挖掘古代數(shù)學(xué)文化打贏2017高考攻堅戰(zhàn)

東北育才雙語學(xué)校 王海濤

將中國古代數(shù)學(xué)文化融入高考試題的意義毋庸置疑，在眾多的文章中多有評述；將中國古代數(shù)學(xué)文化融入高考試題的途徑想必同學(xué)們通過往屆試題也心領(lǐng)神會.問題的關(guān)鍵不單是考過的那些試題，還在于我們應(yīng)該了解更多的中國古代數(shù)學(xué)文化，去面對新的高考問題.為此，本文從高考可能涉及到的中國古代數(shù)學(xué)文化的相關(guān)內(nèi)容、基本原理、可能結(jié)合的方法等，將問題分為代數(shù)部分、幾何部分兩方面進行闡述，有的配備了經(jīng)典試題以助于理解，希望對同學(xué)們有所幫助.

一、與代數(shù)相關(guān)的古代數(shù)學(xué)文化內(nèi)容

1.《周易》

《周易》是世界公認(rèn)的第一本討論排列的書，“易”就是變易的意思，書中使用一些特殊的符號，通過陰、陽、卦、爻來說明一些運動變化的道理，富有辯證思想.

《周易》與排列

每次取3個，共有8中不同的排列，叫做“八卦”：

八卦常用來代表不同的事物，如東、東南、南、西南、西、西北、北、東北八個方位，或天、地、風(fēng)、雷、水、火、山、澤八種自然物等.八個方位和八卦對應(yīng)起來，常畫在羅盤的周圍.同時與數(shù)學(xué)中的數(shù)軸（正、負(fù)兩個方向），平面四個象限、空間八個卦限都是對應(yīng)的.

《周易》與二進制

如將陽爻看作數(shù)字1，陰爻看作數(shù)字0，四象、八卦可以改寫成為二進制數(shù)：

我們可以命制這樣的試題：

例1受到中國“伏羲八卦圖”的啟發(fā)，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了二進制.下表是其局部，依據(jù)表中規(guī)律，表中A、B應(yīng)依次填入____.

【答案】101，5

2.算籌

“運籌帷幄之中，決勝千里之外”這句話我們耳熟能詳，什么是“籌”？就是算籌.在14世紀(jì)以前，我國的計算工具一直是一種細長的小棍棒，通常是用竹子、木頭或骨頭制成，這就是算籌.

用算籌表示數(shù)目，有縱橫兩種方式：

記數(shù)時，個位常用縱式，其余橫縱相間.例如1949表示為

算籌可以進行加、減、乘、除、乘方、開方等運算.在《九章算術(shù)》中用算籌把線性方程組示成矩形的方陣：

3.位值制

位值制的特點是同一個數(shù)字由于它所在的位置不同而表示不同的值.例如1949，左邊的數(shù)字“9”表示九百，右邊的數(shù)字“9”表示九個.

我國是世界上最早采用進位制而又是十進位計數(shù)法的國家，特別是以個、十、百、千、萬等專有名詞表示每位數(shù)的地位，更比其他國家早.而“半斤八兩”是因為我國過去曾經(jīng)使用過16進位制的度量衡工具——秤，16兩為1斤之故.

例2計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個記數(shù)符號，這些符號與十進制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：

十六進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

例如，用十六進制表示：E+D=1B，則A×B=

A.6E B.72 C.5F D.B0

【答案】A

4.“良馬追及”問題

“良馬追及”問題出自元朝杰出數(shù)學(xué)家朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書，題曰：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行十二日，問良馬何日追及之？

答：20日.

5.“盈不足術(shù)”

載于《九章算術(shù)》第七章，為我國所獨創(chuàng)，該章第一題為：今有共買物，人出八盈三；人出七不足四.問人數(shù)、物價各幾何？

答：人數(shù)為7，物價為53.算法為——

設(shè)人數(shù)為x，物價為y.每人出 a，盈b；每人出a′，不足 b′，

將題中數(shù)據(jù)代入即可得解.

這類算術(shù)題叫做“盈虧”問題，有了上面的解法就可以程序化解決該類問題，與算法一章聯(lián)系密切.

6.不定方程

“百雞”問題：今有雞翁一，值錢五；母雞一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢買雞百只.問雞翁、母雞、雞雛各幾何？

這是一歷史名題，早在公元五世紀(jì)末，《張丘建算經(jīng)》中便提出了這一問題，它是我國古代數(shù)學(xué)史上杰出的成就之一，曾經(jīng)傳到國外，在世界影響很大.

解答：設(shè)雞翁、母雞、雞雛分別為 x、y、z只，根據(jù)題意可得：

如今我們可以運用scilab軟件運行下面的程序：

其結(jié)果是：

（1）0、25、75；（2）4、18、78；（3）8、11、81；（4）12、4、84.

7.數(shù)列

（1）一般數(shù)列

南北朝張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法.在《張丘建算經(jīng)》中記載幾個等差數(shù)列問題，如：

（1）今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減.初日織五尺，末日織一尺，計織三十日，問共織幾何？

（2）今有女子善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞增.初日織五尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？

解答：

這與我們教材中的等差數(shù)列兩個求和公式完全等價.

例3《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為

【答案】B

（2）高級數(shù)列

宋代杰出數(shù)學(xué)家沈括的著作《夢溪筆談》中有這樣一題：

假設(shè)酒壇堆成的長方垛頂層寬為a個，長為b個；底層寬為c個，長為d個，共有n層，求酒壇總數(shù).

解答：該題中各層酒壇個數(shù)組成一個二階等差數(shù)列：

ab，（a+1）（b+1），（a+2）（b+2），…，cd.

而且沈括給出了求解公式：

與高階數(shù)列有關(guān)，我們可以編制這樣的試題：

例4已知數(shù)列則數(shù)列｝的和S2017=____.

觀察上面的三個三角形，相同位置的三個數(shù)之和為 2n+1，共計有個相同的位置，上述三個三角形內(nèi)數(shù)字之和為三個三角形數(shù)組之和完全相等，故而一個三角形內(nèi)數(shù)字之和為多么美妙的構(gòu)思！

8.二項式定理

我國古代數(shù)學(xué)家最早發(fā)現(xiàn)二項式定理，在宋朝數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中記載了二項展開式的系數(shù)表，并聲明“賈憲用此術(shù)”.原來，在賈憲時代，人們已將傳統(tǒng)開方法推廣到開高次方.賈憲把這種開方法稱為“立成釋鎖法”.“釋鎖”形象地將開方比喻為打開一把鎖；“立成”是唐宋歷算家使用的一些計算常數(shù)的算表；因此，“立成釋鎖法”就是借助于算表進行開方的方法.這個算表就是賈憲三角，這就是為什么賈憲將其稱為“開方作法本源”.這個圖下面有五句話：“左斜乃積數(shù)，右斜乃隅算，中藏者皆廉.以廉乘商方，命實而除之.”前三句說明了賈憲三角的結(jié)構(gòu)：最外左右斜線上的數(shù)字，分別是（a+b）n展開式中積 bn和隅算 an（n=0，1，2，3，……）的系數(shù)，中間的 2；3，3；4，6，4；……分別是展開式的各廉.后兩句說明了各系數(shù)在“立成釋鎖法”中的應(yīng)用.賈憲三角之后有造表法，即“增乘方求廉法”，并給出了求六次方各廉的細草.這是確定某次方的位數(shù)后，自下而上，隨乘隨加，求得各廉的方法.顯然，用這種方法可以寫出任意層數(shù)的賈憲三角.元朱世杰用兩組并行線將賈憲三角的各數(shù)聯(lián)結(jié)起來，說明它還是解決高階等差級數(shù)求和問題的主要工具.（注：左圖為賈憲三角，右圖為楊輝三角）

例5如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第____行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為 2∶3.

【答案】34

二、與幾何相關(guān)的古代數(shù)學(xué)文化內(nèi)容

1.勾股定理

我國最早的數(shù)學(xué)文獻《周髀算經(jīng)》中記述了周公與古代數(shù)學(xué)家商高的一段對話，首先提出勾股形的問題.商高說：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.”這是勾股定理的一個特例.對勾股定理的證明，最早的形式見于公元3世紀(jì)吳國人趙爽所著《勾股圓方圖注》，在這篇短文中，趙爽用割補法畫了一張所謂的“弦圖”（如圖），其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個小正方形叫“中黃實”，以弦為邊的正方形ABEF叫“弦實”.由圖可知四個朱實加上一個中黃實就等于弦實，所以有下式成立：

這個證明方法通過圖形的分割、移補，簡單明了地解決了問題.

例 6“無字證明”（proofs without words），就是將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來呈現(xiàn).請利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系，寫出該圖所驗證的一個三角恒等變換公式：____.

2.圓周率

（1）徽率

而劉徽利用“割圓術(shù)”計算圓周率的方法中說：“割之彌細，所失彌少，割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣”，含有極限的思想，闡明了積分學(xué)上計算長度和面積的基礎(chǔ).

（2）祖率

我國南北朝時期杰出數(shù)學(xué)家祖沖之在世界上最早提出圓周率的兩個分?jǐn)?shù)表達式（約率）（密率/祖率）.

3.海倫-秦九韶公式

人們常把已知三角形三邊a，b，c求其面積S的公式表示為

在人教B版教材必修五書后習(xí)題中有要求推導(dǎo)該公式.

（1）牟合方蓋體積

（2）半球體積

證明這里不再贅述，希望同學(xué)們自己推導(dǎo)一下.

例7由曲線圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4 的點（x，y）組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則V1與V2的大小關(guān)系為____.

【答案】相等

我們還可以將其推廣到平面幾何中，看下面的問題：

例8祖原理的推論：夾在兩條平行線之間的兩個平面封閉圖形被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果截得的兩條線段長度之比總為常數(shù)k，那么這兩個平面圖形的面積之比也為常數(shù)k；另外如圖所示，橢圓可以被認(rèn)為由圓x2+y2=a2作縱向壓縮變換或由圓x2+y2=b2作橫向拉伸變換得到的.依據(jù)上述論述我們可以推出橢圓C的面積公式為____.

【答案】πab.

另外我國古代在《海島算經(jīng)》中還記錄了大量關(guān)于物距測量問題的解決方法，如重差法、勾股測量術(shù)等，由于篇幅所限就不一一列舉了，總之希望通過對本文的閱讀使同學(xué)們對我國古代數(shù)學(xué)文化有一個大致的了解，在未來的試卷中遇到相關(guān)背景的問題不至于慌亂，更希望同學(xué)們喜歡上數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)的進步多做貢獻.

三、數(shù)學(xué)文化高考到底怎么考

正如開篇所言，高考為什么要考數(shù)學(xué)文化同學(xué)們并不關(guān)心，數(shù)學(xué)文化在高考到底考什么，通過上面的敘述我們也略知梗概，我們更關(guān)心的是數(shù)學(xué)文化在高考中到底怎樣考.數(shù)學(xué)文化與教材相關(guān)知識有機融合是考試方向，耳聽為虛眼見為實，下面列舉出最新全國各地?？贾谐霈F(xiàn)的考題來給同學(xué)們提供具體的實戰(zhàn)機會，let's go!

例9我國古代有用一首詩歌形式提出的數(shù)列問題：遠望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？

A.5 B.4 C.3 D.2

【答案】C

例10齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌馬獲勝的概率為

【答案】A

例11公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)園內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可以無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的程序框圖，則輸出的n值為____（參考數(shù)據(jù)：0.2588，sin7.5°≈0.1305）

A.12 B.24 C.48 D.96

【答案】B

例12《九章算術(shù)》是我國古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有良馬與駑馬發(fā)長安，至齊.齊去長安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬.問幾何日相逢.”其大意為：“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去.已知長安和齊的距離是3000里，良馬第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良馬到齊后，立刻返回去迎接駑馬，多少天后良馬和駑馬相遇.”利用我們所學(xué)的知識，可知離開長安后第____天，兩馬相逢.

【答案】16.

希望老師們勤挖掘數(shù)學(xué)文化與高考結(jié)合的例子與同學(xué)們共同切磋，祝愿高三學(xué)子勤奮學(xué)習(xí)、積極思考、?？偨Y(jié)歸納，在2017年高考中取得理想成績！