延期支付下考慮時變需求的最優(yōu)訂貨策略研究

黃敏+魏曄純

摘要：本研究為了零售商確定其在一個有限的時間范圍內(nèi)的最優(yōu)補貨數(shù)量和補給計劃，而提出了一個經(jīng)濟訂貨批量模型。零售商的需求率是與時間有關(guān)的，當(dāng)零售商的訂貨量超過給定的預(yù)先規(guī)定的數(shù)量的時候，供應(yīng)商對零售商提供交易信用。為了使得零售商的利潤最大化，當(dāng)需求率是一個廣義函數(shù)時，可以建立一個數(shù)學(xué)模型，并采用與訂單數(shù)量有關(guān)的的交易信用，通過分析零售商的利潤函數(shù)，我們計算出一些有用的結(jié)果來確定最優(yōu)解決方案。最后假設(shè)需求為函數(shù)方程時對模型進行數(shù)值分析，獲得零售商最優(yōu)利潤下的最優(yōu)訂貨量和訂貨周期。

Abstract： This study presents a deterministic economic order quantity model for a retailer to determine its optimal replenishment number and replenishment schedule in a finite time horizon. The retailer's demand rate is time dependent and the supplier offers a trade credit to the retailer when the retailer's order quantity exceeds a given pre-specified quantity. To maximize the retailer's profit， a mathematical model is developed when the demand rate is a generalized function of the time and the trade credit linked to order quantity is adopted. By analyzing the retailer's profit function， we develop some useful results to characterize the optimal solution and provide an iterative algorithm to find the replenishment schedule and the retailer's order quantities. Numerical example with demand function are presented to validate the proposed model， and find optimal profit with the optimal oeder quantity and replenishment schedule.

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟訂貨批量；庫存；時變需求；交易信用

Key words： economy order quanntity；inventory；time-varying demand；permissible delay in payment

中圖分類號：F274 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）20-0065-04

0 引言

產(chǎn)品的需求是最影響生產(chǎn)和庫存管理重要的因素之一。在最近的庫存研究中，根據(jù)其變化趨勢有三種需求率。第一，需求率是時間的遞增函數(shù)，這表明產(chǎn)品的需求在增長階段和成熟階段。例如，需求率是關(guān)于時間的線性遞增函數(shù)[1-2]。第二，需求量是時間的線性遞減函數(shù)，這表明了產(chǎn)品的成熟和衰退狀況，例如，需求率是關(guān)于時間的線性遞減函數(shù)[3-4]。第三，需求率是一個斜坡式函數(shù)，這表明了產(chǎn)品的需求變化與他們的生命周期有關(guān)，也就是說，在產(chǎn)品的成長階段其需求增加，然后在產(chǎn)品的成熟階段其需求變得穩(wěn)定，產(chǎn)品的衰退階段其需求減少。比如，需求率是一個斜坡式的二次需求函數(shù)[5-6]。近年來，假設(shè)需求函數(shù)是關(guān)于時間的一個廣義函數(shù)，hung[7]提出了一個允許部分短缺量延后的庫存模型。上述所有的模型都是建立在產(chǎn)品貨到后立即付清的情況下。

自從Goyal[8]將交易信用引入經(jīng)典的經(jīng)濟批量模型，延期支付已經(jīng)成為近年來的熱門話題。主要研究結(jié)果一般可以分為兩類。一是信用期限與訂單數(shù)量無關(guān)，這意味著供應(yīng)商向零售商提供穩(wěn)定的信用期只要零售商訂購產(chǎn)品[9-10]。其二，供應(yīng)商將根據(jù)零售商的訂貨量為其提供三個交易信用的選擇。當(dāng)零售商的訂單數(shù)量大于預(yù)測值，供應(yīng)商給予零售商延期支付的優(yōu)惠政策[11-13]；當(dāng)零售商訂購的產(chǎn)品價值超過一定額度時，供應(yīng)商給予根據(jù)零售商訂貨額給予一定的長度延期支付的信用期限[14-15]；當(dāng)零售商的訂單數(shù)量大于預(yù)測值，所有的支付都是按照供應(yīng)商給予的延期支付的條件進行，即一定比例的訂單需要零售商立即付款，剩下的由交易信用策略進行支付[16-18]。

一些研究人員已經(jīng)將與時間有關(guān)的需求率和交易信用策略加入建立了庫存模型。例如，Dye[9]提出了交易信用的策略下的多個訂單模型，其中需求是關(guān)于時間和價格的二元函數(shù)。Balkhi[19]假設(shè)需求率的指數(shù)函數(shù)，在交易信用策略下建立了一個模型，其中每個周期的需求函數(shù)有不同的比例系數(shù)和彈性系數(shù)，而且彈性系數(shù)和信用周期長度是不同的。Teng，Min和Pan[1]提出了一個需求率是一個單信用下的非減函數(shù)函數(shù)的模型。Das， Roy和Kar[20]假設(shè)需求依賴于即時庫存水平，討論了供應(yīng)商綜合價格折扣和交易信用策略的問題。

本文建立了有限的時間范圍的內(nèi)多個訂單的庫存模型。在該模型中，需求率是一個關(guān)于時間和基于訂單數(shù)量的信用周期的廣義函數(shù)，比如說，如果訂單數(shù)量比預(yù)測值要更大，零售商可以獲享受延期支付，否則必須立刻支付。這樣做的目的是為了確定最優(yōu)的補貨計劃和訂單數(shù)量使得零售商的利潤最大化。通過分析這個模型，可以是用下面的一些理論結(jié)果表明最優(yōu)解決方案，而且通過迭代搜索算法也可以最優(yōu)的訂貨策略。最后，為了驗證模型和算法，使用數(shù)值例子進行仿真實驗。

1 建立模型

1.1 符號描述

p：單位產(chǎn)品的銷售價格

c0：單位產(chǎn)品的購買價格

h：單位產(chǎn)品的單位時間的庫存成本（不包括庫存占有資金成本）

ti：第i+1個補貨時間

Ti：第i個補貨周期

Ii（t）：第i時刻的庫存水平

qi：第i個補貨周期訂單數(shù)量

θ：庫存變質(zhì)率

Ie：單位庫存單位時間的利息收益

Ic：單位庫存單位時間的利息支付

W：每筆訂單允許延期支付的數(shù)量

M：交易信用的期限

1.2 假設(shè)

①時間有限且為H，提前期時間為0，不存在缺貨情況；

②產(chǎn)品的需求率是廣義函數(shù)D（t）且D（t）>0，t∈（0，H）；

③如果訂貨數(shù)量少于預(yù)測數(shù)量值，即qi

④在交易信用期限內(nèi)[ti-1，M+ti+1]，賬戶未結(jié)算，銷售收入存入一個計息賬戶，在這一時期結(jié)束時，零售商得到所有購買的產(chǎn)品，并開始支付庫存產(chǎn)品占用的資金成本。

1.3 模型公式

由上述符號和假設(shè)可知，在第i個周期的時間點t的庫存水平為Ii（t）：

=-θIi（t）-D（t），ti-1？燮t？燮ti

當(dāng)Ii（ti）=0時

Ii（t）=D（x）eθ （x-t）dx，ti-1？燮t？燮ti

訂單數(shù)量可由此確定

qi=Ii（ti-1）=D（x）edx

零售商的利潤包括下面的因素

銷售收入：Pi=pD（x）dx

購買支出：Ci=c0qi=c0D（x）edx

庫存持有成本：Hi=hIi（x）dx=Di（x）（e-1）dx

利息收入IEi，利息支出ICi，討論以下兩種情況

①當(dāng)qi

IEi0=0

ICi0=c0IcIi（x）dx=D（x）（e-1）dx

②當(dāng)qi？叟W時，允許延期支付，利息的收取和支出與交易信用和信用期限有關(guān)

情況1：ti

IEi1=pIeD（x）（M+ti-1-x）dx

ICi1=0

情況2：ti？叟ti-1+M時

IEi2=pIeD（x）（M+ti-1-x）dx

ICi2=D（x）（e-1）dx

因此，在時間段[ti-1，H]內(nèi)，可以對零售商的利潤做如下定義

πi（ti）=πi0（ti），qi

其中

πi0（ti）=（p+）D（x）dx-（c0+）D（x）edx-D（x）（e-1）dx

πi1（ti）=（p+）D（x）dx-（c0+）D（x）edx+pIe（M+ti-1-x）D（x）dx

πi2（ti）=（p+）D（x）dx-（c0+）D（x）edx+pIe（M+ti-1-x）D（x）dx-D（x）（e-1）dx

本文的目的是為了求出最優(yōu)的補貨時間ti，且ti-1

（P）max π（t1，…，tm）s.t. 0=t0

2 分析與求解

考慮到目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性，我們采用下面的方法來求解這個模型，假設(shè)已知t0…ti-1，我們在時間間隔[ti-1，H]中對利潤πi（ti）進行最大化。為了方便，我們將ti和πi（ti）分別用t和πi（t）來表示。

注意對于任意的x>0來說D（x）e>0，我們有一個增函數(shù)qi（t）=D（x）edx。由于qi（ti-1）=0，所以qi（t）=W存在一個解叫做t。

根據(jù)qi和W之間的關(guān)系，可以討論一下兩種情況：

2.1 當(dāng)qi

當(dāng)t

π（ti）=θ-1D（t）[（θp+h+c0Ic）-（θc0+h+c0Ic）e]

第一個利潤πi0（t）最大化的一階必要條件是π（t）=0，即

（θp+h+c0Ic）-（θc0+h+c0Ic）e=0（1）

因為p>c0，則有存在唯一的t滿足公式（1），把它稱為t，所以

t=ti-1+ln （2）

因此，當(dāng)t0，當(dāng)t>t時π（t）<0。這表明了

t是πi0（t）的最大點。

定理1. 在{ti-1，ai]中，令t為πi0（t）的最大點，我們可以得出以下結(jié)論

①如果t？燮ai，則t=t；

②如果t>ai，則t=ai。

證明：從式子（2）可得，在區(qū)間[ti-1，t）中π（t）>0，所以πi0（t）是增函數(shù)。在區(qū)間（t，ai]中，所以πi0（t）是減函數(shù)。根據(jù)上述分析，我們可以知道，如果t？燮ai，則t=t；如果t>ai，則t=ai。

2.2 當(dāng)qi？叟W時，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解分析

當(dāng)t？叟t時，允許延期支付。根據(jù)交易信用和信用周期來分下面兩種情形進行討論。

2.2.1 當(dāng)t

在這種假設(shè)下，t滿足t？燮t

π（t）=D（t）E（t）（3）

其中

E（t）=（p+）+pIe（M+ti-1-t）-（c0+）e

由于D（t）>0，那么滿足π=0的一階必要條件條件是

E（t）=0（4）

由于E'（t）=-pIc-（θc0+h）e<0，我們可以得到E（t）是一個減函數(shù)。

定理2.在區(qū)間[t，bi]中，令t是πi1（t）的最大點，我們就可以得到下面的結(jié)論

①如果E（t）<0，則t=t；

②如果E（t）？叟0且E（bi）<0，則t=t，其中t是公式（4）在[t，bi]的唯一解，如果E（bi）？叟0，則t=bi。

證明：由于E（t）是減函數(shù)，如果E（t）<0那么在區(qū)間[t，bi]中E（t）？燮E（t）<0，這表明π（t）=D（t）E（t）<0，πi1（t）依然是個減函數(shù)，那么t=t。

由于E（t）？叟0且E（bi）<0，那么E（t）=0存在唯一解t。當(dāng)t？燮t時E（t）？叟0，那么π（t）？叟0。當(dāng)t

由于E（t）是減函數(shù)，如果E（bi）？叟0那么在區(qū)間[t，bi]中E（t）？叟E（bi）？叟0，這表明π（t）？叟0，πi1（t）是個增函數(shù)，那么t=bi。

2.2.2 當(dāng)ti？叟ti-1+M時，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解

在這個情形中，t滿足不等式ci？燮t？燮H，其中ci=max{ti-1+M，t}，對πi2（t）求導(dǎo)得到：

π（t）=θ-1D（t）[（θp+h+c0iC）-（θc0+h+c0Ice-θM）e]（5）

由于D（t）>0，利潤最大化的一階必要條件為π（t）=0，等價于

（θp+h+c0IC）-（θc0+h+c0Ice-θM）e=0（6）

因為p>c0，所以只有唯一的t滿足公式（6），即t

t=ti-1+ln （7）

定理3.令t是πi2（t）在[ci，H]上最大的點，我們可以得到以下的結(jié)論

①如果t？燮ci，那么t=c；

②如果ci

③如果t>H，那么t=H。

2.3 解決問題（P）的算法

第一步：輸入?yún)?shù)，令t0=0，i=1；

第二步：解出qi（t）=W，計算ai=min{t，H}，bi=min{ti-1+M，H}，ci=max{ti-1+M，t}；

第三步：解出公式（2），t0=min{t，ai}，計算π（t）；

第四步：如果t=bi，設(shè)t=0，π（t）=0，另外，如果E（t）<0則t=t。如果E（t）？叟0，且E（bi）<0，則如公式（4）給出的t=t。如果E（bi）？叟0，則t=bi，計算π（t）；

第五步：如果ci>H，設(shè)t=0，π（t）=0。另外，如果t？燮c，則t=ci，如果ciH，則t=H，其中t由公式（7）給出。計算π（t）；

第六步：計算ti，它滿足πi（ti）=max{π（t），π（t），π（t）}；

第七步：如果ti

第八步：輸出t1，t2，…，tm，π=π1+π2+…+π3。

3 數(shù)值分析

再單級供應(yīng)鏈庫存模型中，基本參數(shù)設(shè)置如下：單一的零售商向供應(yīng)商訂購某產(chǎn)品，其中當(dāng)產(chǎn)品訂購量達到一定數(shù)量后W=150，p=12元/單位，co=10元/單位/年，h=3元/單位/年，Ie=0.12/元/年，Ic=0.18/元/年，M=0.62年，θ=0.12，H=3年，假設(shè)需求是關(guān)于時間的二次函數(shù)，來證明提出的模型和算法。

當(dāng)需求率是關(guān)于時間的二次函數(shù)，D（t）=atn（H-t）s，其中a=200，n=1.8，s=0.6，最優(yōu)訂貨策略如表1所示。

由表1我們可以得出，當(dāng)產(chǎn)品需求為增長-平穩(wěn)-下降的趨勢，當(dāng)3？燮i？燮6時，訂貨量qi是高于預(yù)設(shè)值W，此時零售商能夠獲取延期支付的優(yōu)惠政策。且在第四和第五個周期是高于延期支付的信用周期的，第三和第六個周期小于延期支付的周期。且各個周期的最優(yōu)利潤是先增加在急劇降低的。

4 總結(jié)

在以往的訂貨策略模型的研究中我們往往假設(shè)需求率固定，然而，當(dāng)今時代的迅速發(fā)展，產(chǎn)品更新?lián)Q代速度快，需求的變化性越發(fā)顯著，因此本文具有一定的研究價值，此外，在現(xiàn)實市場中，供應(yīng)商為了增加銷售量減少庫存壓力，往往會給予零售商一定的優(yōu)惠政策，延期支付就是其中一項，本文考慮延期支付情況下的零售商訂貨策略研究更加貼近現(xiàn)實。在本論文中，研究了允許延遲支付的情況下，隨著一般時變需求率的惡化的產(chǎn)品的多個訂單模型。這是對Hung的模型的擴展，其中的模型包含了與延期支付掛鉤的訂貨量，例如零售商的訂貨量高于預(yù)設(shè)值，那么允許延期支付，否則必須立刻支付。通過分析，我們提出了幾個理論結(jié)果品質(zhì)最優(yōu)的解決方案。提供了一個迭代算法來搜索最優(yōu)訂購策略，給出了數(shù)值例子來例證提出的模型。在未來的研究中，我們可以還考慮時變需求、商品積壓或缺貨、易逝品的零售商訂貨策略研究。

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