任意兩個(gè)解X, Y在自適應(yīng)網(wǎng)格中的格坐標(biāo), 稱XG-占優(yōu)Y, 當(dāng)且僅當(dāng):

記作.

G-占優(yōu)強(qiáng)度: 對(duì)于一個(gè)Pareto最優(yōu)解X, 其G-占優(yōu)強(qiáng)度是它在自適應(yīng)網(wǎng)格中G-占優(yōu)外部檔案A中其它Pareto最優(yōu)解的數(shù)目, 即:

G-占優(yōu)強(qiáng)度反應(yīng)了一個(gè)Pareto最優(yōu)解逼近真實(shí)Pareto前端的程度, 因此可以作為外部檔案的收斂性指標(biāo).

根據(jù)以上分析, 可得出全局最優(yōu)解選擇策略:

輸入: 1) 外部檔案A和目標(biāo)個(gè)數(shù)M;

2) 算法所處的進(jìn)化狀態(tài)Status∈{停滯狀態(tài), 多樣化狀態(tài), 收斂狀態(tài)}.

輸出: 全局最優(yōu)解gBest.

步1: 遍歷A中的所有Pareto最優(yōu)解, 分別計(jì)算其個(gè)體密度和G-占優(yōu)強(qiáng)度;

步2: 個(gè)體密度集合D中升序存放Pareto最優(yōu)解, G-占優(yōu)強(qiáng)度集合G中降序存放Pareto最優(yōu)解, 全局最優(yōu)解候選集合C置空;

步3: 如果進(jìn)化狀態(tài)為停滯狀態(tài)或平衡進(jìn)化,C=TOP(D, |C|/2)∪TOP(G, |C|/2);

步4: 如果進(jìn)化狀態(tài)為多樣化狀態(tài), C=TOP(D,|C|/2--)∪TOP(G, |C|/2++);

步5: 如果進(jìn)化狀態(tài)為收斂狀態(tài), C=TOP(D,|C|/2++)∪TOP(G, |C|/2--);

步6: gBest=Random(C).

注釋: (1) TOP(P, n)表示從有序集合P中返回最前面n個(gè)成員;

(2) n++(或n--)表示每次迭代中n加1(減1);

(3) Random(Q)表示從集合Q中隨機(jī)選擇一個(gè)成員.

4.2 個(gè)體最優(yōu)解選擇策略

在個(gè)體最優(yōu)解選擇策略方面, 為了使算法在選擇個(gè)體最優(yōu)解時(shí)最大化地保留個(gè)體最優(yōu)解選擇的多樣性,本文提出的算法將為個(gè)體最優(yōu)解維護(hù)一個(gè)外部檔案來(lái)存儲(chǔ)個(gè)體最優(yōu)解, 同時(shí)為了降低算法的復(fù)雜度, 將其大小設(shè)為全局最優(yōu)解外部檔案的1/6, 為了保證個(gè)體最優(yōu)解的變化能夠跟蹤全局最優(yōu)解的快速變化, 在個(gè)體選擇最優(yōu)解時(shí)將選擇距離全局最優(yōu)解最近(已經(jīng)通過(guò)公式(9)確定)的粒子作為個(gè)體最優(yōu)解.

4.3 局部極值擾動(dòng)策略

為了改善粒子群算法在多目標(biāo)優(yōu)化中易陷入局部最優(yōu)的不足, 本文將采用文獻(xiàn)[15]提出的精英學(xué)習(xí)策略(Elitism Learning Strategy, ELS)來(lái)輔助算法跳出局部極值. 當(dāng)算法陷入停滯狀態(tài)的時(shí)候在全局最優(yōu)解候選集合C中隨機(jī)選擇某個(gè)成員作為參與學(xué)習(xí)的精英粒子, 學(xué)習(xí)率lp的計(jì)算方法如公式(12)所示:

在公式(12)中, Stepl表示精英學(xué)習(xí)率的步長(zhǎng), 其大小為最大學(xué)習(xí)率和最小學(xué)習(xí)率的區(qū)間長(zhǎng)度除以迭代次數(shù), 在本文算法中, 最大學(xué)習(xí)率和最小學(xué)習(xí)率分別為0.5和0, 算法開始時(shí)設(shè)定精英學(xué)習(xí)率為最大值, 擾動(dòng)幅度參考文獻(xiàn)[15], 如公式(13)所示:

在公式(13)中, Xd表示精英學(xué)習(xí)粒子被隨機(jī)選中的第d個(gè)決策變量,分別為第d個(gè)決策變量的最大值和最小值, r為[0, 1]上的隨機(jī)數(shù), Gaussian(0, r2)是均值為0、方差為r的高斯函數(shù).

4.4 算法整體流程

輸入: 1) 多目標(biāo)待優(yōu)化問(wèn)題;

2) 具有D個(gè)決策變量的搜索空間;

3) 初始化相關(guān)參數(shù): 外部檔案的最容量K, 最大迭代次數(shù)Tmax, 種群數(shù)量N.

輸出: 外部檔案中的近似Pareto最優(yōu)解集.

步1: 初始化種群

(1) 迭代次數(shù)設(shè)置為0;

(2) 在搜索空間中均勻隨機(jī)生成N個(gè)粒子;

(3) 根據(jù)多目標(biāo)問(wèn)題計(jì)算每個(gè)粒子的第m個(gè)目標(biāo)函數(shù)值;

(4) 判斷哪些粒子可以進(jìn)入外部檔案.

步2: 迭代次數(shù)加1

步3: 評(píng)估進(jìn)化環(huán)境

(1) 根據(jù)公式(6)(7)(8)判定算法的進(jìn)化狀態(tài);

(2) 根據(jù)公式(9)和公式(11)計(jì)算外部檔案中每個(gè)解的個(gè)體密度和G-占優(yōu)強(qiáng)度.

步4: 調(diào)整算法的運(yùn)動(dòng)參數(shù): 算法的學(xué)習(xí)因子設(shè)定為2.05, 慣性權(quán)重隨著迭代次數(shù)從0.9線性下降到0.4.

步5: 更新種群

(1) 根據(jù)全局最優(yōu)解選擇策略和個(gè)體最優(yōu)解選擇策略選擇選擇全局最優(yōu)解gBesti和個(gè)體最優(yōu)解pBesti.

(2) 根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程以及運(yùn)動(dòng)參數(shù)更新粒子的位置和速度;

(3) 如果算法陷入停滯狀態(tài), 將根據(jù)公式(12)所確定的學(xué)習(xí)率lp按照公式(13)對(duì)粒子進(jìn)行局部極值擾動(dòng).

(4) 評(píng)估粒子的目標(biāo)函數(shù)值;

(5) 根據(jù)全局最優(yōu)解選擇策略和個(gè)體最優(yōu)解選擇策略更新種群的個(gè)體最優(yōu)解候選集和全局最優(yōu)解候選集;

步6: 迭代終止條件(如果迭代次數(shù)大于預(yù)設(shè)定次數(shù), 結(jié)束; 否則轉(zhuǎn)步2).

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的算法(daMOPSO), 本文在實(shí)驗(yàn)中選取了4種常用于比較多目標(biāo)優(yōu)化的對(duì)等算法, 包括agMOPSO[9], pdMOPSO[10], σMOPSO[11]及MOEA/D[16], 在對(duì)比實(shí)驗(yàn)中, 將選取各對(duì)比算法的種群大小均設(shè)定為N=100, 外部檔案規(guī)模均設(shè)定為K=100,算法的迭代次數(shù)均設(shè)定為T=300. 各對(duì)比算法的參數(shù)都按照各自的參考文獻(xiàn)設(shè)置. daMOPSO的學(xué)習(xí)因子設(shè)置為2.05, 慣性權(quán)重隨迭代次數(shù)從0.9線性下降到0.4, 閾值v取各迭代過(guò)程中產(chǎn)生的新解個(gè)數(shù)的6%. 各對(duì)比算法在所有的測(cè)試函數(shù)上都獨(dú)立運(yùn)行30次以降低隨機(jī)影響.

為了評(píng)估本文提出的算法生成的近似Pareto前端的多樣性和收斂性, 本文將采用反轉(zhuǎn)世代距離(Inverted Generational Distance, IGD)[16]作為評(píng)估指標(biāo). 其計(jì)算方法如公式(14)所示:

本文選擇ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4和ZDT6這組測(cè)試函數(shù)來(lái)測(cè)試各個(gè)算法的性能, ZDT5作為布爾函數(shù), 需要二進(jìn)制編碼, 本文略去該測(cè)試函數(shù). 獲得的近似Pareto前端如圖1至圖5所示. σMOPSO在ZDT4測(cè)試中獲得的Pareto前端和agMOPSO、σMOPSO、pdMOPSO在ZDT6測(cè)試中獲得的Pareto前端質(zhì)量太差, 在圖中未表示.

圖1 ZDT1的測(cè)試結(jié)果

圖2 ZDT2的測(cè)試結(jié)果

圖3 ZDT3的測(cè)試結(jié)果

圖4 ZDT4的測(cè)試結(jié)果

表1給出了各個(gè)算法在獨(dú)立運(yùn)行30次后獲得的IGD的平均值(mean)和方差值(std).

通過(guò)表1可以看出, daMOPSO在測(cè)試函數(shù)中取得的整體效果非常理想, 僅在ZDT4的測(cè)試中結(jié)果不如MOEA/D, ZDT4函數(shù)具有219個(gè)不同的局部Pareto最優(yōu)前沿, 其中只有一個(gè)對(duì)應(yīng)全局最優(yōu)前沿, 這說(shuō)明daMOPSO在在跳出局部最優(yōu)時(shí)與MOEA/D相比略顯不足.

圖5 ZDT6的測(cè)試結(jié)果

表1 各個(gè)算法在5種測(cè)試函數(shù)中獲得的IGD對(duì)比

與其它幾種對(duì)等算法相比, 由于daMPSO在維護(hù)全局外部檔案集的同時(shí)維護(hù)了一個(gè)個(gè)體外部檔案集, 因此空間復(fù)雜度要大于其它幾種對(duì)等算法, daMOPSO在每一次迭代中都會(huì)計(jì)算每一個(gè)最優(yōu)解的個(gè)體密度和G-占優(yōu)強(qiáng)度, 因此時(shí)間復(fù)雜度也略高于其它幾種算法.

下一步筆者將會(huì)對(duì)daMOPSO的跳出局部最優(yōu)能力以及降低時(shí)空復(fù)雜度進(jìn)行探索提升. 總體來(lái)看, daMOPSO在處理這類優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的能力要優(yōu)于其它幾種對(duì)比算法.

6 總結(jié)

基于動(dòng)態(tài)調(diào)整的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(daMOPSO)通過(guò)檢測(cè)外部檔案的更新情況確認(rèn)算法的進(jìn)化狀態(tài),通過(guò)個(gè)體密度和G-占優(yōu)強(qiáng)度來(lái)評(píng)價(jià)個(gè)體適應(yīng)度, 并根據(jù)不同的進(jìn)化狀態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整算法的進(jìn)化策略, 保證算法在進(jìn)化過(guò)程中能夠兼顧Pareto前端的多樣性和收斂性. 選擇了ZDT系列測(cè)試函數(shù)對(duì)daMOPSO算法進(jìn)行了測(cè)試, 結(jié)果表明該算法在處理不同類型的Pareto前端時(shí)都表現(xiàn)出了比較優(yōu)秀的性能.

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12Zhao QL. The Research of the Niche particle swarm optimization based on self-adaptive radius technology. Proc.of Asia-Pacific Conference on Information Processing.Shenzhen, China. 2009. 97–100.

13徐佳, 李紹軍, 王惠, 等. 基于最大最小適應(yīng)度函數(shù)的多目標(biāo)粒子群算法. 計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程, 2006, 34(8): 31–34.

14胡旺, Yen GG, 張?chǎng)? 基于Pareto熵的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法. 軟件學(xué)報(bào), 2014, 25(5): 1025–1050.

15Zhan ZH, Zhang J, Li Y, et al. Adaptive particle swarm optimization. IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics), 2009, 39(6): 1362–1381.[doi: 10.1109/TSMCB.2009.2015956]

16Zhang QF, Li H. MOEA/D: A multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition. IEEE Trans. on Evolutionary Computation, 2007, 11(6): 712–731. [doi: 10.1109/TEVC.2007.892759]

Multi Objective Particle Swarm Optimization Based on Dynamic Adjustment

LI Ke-Wen, ZHANG Yong-Zhe
(College of Computer and Communication Engineering, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China)

To improve the diversity and convergence of Pareto front generated by multi objective particle swarm optimization, a detection mechanism for evolutionary state of multi objective particle swarm optimization is presented in this paper. The evolutionary state of the algorithm is assumed by detecting the updating situation of the external Pareto set to get the feedback information to adjust the evolutionary strategy of the algorithm dynamically. It enables the algorithm to take the diversity and convergence of the approximate Pareto front into account in the process of the evolution. Finally,the proposed algorithm shows a good performance compared with other four kinds of equivalence algorithms in the ZDT series test function.

multi objective optimization; particle swarm optimization; feedback information; evolutionary state

張永哲, E-mail: 864238735@qq.com

李克文,張永哲.基于動(dòng)態(tài)調(diào)整的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法.計(jì)算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用,2017,26(7):161–166. http://www.c-s-a.org.cn/1003-3254/5820.html

山東省自然科學(xué)基金(ZR2013FL034)

2016-10-20; 收到修改稿時(shí)間: 2016-11-14