含根式遞推數(shù)列的求解策略

廣東省梅州市梅縣區(qū)高級(jí)中學(xué) (514011) 梁 奮

含根式遞推數(shù)列的求解策略

廣東省梅州市梅縣區(qū)高級(jí)中學(xué) (514011) 梁 奮

在各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)含有根式的遞推數(shù)列的試題，這類題往往結(jié)構(gòu)復(fù)雜，方法多變而成為競(jìng)賽的難點(diǎn)，本文對(duì)此類題作一些探究和分析.

1.配方

2.換元

例2 (2009全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東預(yù)賽)

評(píng)注:本題表面上看和例1差不多，但仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)利用配方法不湊效，對(duì)根式進(jìn)行整體換元，問(wèn)題便化為一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題，也就迎刃而解.

3 平方

(1)證明:數(shù)列{an}是正整數(shù)數(shù)列;

(2)是否存在m∈N*,使得2015|am,并說(shuō)明理由.

(2)略

評(píng)注：處理根式的最直接的方式就是平方，例3、例4很好的體現(xiàn)了這一點(diǎn).去除根號(hào)后，可用因式分解或韋達(dá)定理化為二階常系數(shù)線性遞推式，進(jìn)而求解.

4 取對(duì)數(shù)

評(píng)注:運(yùn)用取對(duì)數(shù)的方法，可將含有指數(shù)式或根式的遞推式化為一階線性遞推式.

5.變形

所以通項(xiàng)公式

6 先猜后證

A.1B.2C.5D.6

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=5×21-1+1=6，命題成立;

評(píng)注:通過(guò)猜想歸納得出數(shù)列通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，是解決遞推數(shù)列問(wèn)題的一種常用手法，也是探究新知的一種重要手段.

通過(guò)以上幾例，我們發(fā)現(xiàn)含根式遞推數(shù)列的求解，關(guān)鍵在于通過(guò)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題.因此，在探究問(wèn)題的過(guò)程中，我們要認(rèn)真細(xì)致觀察，大膽探索，并找出恰當(dāng)?shù)姆椒?，使?wèn)題得到圓滿的解決.