兒童數(shù)學(xué)思考如何深刻與理性起來(lái)

劉瑋

思考是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中的本質(zhì)特點(diǎn)，深刻而有理性的思維是人的核心素養(yǎng)之一。但在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，兒童數(shù)學(xué)思考的消極性、隨意性和淺表性等現(xiàn)象還不同程度地存在。以《乘加乘減》的教學(xué)為例：

教師先出示問題情境：5個(gè)魚缸，分別有5條、5條、5條、5條、4條金魚。

師問：孩子們，要想知道5個(gè)魚缸共有多少條金魚用什么方法呢？

生1答：加法。

師：怎么加呢？我們今天學(xué)的可是乘加乘減啊。

生2答：就是先乘再加。

師問：你說得真好，你能列個(gè)式子嗎？

生3答：能。Sx4+4。

師：對(duì)的。當(dāng)我們遇到這樣的題目時(shí)，首先要去看有幾個(gè)幾，再與另一個(gè)數(shù)相加減。我們一起來(lái)讀一下好嗎？

生齊讀：先算幾個(gè)幾，再加減。

從上述教學(xué)過程可見，教師圍繞“乘加乘減”的教學(xué)任務(wù)，把“共有多少條金魚”的問題分解成一個(gè)個(gè)細(xì)碎的問題。在線性的問答中，學(xué)生的思維始終被牽引前行，最終在“先乘后加減”的齊讀中完成新知識(shí)的學(xué)習(xí)，而那些在開放情境中“5xS -1”“6x4+0”等有可能出現(xiàn)的思維火花，因?yàn)樗伎伎臻g的封閉而熄滅。其實(shí)，教師用線性的思維方式在把一個(gè)富有開放性的問題切割成一個(gè)個(gè)瑣碎的小問題時(shí)，也就封閉了兒童發(fā)散性思維的空間，有深度和廣度的思維品質(zhì)就這樣被困厄在思維的窠臼中。

此外，導(dǎo)致問題產(chǎn)生的原因還包括兒童數(shù)學(xué)思考過程的缺省、數(shù)學(xué)思考結(jié)構(gòu)的模糊、課堂教學(xué)空間的封閉，等等。這些都需要我們學(xué)會(huì)真正站在兒童的立場(chǎng)，讓兒童從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，在“做”中學(xué)，在“問”中學(xué)，在“思”中學(xué)，不斷幫助兒童的數(shù)學(xué)思考走向深刻與理性。

由定到變，激活兒童的數(shù)學(xué)思考

克萊茵說：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神?！睌?shù)學(xué)的理性精神蘊(yùn)含著無(wú)限的智慧，有的表現(xiàn)著規(guī)定的理性，有的表現(xiàn)著變化的理性。[1]數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要培育學(xué)生問題思考的有序性，也要培育學(xué)生問題解決的靈活性。從有序的“規(guī)定”到看似無(wú)序的“變化”，往往能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突和解決問題的欲望。學(xué)生在這種心求通而不能、口欲言而弗達(dá)的“憤悱”之中，思維的火花被點(diǎn)燃，主動(dòng)積極思考成為可能。

特級(jí)教師周衛(wèi)東在教學(xué)《三角形的三邊關(guān)系》一課時(shí)，出示了這樣的一道探究題：“有兩根小棒，一根是9厘米，一根是7厘米，可以把其中一根小棒剪成兩段，你能將它們圍成三角形嗎？有幾種可能？”

學(xué)生探究后回答有4和5、3和6、2和7時(shí)，教師又變換問題，你能把這3種情況的圖形畫出來(lái)嗎？學(xué)生畫出3種圖形。

接著，周衛(wèi)東又提出變化的條件，“如果考慮小棒的長(zhǎng)度是小數(shù)，可能有多少種三角形呢？學(xué)生的思維開始彌散，得出4.1和4.9、3.1和5.9、2.1和6.9等無(wú)限多種可能。

此后，教師再次激發(fā)學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上畫出這些圖形的景象，學(xué)生畫出圖示。如圖：

一個(gè)又一個(gè)變化的問題，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在這個(gè)一層深過一層的追問中，學(xué)生在加深對(duì)三角形三邊關(guān)系理解的同時(shí)，更在潛移默化中受到了極限、對(duì)應(yīng)、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法的浸潤(rùn)。

也正是因?yàn)橛辛诉@種不斷逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的追問，學(xué)生的思維走向了更遠(yuǎn)的地方。第二天的數(shù)學(xué)課上，一個(gè)學(xué)生用一根筷子和一根橡皮筋演繹了本課教學(xué)發(fā)展性的精彩，在進(jìn)一步理解三角形三邊關(guān)系的基礎(chǔ)上圖示了橢圓的軌跡運(yùn)行。如圖：

在這個(gè)教學(xué)過程中，教師沒有止步于一定的三種邊長(zhǎng)為整數(shù)的圖形可能，而是在從整數(shù)變小數(shù)、從數(shù)字變圖形的多層次變式中，引導(dǎo)兒童對(duì)問題進(jìn)行積極思考，并在逐步深入的探究活動(dòng)中，激活兒童的數(shù)學(xué)思考，引領(lǐng)兒童經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)、知識(shí)發(fā)生、思維發(fā)展的全過程。即便是在此課教學(xué)后的第二天，兒童仍沉浸在探究與思考的氛圍中，從而自然而然地引出了對(duì)橢圓軌跡圖示的前認(rèn)識(shí)。從定到變，兒童深化理解的不僅是三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)，還多了一回科學(xué)精神理性思考的深度體驗(yàn)。

由點(diǎn)到面，生長(zhǎng)兒童的數(shù)學(xué)思考

以教學(xué)《用字母表示數(shù)》為例，課一開始，教師通過招領(lǐng)啟事引出“字母可以表示數(shù)”，接著順次引導(dǎo)學(xué)生展開對(duì)“所有的字母都可以表示數(shù)、字母可以表示已知的數(shù)、字母可以表示未知的數(shù)、含有字母的式子可以表示數(shù)、含有字母的式子還可以表示數(shù)量關(guān)系”的探索。從具體的數(shù)，到用字母表示數(shù)，再到含有字母的代數(shù)式，是學(xué)生思維從一個(gè)個(gè)具體的點(diǎn)向知識(shí)的面匯聚的過程，也是學(xué)生思維從具象向抽象生長(zhǎng)的過程。

前孕伏，將抽象的問題具體化

課前環(huán)節(jié)，教師和學(xué)生一起玩撲克24點(diǎn)游戲（A、2、3、4；4、8、10、Q），問學(xué)生你們是怎么算m來(lái)的。引入環(huán)節(jié)，出示失物招領(lǐng)啟事，啟發(fā)學(xué)生思考“A”表示什么、為什么用“A，表示等問題。

招領(lǐng)啟事

本人今天在公園拱橋處撿到一個(gè)黑色提包，內(nèi)有現(xiàn)金A元，請(qǐng)失主到景區(qū)派出所認(rèn)領(lǐng)。

張先生

2016.8.16

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是讓兒童知曉生活中用字母表示數(shù)的實(shí)踐應(yīng)用，并在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義，體會(huì)用字母表示數(shù)的必要性。

中建構(gòu)，將零碎的問題系統(tǒng)化

建構(gòu)1：圍繞A可以表示丟失的金額數(shù)，教師拋出問題“A可以表示丟失的金額數(shù)，B、C、Y等可不可以？”在討論中學(xué)生得出“所有的字母都可表示數(shù)”的結(jié)論。

建構(gòu)2：圍繞丟失的金額數(shù)，教師又拋出問題“這里的A表示的金額數(shù)目，真的沒有人知道嗎？誰(shuí)知道？誰(shuí)不知道？”通過討論，學(xué)生得出”字母可以表示未知數(shù)，也可以表示已知的數(shù)”的結(jié)論。

建構(gòu)3：出示探究題：無(wú)錫到南昌鐵路全長(zhǎng)769千米，一列火車從無(wú)錫開往南昌，你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數(shù)嗎？

已經(jīng)行駛了60千米，剩下的千米數(shù)是769-60；

已經(jīng)行駛了150千米，剩下的千米數(shù)是769-（ ）；

已經(jīng)行駛了b千米，剩下的千米數(shù)是（

）。

在學(xué)生說出“剩下的千米數(shù)是769-b”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出“不僅是字母可以表示數(shù)，含有字母的式子也可以表示數(shù)”的結(jié)論。其中，教師還設(shè)計(jì)了“769-b”式子中b的取值范圍的討論，蘊(yùn)含了函數(shù)定義域思想的滲透，學(xué)生對(duì)“符號(hào)化”的理解在深入探究中走向主動(dòng)建構(gòu)。

后拓展，進(jìn)一步將“用字母表示數(shù)”深度數(shù)學(xué)化

在此環(huán)節(jié)，教師先出示果汁分倒的情景圖。如圖：

接著引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，剝離出數(shù)量關(guān)系，并用字母表示出150-3a-60的等量關(guān)系，這一含有字母的等式即是描述客觀現(xiàn)象相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，亦即方程。此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)既是用字母表示數(shù)教學(xué)的深化，也是加深列方程解答實(shí)際問題的本初體驗(yàn)，是下一階段列方程解決實(shí)際問題教學(xué)的鋪墊。

這一課的教學(xué)，教師沒有糾結(jié)于用字母表示數(shù)方法的學(xué)習(xí)，更多的是轉(zhuǎn)向?qū)τ米帜副硎緮?shù)關(guān)系的探討。教學(xué)中著力于使學(xué)生充分感受到符號(hào)及符號(hào)化的便利，并及早孕伏代數(shù)的思想方法，意在消弭中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間的裂隙，加強(qiáng)小學(xué)初中兩個(gè)學(xué)段之間數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。在“字母可以表示數(shù)、所有的字母都可以表示數(shù)、字母可以表示已知的數(shù)、字母也可以表示未知的數(shù)、含有字母的式子可以表示數(shù)、含有字母的式子還可以表示數(shù)量關(guān)系”一系列點(diǎn)狀的問題探討中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從具體的數(shù)到用字母表示數(shù)、再到含有字母的代數(shù)式的數(shù)學(xué)化過程，正是在一次次這樣的經(jīng)歷中，兒童的數(shù)學(xué)思考由點(diǎn)到面不斷生長(zhǎng)，思維能力不斷提高。

由淺入深，深化兒童的數(shù)學(xué)思考

柏拉圖說：“我們應(yīng)該區(qū)分兩種不同的存在——經(jīng)驗(yàn)的存在和理性的存在。經(jīng)驗(yàn)的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的?！笨稍谖覀兊男W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常見到經(jīng)驗(yàn)對(duì)理性的干擾和遮蔽現(xiàn)象。以《三角形穩(wěn)定性》的教學(xué)為例，教材上對(duì)三角形穩(wěn)定性的定義，是指三角形在外力的作用下，三角形具有形狀和大小都不易變化的性質(zhì)，即保持相對(duì)穩(wěn)定的原有狀態(tài)。但在筆者所聽的30余節(jié)《三角形穩(wěn)定性》課堂教學(xué)中，教師們無(wú)一例外地以“看能否拉得動(dòng)”的經(jīng)驗(yàn)來(lái)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)三角形穩(wěn)定性的理解和認(rèn)知，這種缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)探索的教學(xué)假象，不斷弱化著兒童數(shù)學(xué)思考的深刻性和理性。

事實(shí)上，如果我們用同樣的木質(zhì)材料分別制作一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形器具，其相鄰兩邊相交處是可動(dòng)的。先來(lái)引導(dǎo)學(xué)生拉扯三角形學(xué)具，學(xué)生容易從中得到三角形穩(wěn)定性的理解。接著讓學(xué)生去拉四邊形學(xué)具，孩子們由“四邊形可以拉動(dòng)”得出“四邊形不具有穩(wěn)定性”的認(rèn)知理解。一般來(lái)講，課至此處已近目標(biāo)，但就對(duì)知識(shí)的理性思考來(lái)講，尚遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及。我在教學(xué)中，又帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了深入的探究。

在孩子們操作感知兩邊相交點(diǎn)可以動(dòng)的三角形和四邊形學(xué)具后，我又出示了用鐵質(zhì)材料焊接兩邊相交處不可以動(dòng)的四邊形學(xué)具，再讓孩子們動(dòng)手拉。

師：這個(gè)四邊形拉得動(dòng)嗎？

生：拉不動(dòng)。

師：拉不動(dòng)，難道四邊形也具有穩(wěn)定性？

生：（疑惑不解）為什么有的拉得動(dòng)，有的拉不動(dòng)呢？

師：看來(lái)拉得動(dòng)和拉不動(dòng)并不是判斷某種圖形是否具有穩(wěn)定性的根據(jù)。孩子們，我們換一種方式去探討“三角形的穩(wěn)定性”好嗎？

生：什么方式？

師：請(qǐng)你們先用老師給的學(xué)具小棒擺一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，然后用同樣的小棒再去擺一擺，最后我們看一看、比一比，同樣的小棒能不能擺出不同形狀的三角形和四邊形？

在三輪操作中，孩子們對(duì)“三角形穩(wěn)定性”的認(rèn)識(shí)由淺人深。其中，他們不斷去除三角形穩(wěn)定性的非本質(zhì)認(rèn)識(shí)，漸趨接近對(duì)三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)理解。在無(wú)疑處生疑，在疑生處探疑。通過操作、比較、交流，孩子們終于明白三角形穩(wěn)定性的本質(zhì)指的是形狀和大小的唯一。三輪操作，孩子們經(jīng)歷了對(duì)規(guī)律的初步認(rèn)知、對(duì)規(guī)律的懷疑、對(duì)規(guī)律本質(zhì)的再認(rèn)識(shí)3個(gè)階段，此中的認(rèn)知沖突、操作體驗(yàn)，不斷地促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思考深刻與理性的形成。作為教師，我們需要走出自我營(yíng)造的經(jīng)驗(yàn)世界，及時(shí)發(fā)現(xiàn)舊有經(jīng)驗(yàn)對(duì)兒童數(shù)學(xué)思考的干擾與束縛，由淺入深，突破表層，引領(lǐng)兒童發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，把兒童帶人深刻而又理性思考的數(shù)學(xué)美好世界中。

由學(xué)到做，優(yōu)化兒童的數(shù)學(xué)思考

德國(guó)哲學(xué)家伽達(dá)默爾曾說過，視界是理解的起點(diǎn)、角度和可能的前景。兒童的數(shù)學(xué)視界亦是如此，它總是在不斷的變化與形成過程中和周遭發(fā)生著聯(lián)系與交融。實(shí)踐告訴我們，兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程一頭連著個(gè)體內(nèi)在已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，一頭又連著兒童外在的可能觸摸到的視界。在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如果兒童處于憑借自己思考已不能解決遭遇的問題時(shí)，我們就需要引領(lǐng)兒童在動(dòng)手實(shí)踐中去“做數(shù)學(xué)”，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)手實(shí)踐與數(shù)學(xué)思考共生的“視界融合”。[2] 在人教版五年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)的第37頁(yè)，有這樣一道題目：“茶廠工人要將長(zhǎng)、寬各為20cm，高為10cm的長(zhǎng)方體荼盒裝入棱長(zhǎng)為30cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？”

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，遭遇了問題解決的困境。

師：孩子們，這道題我們?cè)趺慈ソ獯鹉兀?/p>

生甲：先算出大紙箱的體積，再算出茶盒的體積，兩者相除。列式為30x30x30÷（ 20×20×10）=6……3000，所以說大約能裝6盒。

生乙：我也是這樣想的，但我想不出來(lái)怎么把6個(gè)荼盒放進(jìn)去。也許，6盒是放不進(jìn)去的。

生丙：只能放5個(gè)茶盒。我是用畫圖的方法，6盒放不下。

師：同學(xué)們的意見不相同嗎！用計(jì)算的方法可以知道放6盒還有剩余的空間，但是有的同學(xué)用畫圖的方法，好像又放不進(jìn)去。究竟能放幾個(gè)荼盒？有人說放5個(gè)茶盒，可大紙箱27000立方厘米，5個(gè)茶盒共20000立方厘米，余下7000立方厘米，難道真的放不下一個(gè)4000立方厘米的茶盒了嗎？

眾生爭(zhēng)執(zhí)不休。

可以說，此時(shí)的孩子正在自己已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)里思考，即便是對(duì)通過計(jì)算得出的答案也開始了懷疑。當(dāng)空間想象式的思考不能解決面臨的問題時(shí)，我們需要把孩子的思維引入另外一個(gè)視界，即實(shí)踐視界。

師：孩子們，對(duì)于這道題，大家的意見不能統(tǒng)一，那我們就動(dòng)手研究。今天回家的作業(yè)就是每人做一個(gè)與題目中相同尺寸的紙箱和茶盒，然后親手?jǐn)[一擺，看一看空間能放幾個(gè)這樣的茶盒。

第二天的數(shù)學(xué)課上，教師讓孩子們交流大家的發(fā)現(xiàn)。孩子們通過實(shí)踐操作，得到了“紙箱最多可放6個(gè)茶盒”的結(jié)論。

當(dāng)兒童的數(shù)學(xué)思考遭遇阻礙時(shí)，教師需要相機(jī)轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，把學(xué)生從自我內(nèi)在的視界引向現(xiàn)實(shí)外在的視界，在開放的數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐中引領(lǐng)兒童開展積極而有價(jià)值的思維探索。[3]唯有如此，兒童數(shù)學(xué)才能走出狹隘、封閉、守舊的教學(xué)范式，從而在開放而又富有探索意味的教學(xué)過程中優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。因?yàn)榻虒W(xué)空間的開放，因?yàn)橛袑?duì)問題答案的質(zhì)疑，因?yàn)橛袑?duì)問題的實(shí)踐驗(yàn)證，兒童的數(shù)學(xué)思考由此走向深刻，走向理性。

注釋：

[1]鄭毓倍數(shù)學(xué)崽想、數(shù)學(xué)活動(dòng)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].課程·教材·教法，2008（5）

[2]喬海兵，劉曉勇.動(dòng)中取靜，激活兒童的數(shù)學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)大世界，2016 （4）

[3]G波利亞怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].徐泓，馮承滅，譯.上海：上海科技教育出版社，2011； 59