淺談高考中冪.對(duì)數(shù)值比較大小

李仙芝

冪式、對(duì)數(shù)式等數(shù)值比較大小問(wèn)題，利用同底數(shù)、同指數(shù)或同真數(shù)等借助于函數(shù)單調(diào)性或圖象求解.比較函數(shù)值的大?。?）同底冪比大小，則利用指數(shù)函數(shù)，同底對(duì)數(shù)比大小則利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；對(duì)數(shù)值比較：當(dāng)（a-1）（N-1）>0時(shí)，log >0；當(dāng)（a-1）（N-1）<0時(shí)，log <0，即底和真數(shù)在1同側(cè)，對(duì)數(shù)值為正，1異側(cè)對(duì)數(shù)為負(fù)；（3）對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1或其它值作為為中介值進(jìn)行比較（4）. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論；下面介紹幾種常見(jiàn)方法和題型。

基礎(chǔ)方法1：同底對(duì)數(shù)式或同底指數(shù)式比大小，利用單調(diào)性；不可化同底找中介值比大小

例題1：（1）（文）設(shè)a=log954，b=log953，c=log545，則（ ）

A.a

C.a

[答案] D

[解析] ∵y=log9x為增函數(shù)，∴l(xiāng)og954>log953，∴a>b，又c=log545=1+log59>2，a=log954=1+log96<2，∴c>a>b，故選D.

變式：（1）已知a=21.2，b=12-0.8，c=2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）

A.c

C.b

解析 （1）b=12-0.8=20.8<21.2=a，

c=2log52=log522

故c

基礎(chǔ)方法2：不同底能化同底的盡量化同底，再用單調(diào)性

例題2：（2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ）設(shè)a=log36，b=log510，c=log714，則 （ ）

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

答案 D

解析 a=log36=1+log32=1+1log23，

b=log510=1+log52=1+1log25，

c=log714=1+log72=1+1log27，顯然a>b>c.

基礎(chǔ)方法3：指數(shù)，對(duì)數(shù)比較大小，找中介值進(jìn)行比較

例題3：已知x=ln π，y=log52，z=e ，則 （ ）

A.x

C.z

答案 D

解析 ∵x=ln π>ln e，∴x>1.

∵y=log52

∵z=e =1e>14=12，∴12

綜上可得，y

基礎(chǔ)方法4：底數(shù)不同，指數(shù)相同，則構(gòu)造冪函數(shù)

例題4：設(shè)a=0.50.5，b=0.30.5，c=log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）

A.a>b>c B.a

C.b

解析 （1）根據(jù)冪函數(shù)y=x0.5的單調(diào)性，可得0.30.5<0.50.5<10.5=1，即b

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2>log0.30.3=1，即c>1.

所以b

基礎(chǔ)方法 5：利用同底數(shù)、同指數(shù)或同真數(shù)等借助于函數(shù)單調(diào)性或圖象求解

例題5：已知a=5log23.4，b=5log43.6，c=（1/5）log30.3 （ ）

A.a>b>c B.b>a>c

C.a>c>b D.c>a>b

解析：方法一 在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=log2x，y=log3x，y=log4x的圖象，如圖所示.

由圖象知：

log23.4>log3103>log43.6.

方法二 ∵log3103>log33=1，且103<3.4，

∴l(xiāng)og3103

∵log43.61，

∴l(xiāng)og43.6

∴l(xiāng)og23.4>log3103>log43.6.

由于為y=5x增函數(shù)，5log23.4>（1/5）log30.3>5log43.6， 即5log23.4>（1/5）log30.3>5log43.6

基礎(chǔ)方法6：函數(shù)奇偶性及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算.

例題6：（2015·天津理，7）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x-m|-1（m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù).記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）

A.a

C.c

[答案] C

[解析] 考查函數(shù)奇偶性及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2|x-m|-1為偶函數(shù)，所以m=0，

即f（x）=2|x|-1，所以

a=f（log0.53）=flog213=2log213-1

=2log23-1=3-1=2，

b=f（log25）=2log25-1=4，c=f（2m）=f（0）=20-1=0，

所以c

總之，比較幾個(gè)數(shù)（冪或?qū)?shù)）的大小是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)的重要應(yīng)用，在具體解題過(guò)程中，應(yīng)先觀察要比較的數(shù)的特征再選用合適的方法比較大小，有時(shí)需要先結(jié)合冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)要比較的數(shù)進(jìn)行合理的變形，再進(jìn)行大小比較。