基于OWA加權(quán)平均的模糊貼近度在企業(yè)管理領(lǐng)域模式識別中的應(yīng)用研究

芮利翔

[摘 要]模糊貼近度的常用方法主要包括最大最小貼近度、算術(shù)平均最小貼近度、幾何平均最小貼近度、Hamming貼近度。本文在討論模糊對稱交互熵的數(shù)值特征基礎(chǔ)上，提出模糊對稱交互熵貼近度的概念和計算公式；在討論三角模糊集及權(quán)重、正態(tài)模糊集及權(quán)重的基礎(chǔ)上，提出模糊貼近度OWA加權(quán)平均的方法。最后以企業(yè)管理領(lǐng)域的模式識別為例，應(yīng)用專家測評方法，進行被測樣本模式歸屬的實證研究。

[關(guān)鍵詞]模糊貼近度；OWA加權(quán)；模式識別

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.12.060

[中圖分類號]F279.23 [文獻標識碼]A [文章編號]1673-0194（2017）12-0-03

模糊貼近度作為一種處理客觀研究對象不確定性的數(shù)學(xué)工具，在企業(yè)管理的控制、決策、推理等多個環(huán)節(jié)中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要研究模糊貼近度在工商企業(yè)管理領(lǐng)域進行模式識別的應(yīng)用。當(dāng)一個對象在諸多樣本標準中與某一樣本標準的貼近度最大，則認為這一對象歸屬這一樣本是合理的，這就是最大貼近度原則。趙沁平對模糊集合的貼近度進行了梳理和歸納。盧國祥提出了一種基于模糊信息的距離測度，即模糊對稱交互熵，指出模糊對稱交互熵可用于模式識別。本文的創(chuàng)新之處在于對模糊對稱交互熵進行深入研究，揭示其數(shù)值的形態(tài)特征，提出模糊對稱交互熵貼近度的概念和方法，同時，提出以下的論題：本文的任務(wù)不是羅列各種模式識別的方法，得出各種模式識別的結(jié)論，而是要在各種方法的基礎(chǔ)上，綜合出一種更為合理的結(jié)論。

1 模糊貼近度

常見的模糊貼近度用以下各式進行表示。

定義1：設(shè)離散論域X={x1，x2，x3，…，xn}，?和為X上的模糊子集，∨和∧表示通常的格運算。

（1）最大最小貼近度

（1）

（2）算術(shù)平均最小貼近度

（2）

（3）幾何平均最小貼近度

（3）

（4）Hamming貼近度

（4）

2 模糊對稱交互熵貼近度

2.1 模糊對稱交互熵

盧國祥闡述了模糊對稱交互熵的定義。

定義2：設(shè)A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））為兩個模糊向量。

對于某個xi，定義μA（xi）對μB（xi）的交互熵為：

于是兩個模糊集A對B的模糊交互熵（Fuzzy Cross Entropy，F(xiàn)CE）可定義為：

（5）

上述定義的模糊交互熵（FCE）只滿足非負性，但不滿足對稱性和三角不等式。所以對其進行改進，提出如下的模糊對稱交互熵定義。

定義3：設(shè)A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））為兩個模糊向量。

F（A||B）和F（B||A）分別是A對B和B對A的模糊交互熵。由此對應(yīng)A與B的模糊對稱交互熵（Fuzzy Symmetric Cross Entropy，F(xiàn)SCE）為：

D（A||B）=F（A||B）+F（B||A）（6）

文[2]中證明了模糊對稱交互熵具有非負性、對稱性，滿足三角不等式，因此構(gòu)成兩個模糊向量的度量。這在某種意義上可以表現(xiàn)為兩個模糊向量之間的距離。當(dāng)距離較大時，可以認為其較不“貼近”或“貼近”的度量較??；當(dāng)距離較小時，可以認為其較“貼近”或“貼近”的度量較大。顯然，模糊對稱交互熵用于模式識別也是可行的，只是它的度量和貼近度的度量意義正好相反。為了使模糊對稱交互熵和貼近度在相同意義下用于模式識別，對兩者的數(shù)值特性進行比較是必要的。一個問題是模糊對稱交互熵的數(shù)值是不是和貼近度一樣滿足0≤σ≤1，下文進行一個具體的數(shù)值計算。

2.2 模糊對稱交互熵的數(shù)值討論

例1：設(shè)：A=（0.2，0.4，0.5，0.1）；B=（0.2，0.3，0.5，0.2）

同樣可計算F（B||A）=0.066，于是D（A||B）=0.1254。

這一模糊對稱交互熵正好在[0，1]，但是一般情況需要深入討論。從模糊對稱交互熵的計算公式可以看出，模糊對稱交互熵是關(guān)于兩個模糊向量的2n個隸屬度的多元函數(shù)。為了簡化討論，又不失一般性，這里僅對兩個一元互補模糊向量進行討論。

例2：設(shè)：

例3：設(shè)

從例2和例3可以看出，模糊對稱交互熵是超出[0，1]的。并且當(dāng)A的隸屬度取值在0～0.5，隸屬度趨向于0時，F(xiàn)（A||B）是增加的，隸屬度趨向于0.5時，F(xiàn)（A||B）是減少的。

定理1：設(shè)模糊向量A=（1-x），B=（x）；x∈[0，0.5]則：

（1）F（A||B）在所論區(qū)間上是遞減函數(shù)；

（2）；

（3）；

證：（1）

求導(dǎo)數(shù)

故為遞減函數(shù)。

（2）

故，

（3）代入即可。

定理2：設(shè)模糊向量A=（1-x），B=（x）；x∈[0，0.5]

則F（A||B）=F（B||A），于是D（A||B）=2F（A||B）=2F（B||A）證：

即得證明。

2.3 模糊對稱交互熵貼近度

有了上述簡明情況作為基礎(chǔ)，為了和貼近度有同樣的數(shù)值性質(zhì)，現(xiàn)定義以下的模糊對稱交互熵的貼近度變換式是合適的。

定義4：設(shè)A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））為兩個模糊向量。稱：

（7）

為模糊對稱交互熵貼近度，可記為FSCE貼近度，在本文中FSCE貼近度記為σ5（A，B）。

3 OWA加權(quán)平均

有了文中5種貼近度，可以進行5種模式識別。它們的差別表達了各種不同方法對對象和樣本之間相似狀況的各種不同視角的反映。人們似乎不必在意其間的所謂優(yōu)劣，轉(zhuǎn)而對其進行綜合處理是一種可行的方法。在處理時，可以采取抑制極端值，提升中間值的OWA加權(quán)平均方法。

3.1 三角模糊集及權(quán)重

設(shè)有模糊集合B=（b1，b2，…，bi，…，bn）

bi為第i位評分者的評分值。0≤bi≤1，i=1，2，…，n。現(xiàn)在論域U=R上建立三角模糊集

（8）

顯然，這是一個三角模糊集以為軸的對稱分布的圖形。

如，n=5，則其分布為：

（0.2， 0.6， 1， 0.6， 0.2）（9）

由于權(quán)重wi必須滿足wi∈[0，1]，

所以對（8）式進行歸一化處理，得基于三角模糊數(shù)的權(quán)重分布

（10）

由此，可得（9）式的權(quán)重分布為

（0.077 0，0.203 8，0.384 6，0.203 8，0.077 0）（11）

3.2 正態(tài)模糊集及權(quán)重

設(shè)有模糊集合B=（b1，b2，…，bi，…，bn）

bi為第i位評分者的評分值。0≤bi≤1，i=1，2，…，n現(xiàn)在論域U=R上建立正態(tài)模糊集：

（12）

其中

顯然，這是一個正態(tài)模糊集以為軸的對稱分布的圖形。

如，n=5，則其：

則其分布為：

（0.367 9，0.778 8，1，0.778 8，0.3679）（13）

對（12）式進行歸一化處理，得基于正態(tài)模糊數(shù)的權(quán)重分布：

（14）

其中，i=1，2，…，n

于是式（13）變換為：

（0.112 0，0.236 0，0.304 0，0.236 0，0.112 0） （15）

3.3 OWA加權(quán)平均

1989年美國學(xué)者Yager提出OWA算子

設(shè)F：Rn→R，如果

（16）

其中，（a1，a2，…，an）為模糊向量，w=（w1，w2，…，wn）T是權(quán)重向量，其是與F相關(guān)聯(lián)，由F所決定的。顯然，，aj∈[0，1]wj∈[0，1]，且（j=1，2，…，n）。（b1，b2，…，bn）是把（a1，a2，…，an）重新由大到小排列后得到的，其第j大的數(shù)記為bj，即bj=σ（j）。

上述的F稱為n維OWA算子。OWA算子的關(guān)鍵之處在于，要對（a1，a2，…，an）這一表示評語集的數(shù)組按大到小重新排列，而對第j大的數(shù)據(jù)bj賦予wj的權(quán)重。這里wj只與第j個位置相關(guān)，而這一位置放置的數(shù)據(jù)即為第j個大，或由大到小排列時居第j位。

第（16）式給出的加權(quán)是通常采用的（·，+）型加權(quán)。如果權(quán)重采用上述的三角模糊數(shù)型，或正態(tài)模糊數(shù)型，由于其中間位置取值較大，兩側(cè)對稱地取逐次遞減的較小的值。加權(quán)時，將使中間位置的數(shù)值得以提升，而兩側(cè)、較大、較小的值得以抑制，達到了減弱極端值在整體評價中的比重的作用。

例，在對某一指標評價中，有5位評分者，得到的評分向量為

（0.2，0.7，0.5，0.9，0.4）

按數(shù)值由大到小，重新排列后，得（0.9，0.7，0.5，0.4，0.2）

應(yīng)用（11）式所示的權(quán)向量，應(yīng)用OWA算子，所得的F值為：

（17）

bij為（a1j，a2j，a3j，a4j，a5j）依大到小，重新排列后第i大的值。即bij=σ（i）。

cj表示B與Aj的OWA綜合加權(quán)平均貼近程度。用它于模式識別具有抑制極端值，提升中間值的作用，比較科學(xué)客觀。

5 應(yīng)用實例

在工商企業(yè)管理領(lǐng)域有眾多需要進行模糊模式識別的領(lǐng)域，如產(chǎn)業(yè)集群發(fā)展模式的識別、并購中目標企業(yè)的評估、中小企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新模式的選擇、新興商業(yè)模式的評測，以及市場營銷中難以通過準確量化進行衡量的質(zhì)量判定問題等。本文試通過實例確立基于OWA加權(quán)平均的模糊貼近度在模式識別問題領(lǐng)域的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型。在管理學(xué)中常見的模式識別問題中，以A1、A2、A3、A4、A5、A6分別代表不同的標準模式；本實證研究選取各模式中最具代表性特征的Z1、Z2、Z3三個指標為測評指標；B表示待估樣本。依據(jù)專家打分取均值的方法，確立標準模式及待估樣本的指標數(shù)據(jù)，并標準化到[0，1]，從而建立模糊集合。如表2所示。

即σ5（A1，B）=0.6646

對于數(shù)據(jù)進行從大到小的排列，且采用式（11）賦予的權(quán)重，根據(jù)式（17）計算得：C1=0.7631×0.0770+0.7452×0.2038+0.69×0.3846

+0.6646×0.2038+0.5939×0.0770=0.6572

同理可求C2、C3、C4、C5、C6。

的計算結(jié)果看，樣本的OWA綜合加權(quán)平均貼近度C2最高，表示樣本與A2集合最為貼近，可以判定待估樣本為A2標準模式。表中的其他數(shù)據(jù)提供了樣本與其他標準貼近的不同情況的信息，也有價值。

6 結(jié) 語

模糊貼近度是模糊數(shù)學(xué)中的重要理論，在模糊數(shù)學(xué)以及模糊信息處理中具有重要的理論和實際意義。本文梳理了各種模糊貼近度，還在此基礎(chǔ)上提出了模糊對稱交互熵貼近度的概念和方法。并且運用OWA加權(quán)平均的方法，對5種模糊貼近度進行均衡處理，得出了較為合理的識別結(jié)果。

主要參考文獻

[1]趙沁平.模糊集合的模糊度與貼近度[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，1982（1）.

[2]盧國祥.一種基于模糊信息的距離測度及應(yīng)用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2014（1）.