抽樣分布定理的簡(jiǎn)單證明與注記

梁小林, 曾翠英, 黃創(chuàng)霞

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙, 410114)

抽樣分布定理的簡(jiǎn)單證明與注記

梁小林, 曾翠英, 黃創(chuàng)霞

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙, 410114)

利用協(xié)方差與正態(tài)分布的性質(zhì)給出了樣本均值與樣本方差獨(dú)立性的一個(gè)簡(jiǎn)單證明, 得到了正態(tài)總體下樣本均值與樣本方差的分布, 并對(duì)其直觀意義進(jìn)行了解釋。

樣本均值; 樣本方差; 正態(tài)總體; 抽樣分布。

正態(tài)總體的抽樣分布定理和相關(guān)結(jié)論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要內(nèi)容, 但國(guó)內(nèi)大部分《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材僅僅給出定理的結(jié)論[1–2]。某些教材給出了證明[3–4], 但由于要利用正交變換[5–6], 學(xué)生很難理解, 其難點(diǎn)在于: (1) 明顯有關(guān), 為什么相互獨(dú)立? (2) 明顯是n個(gè)的平方和, 為什么自由度是n-1?有學(xué)者注意到了這個(gè)問(wèn)題, 如胡必錦[7]利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法構(gòu)造正交矩陣, 給出了抽樣分布定理的證明, 劉文麗等[8]利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)抽樣分布定理進(jìn)行了證明。另有一些學(xué)者從不同的角度給出了證明[9–10], 但上述證明較為復(fù)雜, 且很少給出直觀解釋。本文利用協(xié)方差與正態(tài)分布的性質(zhì), 給出了抽樣分布定理的直接證明, 并對(duì)相關(guān)結(jié)論的直觀意義給出了合理的解釋。

1 引理與定理

2 注記

引理2的注記: 必要性的證明雖然比較繁瑣, 但方法是直接的。而且由于X與Y相互獨(dú)立, 直觀上可理解為, 其中相互獨(dú)立且均服從N(0,1), 于是。

定理1的注記: 獨(dú)立性的解釋同引理1的注記。從定理的證明過(guò)程可知, (n-1)S2/σ2=χ2(n)-χ2(1),因此(n-1)S2/σ2是自由度為n-1的χ2分布。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)抽樣分布定理給出了一個(gè)簡(jiǎn)單直接的證明, 并對(duì)相關(guān)結(jié)論給出了直觀解釋,本文的研究結(jié)果不僅便于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué), 而且有利于學(xué)生理解抽樣分布定理的本質(zhì), 為學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

[1] 峁詩(shī)松, 程依明, 濮曉龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 269–277.

[2] 梁小林, 溫建寧. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 上海: 上海交大出版社, 2016: 131–135.

[3] 梁之舜, 鄧集賢, 楊維權(quán), 等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1980: 16–30.

[4] 盛驟, 謝式千, 潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 143–153.

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[7] 胡必錦. 關(guān)于抽樣分布定理證明的注[J]. 重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào), 2005, 24(4): 165–166.

[8] 劉文麗, 呂書(shū)龍, 梁飛豹. 關(guān)于正態(tài)總體抽樣分布定理的證明和思考[J]. 寧德師專(zhuān)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011, 23(1):8–10.

[9] 王國(guó)華, 徐標(biāo), 安佰玲. 單正態(tài)總體下抽樣分布的一個(gè)證明[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014, 35(2): 74–77.

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(責(zé)任編校: 劉剛毅)

A simple proof and remark of sample distribution theorem

Liang Xiaolin, Zeng Cuiying, Huang Chuangxia
(School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

The sample distribution theorem from normal population is an important content of mathematical statistics.The independence of sample mean and sample variance are simply proved by using the properties of covariance and normal distribution. Distributions of sample mean and sample variance with normal population are obtained, and some direct significances are illustrated.

sample mean; sample variance; normal population; sample distribution

O 212.4

: A

1672–6146(2017)03–0020–02

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.005

梁小林, lxlin1234@126.com。

: 2016–11–25

長(zhǎng)沙理工大學(xué)重點(diǎn)課程(KC201503); 長(zhǎng)沙理工大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新性項(xiàng)目(KC201501)。