夯實(shí)基礎(chǔ)，挖掘潛力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

潘楷佳

[摘 要] 對(duì)于學(xué)生，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是必不可少的. 怎么樣設(shè)計(jì)問(wèn)題才能更有效呢？這些問(wèn)題必須是能幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，挖掘潛力，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的素材. 因此，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)重視例題的選擇及呈現(xiàn)方式的設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)課；例題；開放題；數(shù)學(xué)思想

問(wèn)題的提出

裴光亞教授曾說(shuō)：“復(fù)習(xí)課是一種特殊的教學(xué)方式，如何根據(jù)復(fù)習(xí)課本身的特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生第二次學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)規(guī)律，根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯，來(lái)選擇恰當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)方法，還是一個(gè)遠(yuǎn)沒有解決的問(wèn)題”. 特別是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，重要又難上. 因?yàn)榻滩牡拇鷶?shù)、幾何知識(shí)技能是遞進(jìn)安排的，而數(shù)學(xué)思想與方法蘊(yùn)含在各個(gè)章節(jié)里，其呈現(xiàn)方式是螺旋上升的. 需要教師適時(shí)進(jìn)行歸納整合，總結(jié)提高. 可是，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有明顯的個(gè)體差異，問(wèn)題多，數(shù)學(xué)素養(yǎng)還很低，教師難以把握一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重難點(diǎn). 事實(shí)上，有效地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課也正是一線教師一直在探索的課題. 根據(jù)皮亞杰的科學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和布魯納的學(xué)科基本結(jié)構(gòu)原理，復(fù)習(xí)課模式可以由“知識(shí)聯(lián)系—正例同化—反例順應(yīng)—聯(lián)系強(qiáng)化”四個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，也可以是其他教學(xué)模式等. 但是例題如何選擇和呈現(xiàn)，才能幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)、挖掘潛力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约簩?duì)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的理解和做法.

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的現(xiàn)狀

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課按先后順序分為章節(jié)復(fù)習(xí)、階段復(fù)習(xí)（期中、期末與月考）和總復(fù)習(xí)；按知識(shí)技能可分為概念復(fù)習(xí)、原理復(fù)習(xí)、數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)與模塊復(fù)習(xí). 很多一線教師只在公開課、優(yōu)質(zhì)課評(píng)比時(shí)才精心設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課，更多的時(shí)候是采用作業(yè)講評(píng)輔導(dǎo)或以考試代替復(fù)習(xí)，講練結(jié)合，以應(yīng)付各種考試，失去了教書育人的本質(zhì).

不能調(diào)動(dòng)教師認(rèn)真上好復(fù)習(xí)課的原因是多方面的. 從學(xué)科角度看有：①工作量大. 一個(gè)數(shù)學(xué)教師一般教2個(gè)班，每周12課時(shí)，重點(diǎn)學(xué)?；蛩搅W(xué)校的數(shù)學(xué)教師帶3個(gè)班的比比皆是，成天疲于奔命. ②缺乏資源. 教學(xué)離不開解題教學(xué)，數(shù)學(xué)課也不缺題目，但能有效挖掘?qū)W生潛力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問(wèn)題沒有現(xiàn)成且適合的，需要教師把學(xué)生的問(wèn)題與教材的重難點(diǎn)知識(shí)整合在一起，形成有梯度的能彰顯數(shù)學(xué)思想的問(wèn)題. 正是因?yàn)閺?fù)習(xí)題沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，至今沒有可共享的資源庫(kù). ③教師忽視學(xué)情，缺乏問(wèn)題鉆研能力，沒有更新教學(xué)理念，總是以考試為中心，培養(yǎng)尖子生，不能做到因材施教與分層次教學(xué)等.

用新課程理念指導(dǎo)復(fù)習(xí)課的

設(shè)計(jì)

1. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）

教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式教學(xué)與因材施教.

課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生的體驗(yàn)、理解、思考與探索，呈現(xiàn)層次性與多樣性.

2. 基本學(xué)情

初中生隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、語(yǔ)言學(xué)習(xí)的深入，使用文字與符號(hào)表達(dá)的能力有一定發(fā)展. 在分析一些簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)也有了抽象思維方式的特征，已具備一定的數(shù)感、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念等. 特別是八、九年級(jí)的學(xué)生，他們對(duì)于感興趣的、具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題表現(xiàn)出很大的興趣. 但是初中生的心理很不成熟，性格未定型，不能熟練地用數(shù)學(xué)方式思考問(wèn)題，仍然屬于啟蒙階段的未成年人. 因此，在復(fù)習(xí)課上，教師需要為其提供多角度理解數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，滲透數(shù)學(xué)思想，挖掘?qū)W生的潛力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的復(fù)習(xí)

課設(shè)計(jì)

1. 初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的導(dǎo)入

人教版初中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書對(duì)每一單元的小結(jié)都安排了2～3個(gè)課時(shí)，單元復(fù)習(xí)課的安排從時(shí)間上就有了一定的彈性. 可先設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，補(bǔ)缺補(bǔ)漏，再設(shè)計(jì)鞏固提高性的問(wèn)題. 而階段復(fù)習(xí)與總復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)知識(shí)技能的鞏固時(shí)間可長(zhǎng)些. 一般來(lái)說(shuō)，復(fù)習(xí)課的導(dǎo)入通常有：①用學(xué)習(xí)任務(wù)單（安排知識(shí)點(diǎn)及鞏固性習(xí)題等）導(dǎo)入；②用類比糾錯(cuò)法、實(shí)驗(yàn)法、懸疑法等設(shè)置問(wèn)題情境導(dǎo)入，所用問(wèn)題應(yīng)容易引起學(xué)生的興趣.

2. 問(wèn)題的呈現(xiàn)方式

鑒于以上分析，初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)遵循以下原則：系統(tǒng)性原則、針對(duì)性原則、拓展性原則. 問(wèn)題的呈現(xiàn)方式應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由易到難. 內(nèi)容決定形式，盡量形式多樣，可借助多媒體工具動(dòng)態(tài)演示，也可插入微課、微視頻輔助教學(xué). 目的是調(diào)動(dòng)全體學(xué)生參與，關(guān)注學(xué)生四基（基本知識(shí)、基本技能、基本方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）的掌握情況以及情感態(tài)度的培養(yǎng)等. 其中，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.

3. 例題的選擇

復(fù)習(xí)課的例題應(yīng)突出層次性和利于通性通法的教學(xué)，設(shè)置探索性問(wèn)題、開放性問(wèn)題、拓展性問(wèn)題為宜. 具體選擇視教學(xué)目標(biāo)與蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想而定. 每一節(jié)課的例題要少而精，開始的問(wèn)題切入口要低，面向全體學(xué)生，逐步拓展深度與廣度，而每一次的拓展都要加大思維力度，拓展思維寬度. 故選擇探究性與開放性的問(wèn)題較好，它需要學(xué)生展開觀察、試驗(yàn)、類比、歸納、猜想等思維活動(dòng). 探索性問(wèn)題不僅可以促進(jìn)知識(shí)技能的掌握，而且更加有利于整體發(fā)展和思維品質(zhì)的全面提高. 開放性問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造精神、創(chuàng)造能力最有價(jià)值的問(wèn)題. 在教學(xué)內(nèi)容展開的過(guò)程中，注意生成性資源的利用，及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生，能使復(fù)習(xí)課更具有針對(duì)性與有效性，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 例題的來(lái)源

復(fù)習(xí)課的例題來(lái)源主要從3個(gè)渠道尋找，改編整合，形成開放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，設(shè)置變式訓(xùn)練，一題多解等：①來(lái)源于作業(yè)錯(cuò)題. 學(xué)生的錯(cuò)誤正是重難點(diǎn)所在，這就為教師發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、改編問(wèn)題提供了一條有針對(duì)性的途徑；②來(lái)源于課本，又高于課本，但拓展不能超越學(xué)生的認(rèn)知水平；③來(lái)源于各地中考試卷及數(shù)學(xué)刊物等. 這樣設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課例題進(jìn)行教學(xué)，就不再是簡(jiǎn)單的“知識(shí)框圖+例題”的形式，而是從學(xué)生的問(wèn)題出發(fā)，從生成和內(nèi)化的角度出發(fā)，從學(xué)生對(duì)開放題的數(shù)學(xué)思考出發(fā)，復(fù)習(xí)通性通法及數(shù)學(xué)思想了.

例證1 二元一次方程組的復(fù)習(xí).

現(xiàn)有含鹽15%的鹽水20克，含鹽40%的鹽水15克，另有足夠多的鹽和水，要配制成含鹽20%的鹽水30克. （1）試設(shè)計(jì)多種方案；（2）如果要求盡可能多地使用現(xiàn)有鹽水，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)配制方案？

說(shuō)明：本題是一個(gè)過(guò)程和結(jié)論都開放的習(xí)題，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力的培養(yǎng)都很有意義. 人教版初一學(xué)生沒有學(xué)過(guò)濃度，故應(yīng)先向?qū)W生解釋“含鹽15%”的含義是“平均每一克鹽水里有鹽0.15克”，以啟迪思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

第（1）小題，直覺上有多種方案可供學(xué)生探究交流討論；第（2）小題，若設(shè)含鹽15%的鹽水x克，含鹽40%的鹽水y克，則x=24，y=6，但x=24>20是不切實(shí)際的，那么怎么設(shè)合理呢？上面不合理的x值告訴了學(xué)生：含鹽15%的鹽水都不夠用了，可見含鹽15%的鹽水要全部用上，再配上其他.

例證2 復(fù)習(xí)一次函數(shù)概念與性質(zhì).

原題：已知y=（m-1）xm2-2m+8是y關(guān)于x的一次函數(shù)，求m的值.

變式1：已知y=（m-1）x-2m+8是y關(guān)于x的一次函數(shù)，圖像過(guò)一、二、四象限，求m的取值范圍.

變式2：已知y=（m-1）x-2m+8是y關(guān)于x的一次函數(shù)，且1

變式3：已知y=（m-1）x-2m+8是y關(guān)于x的一次函數(shù)，且m<1，此時(shí)y隨著x的增大怎樣變化？

變式4：已知y=（m-1）x-2m+8是y關(guān)于x的一次函數(shù)，你能添加適當(dāng)?shù)臈l件，求出它的解析式嗎？

說(shuō)明：這是一組變式訓(xùn)練，很多資料上都能見到. 其中變式4是一個(gè)開放題：當(dāng)x=2時(shí)，y恒為6，因此，函數(shù)y=（m-1）x-2m+8的圖像是過(guò)定點(diǎn)（2，6）的直線族. 學(xué)生只要不是添加m=1或x=2就容易得出函數(shù)解析式. 因此，此類題有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

案例：人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)

下“第27章 相似”專題復(fù)習(xí)

1. 探究過(guò)程的設(shè)計(jì)

探究1：如圖1，已知銳角三角形ABC，畫2個(gè)不同位置的三角形，分別與△ABC相似. 畫一畫，比一比.

設(shè)計(jì)意圖 這是一個(gè)開放性問(wèn)題，面向全體學(xué)生. 切入口低，學(xué)生興趣高. 構(gòu)造相似三角形，用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、位似法與截取法等都容易做到. 只要能畫出來(lái)即可，不必做得很準(zhǔn)確. 主要是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、推理能力、動(dòng)手與合作交流的情感態(tài)度.

探究2：如圖2，在四邊形ABCD中， ∠B=∠C=90°，AB=2，BC=8，DC=5，在BC上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△PCD相似？

（1）若存在，試求出BP長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若存在點(diǎn)P，你能用畫圖的方法找到P點(diǎn)的位置嗎？試一試，小組討論一下.

追問(wèn)1：假設(shè)存在點(diǎn)P使這兩個(gè)三角形相似，但并沒有指出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，怎么辦？

追問(wèn)2：假設(shè)存在點(diǎn)P使這兩個(gè)三角形相似，點(diǎn)P的位置可以用BP的長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)明，由此就可以設(shè)BP=x，但x的值能不能求出呢？

追問(wèn)3：能不能用畫圖的方法準(zhǔn)確找出點(diǎn)P呢？因?yàn)榉诸惲耍砸謩e思考畫圖的方法.

（1）當(dāng)△ABP ∽ △DCP時(shí)，有∠APB=∠DPC，點(diǎn)P的位置如何作出呢？畫一畫（如圖3）.

（2）當(dāng)△ABP∽△PCD時(shí)，有∠APB+∠DPC=90°，從而∠APD=90°，由此，你能想到點(diǎn)P的畫法嗎？畫一畫（如圖4）.

說(shuō)明：此題還可以變式為∠B=∠C，不是直角梯形了，其他條件不變，是否還有這樣的相似三角形存在？

設(shè)計(jì)意圖 此題來(lái)源于作業(yè)，是自己改編的一個(gè)拓展性問(wèn)題. 用代數(shù)計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生普遍感到困難或解答不全面. 題目并沒有指出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，需分類討論，同時(shí)，對(duì)存在性問(wèn)題的一個(gè)普遍思路是假設(shè)法，學(xué)生也不適應(yīng). 本題BP=，4±的三個(gè)結(jié)果不是整數(shù)，不便于作圖，而用圓和軸對(duì)稱找出三個(gè)P點(diǎn)的位置，學(xué)生有很大困難，這里進(jìn)行了層層點(diǎn)撥. 通過(guò)此題的學(xué)習(xí)，以期培養(yǎng)學(xué)生的探究興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，啟迪學(xué)生的思維.

2. 課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)

如圖5，矩形ABCD的邊AB=4，BC=8，在BC上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△PCD相似？

（1）若存在這樣的點(diǎn)P，能找出幾個(gè)？

（2）若存在點(diǎn)P，則△ABP與△ADP是否也相似？

教學(xué)反思

東北師范大學(xué)教授史寧中2017年在教師繼續(xù)教育網(wǎng)上說(shuō)：“今后的教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)應(yīng)遵循4個(gè)原則：①不要求計(jì)算速度；②監(jiān)測(cè)內(nèi)容中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)素養(yǎng)；③應(yīng)當(dāng)有一道開放題；④關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.”這就是說(shuō)，新一輪基礎(chǔ)教育課程改革，既要面向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，又要面向中高考的評(píng)價(jià)和選拔. 而教學(xué)的最后任務(wù)就落在復(fù)習(xí)課上.

復(fù)習(xí)課是學(xué)生的第二次學(xué)習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知水平參差不齊，所以，復(fù)習(xí)課上應(yīng)強(qiáng)調(diào)通性通法的解題復(fù)習(xí)、問(wèn)題學(xué)生的補(bǔ)缺補(bǔ)差、數(shù)學(xué)思想的再次滲透，既夯實(shí)基礎(chǔ)又挖掘潛力. 特別地，中考前的復(fù)習(xí)課還應(yīng)幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的心態(tài)與各種考試策略. 因初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問(wèn)題意識(shí)、獨(dú)立意識(shí)、探究能力等還不強(qiáng)，故初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)要精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，點(diǎn)面結(jié)合，兼顧全體和個(gè)體差異. 當(dāng)然數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)也要注意細(xì)節(jié)和進(jìn)行一定量的習(xí)題訓(xùn)練.

教師在平時(shí)的教學(xué)工作中應(yīng)注意積累素材，以能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為抓手去篩題、編題，梳理教材和學(xué)生錯(cuò)誤，并善于發(fā)現(xiàn)且利用好生成性資源. 在課堂教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，探究問(wèn)題、解決問(wèn)題，才能幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)、挖掘潛力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 另外，教師不僅要面向中考，更要有課題研究的精神，吃透新課標(biāo)，才能得心應(yīng)手地上好初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課.