多維思考引領(lǐng)教學 生態(tài)互動激活課堂
——以一道高考試題的教學運用為例

安徽省滁州中學(239000) 郭守靜 張曉建

多維思考引領(lǐng)教學 生態(tài)互動激活課堂
——以一道高考試題的教學運用為例

安徽省滁州中學(239000) 郭守靜 張曉建

2016年4月,筆者所在滁州市郭守靜中學數(shù)學名師工作室開展了高三數(shù)學復習課中生態(tài)課堂的構(gòu)建研討會,并上了一節(jié)關(guān)于數(shù)列的專題復習課.本節(jié)課的設(shè)計理念與想法是“多維思考引領(lǐng)教學,生態(tài)互動激活課堂”.在設(shè)計過程中,筆者以2014年安徽省高考數(shù)學理科試題第21題為教學內(nèi)容,引導學生“多維思考”,開展“生態(tài)互動”的教學活動.

真題再現(xiàn) (2014年安徽省高考數(shù)學理科第21題)設(shè)實數(shù)c＞0,整數(shù)p＞1,n∈N?.

(1)證明:當x＞-1且x/=0時,(1+x)p＞1+px;

(2)數(shù)列{an}滿足證明:an＞an+1＞c1p.

本題的第一小問實際上選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修4-5不等式選講》第四章第二節(jié)《用數(shù)學歸納法證明不等式》的例3,也即貝努利不等式.高考試題的命制來源于課本的例題,這也要求我們在高三復習中應(yīng)回歸課本,逐本朔源.在教學過程中,我設(shè)計了問題串,促進學生學會合乎邏輯的思考,促使學生自然生成解題思路,多維度的分析問題,達到生態(tài)互動,激活課堂.

問題1 此不等式的證明如果把p看作變量,那么就是一個關(guān)于正整數(shù)的不等式,你能想到用什么方法證明呢?我們常用什么方法證明關(guān)于正整數(shù)的不等式呢?

學生1 數(shù)學歸納法,并順利完成證明.

解法1(數(shù)學歸納法)

(1)當p=2時,由x/=0得(1+x)2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立

(2)假設(shè)當p=k(k≥2)時不等式成立,即有(1+x)k＞1+kx.當p=k+1時,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k＞(1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx2＞1+(k+1)x所以當p=k+1時不等式成立.由(1)(2)可知,不等式成立.

問題2 既然我們把這個不等式看作是關(guān)于正整數(shù)的不等式,應(yīng)該可以和數(shù)列建立關(guān)系,同學們能否結(jié)合你所學過的關(guān)于數(shù)列方面的知識證明?是否可以構(gòu)造一個數(shù)列呢?如果構(gòu)造一個數(shù)列,那么不等式等價轉(zhuǎn)化為什么呢?引導學生轉(zhuǎn)化不等式可以得到:∵(1+x)p＞0,故即證由此可設(shè)

問題3 問題即轉(zhuǎn)化為證明an＜1,那我們需要解決數(shù)列{an}什么方面的性質(zhì)呢?學生經(jīng)過思考得到需要研究{an}的單調(diào)性,由學生完成并展示解法2.

∴{an}為單減數(shù)列,故又x＞-1且x/=0時,x2＞0,所以必然成立故有即原不等式成立.

評析:此處的設(shè)計目的和意圖是通過問題驅(qū)動帶動學生去復習鞏固知識,通過解決數(shù)列與不等式的基本方法數(shù)學歸納法和數(shù)列的單調(diào)性來解決問題,起到復習基本知識和基本技能的作用.

問題4 我們用數(shù)列的思想解決了本題,那么現(xiàn)在我們觀察發(fā)現(xiàn)(1+x)p(p＞1,p∈N?),這樣的結(jié)構(gòu)我們同學能夠想到你所學過的什么知識呢?

學生2:二項式定理

教師:我們可不可以用二項式定理來證明這個不等式呢?由二項式定理可得:(1+x)p=1+px+

教師:是否可以直接得到(1+x)p=1+px+

學生3: 不行,因為x的范圍有影響,可以考慮對分x＞0和-1＜x＜0兩種情況討論.學生考慮的非常好,由此給出下列解法.

解法3: 當x＞0時,用二項式定理來證明(1+x)p=

教師: 當-1＜x＜0時,怎么辦?

學生3:好像不能判斷符號,要不也用數(shù)學歸納法證明?(學生發(fā)現(xiàn)了問題,但沒有找到解決的辦法,于是又借助前面所學習的方法來解決這種情況)

問題5 當-1＜x＜0,我們是可以用數(shù)學歸納法來補充證明,除了數(shù)學歸納法之外還有沒有其他的辦法?我們是把p看作變量,來解決問題的,是否可以把x看作變量來研究呢?如果把看作變量,則是一道函數(shù)與不等式的問題,我們用什么方法?(這里引導學生突破思維的障礙,變換角度,試圖通過函數(shù)與導數(shù)的思想方法來解決本題)

學生4:導數(shù)

教師: 很好,那同學們思考一下,應(yīng)該構(gòu)造怎么樣的函數(shù)呢?

學生4: 解法4:構(gòu)造函數(shù),記f(x)=(1+x)p-px-1(x ＞ -1),則 f′(x)=p(1+x)p-1-p(x ＞ -1)結(jié)合導數(shù)可得函數(shù)f(x)在(-1,0)上單減,在(0,+∞)上單增故f(x)在x=0處取得極小值即最小值f(0)=0,所以f(x)=(1+x)p-px-1≥0.又x＞-1且x/=0所以f(x)=(1+x)p-px-1＞0,原不等式成立.

學生3: 解法3中,當-1＜x＜0時,也可以用導數(shù)解決.

評析:此處的設(shè)計目的和意圖是引導學生變換思考的角度,轉(zhuǎn)變變量,運用函數(shù)的思想來解決關(guān)于數(shù)列和不等式的問題,我們需要借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而證明不等式.

教師:非常好,同學們已經(jīng)從數(shù)列的角度以及函數(shù)與導數(shù)的角度解決的問題,老師在這里還有其他的方法,同學們想不想知道?(學生很是驚奇,還有方法?)

現(xiàn)在我回歸本身,第一問實際上也是一個不等式證明,那我們可不可以用不等式的方法來解決問題呢?

給出引理 1:xn-yn=(x-y)[xn-1+xn-2y+ ···+xyn-2+yn-1]

教師:同學們可不可以結(jié)合上述等式對問題進行分解?(學生都躍躍欲試)

學生5: 由xn-yn=(x-y)[xn-1+xn-2y+···+xyn-2+yn-1],∴(1+x)p-1p=x[(1+x)p-1+(1+x)p-2+···+1]

教師:很好,請同學完成解答.

解法5結(jié)合

教師: 我還有個方法,大家想不想知道?(此時的課堂,學生已經(jīng)完全投入到思考問題,解決問題中,按照我所設(shè)計的問題串,學生思維活躍,積極思考)教師給出證明方法:

解法6 引理 2:n維的均值不等式:(當且僅當 a=a=12···=an時取等號).當1+px≤ 0時,∵(1+x)p＞ 0,∴(1+x)p＞ 1+px成立;當1+px ＞ 0,則即證.

評析:不等式的解決方法技巧性較強,教師在這里不是讓學生直接去用,二是給出引理,引導學生去試圖解決問題,在提醒的同時,也調(diào)動了學生學習的積極性,在引導學生使用什么方法來解決問題的前提下,可以克服學生做題的盲目性.但由于技巧性太強,且超越了考試大綱,故在課堂教學中,教師最終展示了解答.

多維思考引領(lǐng)教學,不僅能是學習者學會學習,促進學生思維的多元化發(fā)展,同時也為學習者學會終身學習打下了夯實的基礎(chǔ).而以生態(tài)互動激活課堂的真實意義在于讓學生不再把學習看作是一件痛苦的事情,他們是課堂的主人,他們享受著學習所帶來的快樂,并同時樂于和別人去分享所學,在活動中學習,在問題中學習,透過問題,感悟數(shù)學的真諦.