“聯(lián)想”助啟航思維

廣東省興寧市寧中中學(xué)(514000) 何偉彬

“聯(lián)想”助啟航思維

廣東省興寧市寧中中學(xué)(514000) 何偉彬

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題,解題就是調(diào)用相關(guān)知識來解決問題.解題過程是一個不斷轉(zhuǎn)化,找到已知與所求聯(lián)系的過程.解題時應(yīng)調(diào)用哪些知識,這個過程該從哪開始呢?從哪著手想起呢?在解題教學(xué)中,教師應(yīng)如何幫助學(xué)生找到解題的突破口,找到思維的起點呢?這些都是值得我們教師思考的問題.筆者以本地薄弱學(xué)校的學(xué)生為研究對象,對“聯(lián)想”來幫助學(xué)生找到思維的起點,做了一些調(diào)查,進(jìn)行了一些積累和粗淺的思考.現(xiàn)拋磚引玉,敬請同行指正.聯(lián)想是一種基本的思維形式.是由一種事物想到另一事物的心理過程.是由當(dāng)前感知或思考的事物想起有關(guān)的另一事物,或者由頭腦中想起的一件事物,又引起想到另一件事物.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中,教師應(yīng)教會學(xué)生聯(lián)想的方法,恰當(dāng)?shù)恼T發(fā)學(xué)生的聯(lián)想,將能助力學(xué)生思維啟航.下面,我從六個方面談?wù)劷處熑绾未賹W(xué)生聯(lián)想,啟航其思維.

一、抓住“關(guān)鍵詞”聯(lián)想,啟航思維

解一道數(shù)學(xué)題,如語文中品一首詩,只有抓住文中的“詩眼”,才能把握好詩的中心思想,才能理解好詩的內(nèi)涵.我們在數(shù)學(xué)解題時也同樣要引導(dǎo)學(xué)生抓住題中的“關(guān)鍵詞”,才能找到思路解題.所謂關(guān)鍵詞就是題目有用的信息.在把握關(guān)鍵詞理解的基礎(chǔ)上,將其中需要表達(dá)的東西轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號,從而啟航思維.

例1.(2015高考陜西,理13)中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2015,則該數(shù)列的首項為___.

解題時一定引導(dǎo)學(xué)生題中抓住關(guān)鍵詞“中位數(shù)”和“等差數(shù)列”,聯(lián)想到等差數(shù)列的性質(zhì)中:等差中項的概念:若a,A,b成等差數(shù)列,則A稱為a與b的等差中項,即2A=a+b.中位數(shù)在此題就是數(shù)列的等差中項,從而可以得到:

【解析】設(shè)數(shù)列的首項為a1,則a1+2005=2×1010=2020,所以a1=5,故該數(shù)列的首項為5.

例2. 平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=( )

抓住題中關(guān)鍵詞“平面向量”、“夾角”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到數(shù)量積公式,從而找到思維的起點.

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=故選B

二、由已知條件結(jié)構(gòu)特征展開聯(lián)想,啟航思維

有些題目,已知條件特征比較明顯,我們在解題教學(xué)時,可以根據(jù)這些特征引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到相關(guān)知識,從而找到思維的起點.

例3.(2013年上海文科5).已知△ABC的內(nèi)角A、B、C 所對的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0,則角C的大小是____.

已知中有條件“a2+ab+b2-c2=0”引導(dǎo)學(xué)生搜索含有“a2、b2、c2”的知識,聯(lián)想到余弦定理,從而很快得到:

三、由已知條件的數(shù)字特征展開聯(lián)想,啟航思維

有些題目數(shù)字特征明顯,我們在解題教學(xué)時,可以根據(jù)這些特征引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到相關(guān)知識,啟航思維.

例4. (2014年廣州二模18題)如圖1,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,EF//平面ABCD,EF=1,FB=FC,∠BFC=90°,AE=

圖1

(1)求證:AE⊥平面BCF;

(2)求直線AE與平面BDE所成角的正切值.

在證明第(1)節(jié)時,證明線面垂直離不開線線垂直,有數(shù)字 1、2、引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到特殊直角三角形三邊之比,從而想到用勾股定理去證明線線垂直.此題在閱卷時發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在證明AB⊥平面BCF時,只找到了AB⊥BC,而無法用勾股定理去證明另外一個垂直.如果學(xué)生能利用到數(shù)字信息去聯(lián)想,可能就有解題的方向了.

四、由題目的圖形特征,啟航思維

有些題目圖形特征明顯,我們在解題教學(xué)時,可以引導(dǎo)學(xué)生抓住這些特征聯(lián)想到相關(guān)知識,啟航思維.

例5. (2013年高考北京卷(理))如圖,AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,PB與圓O相交于D.若PA=3,PD:DB=9:16,則PD=____;AB=____.

圖2

從圖形出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到切割線定理,(當(dāng)然結(jié)合已知條件是有切線和割線)于是就有了解題思路.

解:由PD:DB=9:16,可設(shè)PD=9x,DB=16x.因為PA為圓O的切線,所以 PA2=PD·PB,所以 32=9x·(9x+16x),化為 x2=所以 x=所以PD=9x=PB=25x=5.因為AB為圓O的直徑,PA為圓O的切線,所以AB⊥PA.所以

五、由結(jié)論展開聯(lián)想,啟航思維

有些題目所求結(jié)論中有解題的方向,我們在解題教學(xué)時,可以引導(dǎo)學(xué)生抓住這些特征聯(lián)想到相關(guān)知識,就可啟航思維.

例6. 若函數(shù)對任意x∈R的都有f′(x)＞f(x)恒成立,則( )

A.3f(ln2)＞2f(ln3)

B.3f(ln2)=2f(ln3)

C.3f(ln2)＜2f(ln3)

D.3f(ln2)與2f(ln3)的大小不確定

此題由選項的結(jié)構(gòu)特征,比較數(shù)的大小,有函數(shù)值有數(shù)字‘引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到比較函數(shù)值的大小,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),由單調(diào)性解題.

A.關(guān)于原點對稱 B.關(guān)于直線y=x對稱

C.關(guān)于x軸對稱 D.關(guān)于y軸對稱

從選項中“關(guān)于原點對稱”,“關(guān)于y軸對稱’,可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到奇偶性,從而啟航思維.

六、由題設(shè)或結(jié)論的特殊結(jié)構(gòu)特征展開聯(lián)想,啟航思維

如學(xué)生解題時常常會碰到題設(shè)條件中有“導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)特征”函數(shù)問題.根據(jù)這個“結(jié)構(gòu)特征”進(jìn)行有效聯(lián)想,找到思維的起點.

例8. 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng) x ∈ (-∞,0)時,f(x)+xf′(x)＜ 0(其中 f′(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若 a=(30.3)·f(30.3),b=(logx3)·f(logx3),則a,b,c的大小關(guān)系是( )

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.c＞a＞b D.a＞c＞b

聯(lián)想到兩個函數(shù)積的求導(dǎo)公式:[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),通過構(gòu)造函數(shù),從而使問題解決.

當(dāng)然了,我們在解題時“聯(lián)想”未必成功,還需去嘗試,還要通過解題過程去檢驗.聯(lián)想還包括:相似聯(lián)想、相關(guān)聯(lián)想、對比聯(lián)想、因果聯(lián)想、接近聯(lián)想等,靈活地應(yīng)用聯(lián)想,能幫助學(xué)生快速找到思維的起點,發(fā)展學(xué)生思維,提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量,從而真正幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維能力.