在數(shù)學(xué)課堂中插上“猜想”的翅膀
——《反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)案例與說明

浙江省寧波濱海國際合作學(xué)校(315000) 丁科利

在數(shù)學(xué)課堂中插上“猜想”的翅膀
——《反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教學(xué)案例與說明

浙江省寧波濱海國際合作學(xué)校(315000) 丁科利

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,“猜想”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法,“猜想”思想重視發(fā)展學(xué)生的直覺思維,而直覺思維是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.因此,我認(rèn)為“猜想”不僅是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法而且也是一種非常有效的教學(xué)操作方法.我們大家都聽說并嘗試過“賞識”教育,其實發(fā)展尊重學(xué)生“猜想”即是一種“賞識”教育,因為順應(yīng)學(xué)生的思維永遠(yuǎn)比說教更有效.“猜想”不僅能讓你了解學(xué)生的知識起點,更能讓你掌握學(xué)生的思維走向.下面借用《6.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)》的教學(xué)案例與大家一起體驗、探討.

一、教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)回顧反比例函數(shù)的定義

教師:上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的定義,請同學(xué)回答什么叫反比例函數(shù)?

老師引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個角度幫助學(xué)生理解反比例函數(shù)的定義:

1)反比例函數(shù)也可以簡單的理解為,當(dāng)兩個變量x與y,滿足xy=k(k為常數(shù),k/=0),即相乘為一個不為零的常數(shù)k時,我們稱其中一個是另一個的反比例函數(shù).

2)強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)自變量x的取值范圍是x/=0

設(shè)計思路:復(fù)習(xí)回顧反比例函數(shù)的定義一方面是為今天所學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)作鋪墊,另一方面是再次用直白的語言表達(dá)出函數(shù)就是反應(yīng)兩個變量之間的關(guān)系打消學(xué)生認(rèn)為函數(shù)很抽象難理解的恐懼心理.

2.猜想并合作探究反比例函數(shù)圖像

1)猜想環(huán)節(jié)

了解了反比例函數(shù)的定義后,下面我們來猜想一下反比例函數(shù)的圖像會是什么樣子

圖1

(留給學(xué)生5分鐘獨立思考并小組內(nèi)討論)

2)展示并談?wù)摬⒋_定最終猜想

各個小組分別展示小組猜想,大家的猜想有可能是以下中幾種或更多種可能,讓學(xué)生充分討論,確定大家都認(rèn)可的最終猜想.

圖2

圖3

圖4

圖5

此環(huán)節(jié)需要幫助學(xué)生解決以下幾個問題:

(1)復(fù)習(xí)鞏固用列表,描點,連線的方法探索函數(shù)圖像

(2)圖像是有兩支

(3)點與點之間應(yīng)該是用曲線而不是直線連接

為了更清晰表達(dá)這個環(huán)節(jié)操作的過程,下面截取了這一段課堂實錄分享給大家:

教師:大家認(rèn)為哪組是正確的?

學(xué)生(部分): 第二組是正確的

學(xué)生(部分): 第四組是正確的

教師:還有別的選擇或補充嗎?

(大家紛紛表示沒有了,并且原本第一三小組的同學(xué)也沒有再堅持原先的觀點)

教師: 我們同學(xué)都認(rèn)為單支是錯誤的,而雙支是正確的,是嗎?

學(xué)生(齊聲答): 是的

教師:為什么應(yīng)該有兩支呢?

學(xué)生(眾): 因為圖像的點不僅僅只在第一象限,第三象限也有圖像的點

教師(補充): 非常好,也就是說你們是先思考圖像經(jīng)過的點再猜測整個函數(shù)圖像的形狀的,是嗎?

學(xué)生點頭:是的

學(xué)生2:可以類比以前學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像的方法,步驟分為:列表,描點,連線三步,

學(xué)生2(展示):

第一步是列表

____x ?4___?3___?2___?1___1___2___3____4___y=6?1.5___?2___?3___?6___6___3___2___1.5 x

圖6 第二步是描點

圖7 第三步是連線

部分學(xué)生叫起來:不對不對

教師:請學(xué)生3來說說看哪里有問題?

學(xué)生3: 列表有錯誤,列表的兩端要加上省略號,是應(yīng)該這樣(學(xué)生3在學(xué)生2的表格兩端加上)

__x___···____?4____?3___?2___?1___1___2___3____4____···____y___···___?1.5___?2___?3___?6___6___3___2___1.5___···__

很多同學(xué)紛紛舉手:還有還有

學(xué)生4(主動站起來回答):那圖像也要改,兩端要出頭,應(yīng)該是這樣的(學(xué)生4在黑板上將圖像兩端加長了一些)

學(xué)生5(主動站起來回答):我認(rèn)為這個點與點之間用線段連接不對的,應(yīng)該是用曲線連接

圖8

教師追問:為什么?

學(xué)生5(繼續(xù)):因為如果用線段連接就會出現(xiàn)有些線段上的點不是函數(shù)圖像的點,而有些函數(shù)圖像的點又不在線段上

(很多同學(xué)紛紛皺起了眉頭,沒能完全理解學(xué)生5的回答)

教師:請舉例說明

教師:同學(xué)們現(xiàn)在可以嘗試驗證一下同學(xué)5的話是否正確

(同學(xué)們紛紛開始計算,也有些同學(xué)在猶豫不知如何下手)

教師(提示): 同學(xué)們可以通過兩種方式驗證1)借用手中的幾何畫板作圖驗證2)可以通過計算的方法驗證(1.5,4)是否在y=函數(shù)圖像上,以及(1.5,4)是否在(1,6)與(2,3)兩點構(gòu)成的線段上.

圖9

(留給學(xué)生一段時間驗證,驗證后,同學(xué)們紛紛表示不在)

教師:因此學(xué)生4同學(xué)補充后的這個圖像還是有一定有的問題的,點與點之間確實不能用線段連接,那為什么用曲線連接呢?

學(xué)生6:如果你原先兩點之間再多取一些點會發(fā)現(xiàn)兩點之間的部分是彎曲的

教師: 因此大家經(jīng)過這些分析,最終認(rèn)為哪個小組的答案是正確的呢?

圖10

通過以上一段師生的對話互動,既回顧了確定函數(shù)圖像的步驟是分為:列表,描點,連線三步,而且在三步操作過程中易產(chǎn)生的錯誤也都在討論過程中一一得到了解決,特別是學(xué)生的這種證明兩點之間為什么需要用曲線而不是直線連接的方法不由的讓人拍手叫絕,不由的感嘆被調(diào)動起積極性的學(xué)生潛力是無窮的.

3.繼續(xù)猜想

設(shè)計思路:通過繼續(xù)猜想環(huán)節(jié)可以達(dá)到以下目標(biāo):

1)給予對前面第一次猜想過程中大家所遇到的種種錯誤一個很好的糾正機(jī)會,也是對探究函數(shù)圖像的方法及步驟一次極佳的鞏固機(jī)會

4.借用幾何畫板驗證猜想

(老師告訴學(xué)生驗證的方法,學(xué)生親手操作)

設(shè)計思路:任何猜想都需要通過科學(xué)的檢驗驗證的,讓學(xué)生親自操作驗證會給學(xué)生留下更加深刻的印象,即可以提升學(xué)生幾何畫板的操作能力,并收獲親自證明自己猜想正確的喜悅感.

圖11

圖12

5.對比總結(jié)反比例函數(shù)的性質(zhì)

此環(huán)節(jié)可以放手讓學(xué)生自己觀察總結(jié),對于反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)中圖像有兩支,k的正負(fù)決定函數(shù)圖像所在象限是一三或者二四象限的性質(zhì)特點學(xué)生是不難發(fā)現(xiàn)的,但對于反比例函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的無窮趨近性學(xué)生一般發(fā)現(xiàn)不了,而且圖像的對稱性也是有發(fā)現(xiàn)但不確定,這時老師可以點撥引導(dǎo)一下.首先老師只要引導(dǎo)學(xué)生抓住下表與下圖,再拋出幾個問題給學(xué)生基本上問題就不大了.

問題(1)當(dāng)x的取值無窮大,無窮小和無窮趨向于零的時候圖像的點在哪里?

問題(2)關(guān)于原點中心對稱的兩個點的坐標(biāo)有什么特點?即(a,b)關(guān)于原點中心對稱點的坐標(biāo)是什么?

問題(3)圖像是軸對稱圖形嗎?對稱軸是什么?

問題(4)關(guān)于y=x對稱的兩個點的坐標(biāo)有什么關(guān)系?即(a,b)關(guān)于y=x對稱的點的坐標(biāo)是什么?

_____x ···_____?4_____?3____?2___?1_____1______2_____3_____4____···_____y=6···____?1.5____?2___?3___?6_____6______3_____2____1.5___···__y=?6 x···____1.5_____2_____3_____6_____?6___?3___?2___?1___···x

圖13

圖14

6.下面是例題講解與練習(xí)鞏固環(huán)節(jié),在此不再贅述.

二、總體設(shè)計說明

本課的教學(xué)環(huán)節(jié)主要分為:獨自猜想,完善猜想,繼續(xù)猜想,驗證猜想,觀察歸納五個環(huán)節(jié),本節(jié)課的設(shè)計思路是重猜想,重合作.

首先筆者認(rèn)為一定要重視發(fā)揮學(xué)生的猜想,猜想的目的有兩個,一是發(fā)揮學(xué)生的直覺思維,二是當(dāng)學(xué)生當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己完全靠直覺猜想有局限的時候就會考慮可以借助自己學(xué)習(xí)過的哪些知識幫助自己完成猜想,這時就可以主動聯(lián)想鞏固了探索函數(shù)圖像的方法:列表,描點,連線.

小組合作討論交流猜想的過程也很重要,畢竟集體的力量大,特別是遇到較難的探索時人多力量大的優(yōu)勢就突顯出來了,學(xué)生們在一起思維相互碰撞,取長補短,共同糾錯,不斷的完善,在討論中鞏固學(xué)生在探索函數(shù)圖像中應(yīng)用的知識提升的重要過程.

大家對兩個函數(shù)的圖像都已經(jīng)有了自己比較充分思考的猜想后?那么究竟這個猜想是否正確呢?這時就需要一起來驗證猜想,驗證猜想的方法老師推薦使用幾何畫板點的追蹤的方法可以非常形象的作出整個圖像,這是一個非常有成就感的過程,最終驗證大家的合作猜想是正確的,極大增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)探究的熱情以及堅定學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.