一堂解題教學(xué)及思考

廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 王守亮

一堂解題教學(xué)及思考

廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 王守亮

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》明確提出:“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí),高中數(shù)學(xué)課還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索,動手實踐,閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方法的轉(zhuǎn)變”,筆者認(rèn)為,要真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,提高學(xué)生的探究能力,必須要將數(shù)學(xué)探究教學(xué)植根于日常教學(xué)活動中去,充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性.2016年筆者在上一節(jié)有關(guān)數(shù)列和型不等式的解題課教學(xué)時,根據(jù)學(xué)生的探究活動情況,選擇放手讓學(xué)生自主思考、交流探索,力求課堂自然生成.現(xiàn)撰寫成文,以求教于同行.

一、教學(xué)過程

(一)題目呈現(xiàn)

例題. 已知數(shù)列{an}是首項為1,并且對于任意n∈N?,且n＞1,都有an=2an-1+1成立

(I)求數(shù)列{an}的通項公式；

(二)講解過程

筆者發(fā)現(xiàn)第二問學(xué)生一時無從下手,就引導(dǎo)學(xué)生分析題型特點:是分式和型數(shù)列不等式問題,但很難直接求和.因為是不等式證明,我們是否可以考慮將每一項適當(dāng)放大一點使之變?yōu)榭梢郧蠛偷臄?shù)列問題?

∵2n-1≥2n-1,∴anan+1=(2n-1)(2n+1-1)≥2n-12n=22n-1,這樣就有:

結(jié)果發(fā)現(xiàn)放縮過度.筆者進(jìn)一步分析引導(dǎo):由于按照這種放縮法,該數(shù)列前幾項放縮后誤差較大,我們可否保留誤差較大的一項或幾項不變?同學(xué)們開始動手嘗試,有同學(xué)說那就第一項不要變了,老師:你們試試再說.

很快學(xué)生A發(fā)言: 老師,我發(fā)現(xiàn)若保留一項不變?nèi)匀徊恍?

學(xué)生B:我用前兩項保留不變可以證得結(jié)論:下面是同學(xué)B證明過程:有:

教師: 很好!看來有時我們在先用放縮法證數(shù)列和型不等式時,未必一次能夠證成功,有時還要嘗試保留一些項不變才行.

學(xué)生C:老師,學(xué)生B的解答有漏洞,上面過程應(yīng)改為n≥3,

教師:那n=1,2怎么辦呢?

學(xué)生C:其實,對于n=1,2不等式是否成立可單獨驗證.

教師:非常好!筆者進(jìn)一步引導(dǎo):同學(xué)們再看看該數(shù)列還有什么特點?

學(xué)生D:分母為兩項之積,是數(shù)列中相鄰兩項之積.

教師:對你有何啟發(fā)嗎?

學(xué)生D:這樣的數(shù)列求和特點常常進(jìn)行“裂項相消”,但剛才我試了一下好像不行.

教師:為何不行?

學(xué)生D:因為裂項之后,每一項產(chǎn)生的系數(shù)是一個變量,無法實現(xiàn)相消,

教師:奧,確實如此!同學(xué)們想想能否用此法求證?

學(xué)生E舉手發(fā)言: 老師,我們是否可以學(xué)生D的裂項結(jié)果再進(jìn)行放縮?一會兒,學(xué)生E給出如下解法:

當(dāng)n≥3時,

學(xué)生F:老師:我有這樣一種政法,給出下面的解法:因為,當(dāng)n ≥ 3時,當(dāng)且僅當(dāng)n=3時等號成立,所以an≥2n+1(n≥3),有

容易驗證:n=1,2時不等式成立,從而命題得證.到此,本題基本完成了本題教學(xué),但筆者隨后又問:不知道還有沒有其他解法,同學(xué)們可以再思考一下.

講完之后留給學(xué)生一些思考時間也是筆者的一貫做法,這時學(xué)生常常會進(jìn)行知識的消化吸收、內(nèi)化整理,甚至?xí)行碌幕鸹ū某?果真,很快有學(xué)生舉手發(fā)言:

學(xué)生G:老師,我根據(jù)您的解法一是將分母這樣變形,證明過程由于第一種解法由(I)得成立,∴當(dāng)n≥ 2時,時,

容易驗證:n=1時,不等式成立,從而命題得證.

老師:非常好!

學(xué)生H:老師,我在考慮這樣一個問題:2n-1≥2n-1,右邊一定是2n-1嗎?

教師: 其實右邊也可以是k2n-1的形式,事實上:設(shè)2n-1≥k2n-1對一切n≥2成立,即k只需即可,取則有下面請同學(xué)們自己證明.

學(xué)生I給出如下證明: 當(dāng)n≥2時,anan+1=(2n-1)(2n+1-1)≥·22n-1,

易證:n=1,不等式成立,從而命題得證.

老師: 非常好,看來只要大家肯動腦筋,解題時一定能想出很多好辦法.

學(xué)生J:老師,對學(xué)生G的做法我也可以用學(xué)生I的方法進(jìn)行改進(jìn):設(shè)22n+1-3·2n+1≥k22n對一切n≥2成立,則只需則

到此下課鈴響了,最后教師作了簡單的小結(jié):放縮的方法多種多樣,本節(jié)是根據(jù)題型特點找到了那么多的方法,所以,解題時一定要根據(jù)題型特點,認(rèn)真分析,當(dāng)放縮過來頭時要注意調(diào)整或改進(jìn).

二、教學(xué)反思與啟示

按照事先準(zhǔn)備好的教案,筆者還有一道例題未講,但在解決問題的過程中,同學(xué)生積極思考,勇于探索,一節(jié)課下來,同學(xué)生興奮不已,這正是我們教學(xué)所需要的.由此也引起筆者的一些反思.

(一)解題課教學(xué)選題要有代表性典型性

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題,但數(shù)學(xué)的題不在多,而在精,備課中我們要精于選題,尋找具有代表性的試題,本節(jié)課中的例題是數(shù)列和型不等式的常見題型,通過本題的訓(xùn)練,相信學(xué)生對此類問題的一般處理方法會有一個較為系統(tǒng)的認(rèn)識,達(dá)到舉一反三之目的.

(二)教師要為學(xué)生探究活動搭橋鋪路

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》明確提出,教師應(yīng)成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的組織者、指導(dǎo)者、合作者.學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線,這是我們一直倡導(dǎo)和追求的數(shù)學(xué)課堂.在本節(jié)課中,筆者以已有知識為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生尋找問題的解決策略,在整個探究過程中教師起到為學(xué)生攀登思維高峰搭建“腳手架”的角色.筆者認(rèn)真在日記中寫到:數(shù)學(xué)的解題教學(xué)不能只停留在簡單的模仿過程,而應(yīng)該是開啟學(xué)生心智的過程,學(xué)生能在探究活動中尋求問題解決的不同策略本身就是教學(xué)活動的重要內(nèi)容,在教學(xué)活動中學(xué)生思維得到啟發(fā),能力得到提升本身就是我們教學(xué)的根本追求,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力才是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).

(三)教師要擁有完整的知識結(jié)構(gòu)和較強(qiáng)的課堂調(diào)控能力

當(dāng)我們在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索活動時,課堂經(jīng)常會生成很多新的信息,但當(dāng)課堂出現(xiàn)生成與預(yù)設(shè)不合時,教師應(yīng)當(dāng)迅速作出反應(yīng),這需要教師要有完備的知識結(jié)構(gòu),才能夠及時應(yīng)對課堂可能出現(xiàn)的新情況、新問題.作為課堂的主導(dǎo)者和組織者教師還要能夠因事利導(dǎo),要善于抓住機(jī)會及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究活動,本節(jié)課學(xué)生G提出的問題“2n-1≥2n-1,右邊一定是2n-1嗎?”就很具有挑戰(zhàn)性,但教師如果不進(jìn)行及時的調(diào)控引導(dǎo),可能會使問題變得復(fù)雜而不可收拾,而教師抓住這一信息及時引導(dǎo)到“k2n-1”的形式,使本節(jié)的學(xué)習(xí)探究活動上升到一個新的高度.