數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)的實(shí)踐策略

高 娟

數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)的實(shí)踐策略

高 娟

類化和內(nèi)化是數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)的兩種實(shí)踐策略。學(xué)習(xí)是以一定的經(jīng)驗(yàn)和知識為前提，在知識聯(lián)結(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。本文中的聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)將學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在聯(lián)系同學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生獲得更高效的學(xué)習(xí)經(jīng)歷與體驗(yàn)。

聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)；實(shí)踐策略；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

人們的學(xué)習(xí)總是以一定的經(jīng)驗(yàn)和知識為前提，在聯(lián)想的基礎(chǔ)上理解和掌握新知的，這里的聯(lián)想即為知識的聯(lián)結(jié)。

聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)認(rèn)為學(xué)習(xí)存在一個(gè)認(rèn)知過程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新組合。它既強(qiáng)調(diào)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用，也強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在聯(lián)系，把有內(nèi)在聯(lián)系的材料和學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)起來，新舊知識發(fā)生作用，從而將新材料在學(xué)生的頭腦中達(dá)成“內(nèi)化”。

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，也是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育者既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)所需要的數(shù)學(xué)知識和技能，更要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。事實(shí)上無論是數(shù)學(xué)知識的形成、數(shù)學(xué)技能的掌握，還是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，都是學(xué)習(xí)者由未知到已知、將已知重組內(nèi)化的聯(lián)結(jié)過程?；跀?shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生生成網(wǎng)絡(luò)狀的知識結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生擁有充分思考的空間，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。如何達(dá)到上述目標(biāo)呢？筆者以為類化和內(nèi)化是數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)的實(shí)踐策略。

一、類化：形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橫向遷移

類化主要是將同類問題間的聯(lián)系通過相同的解決方式聯(lián)結(jié)到一起，通過比較可以歸納求同，把握共同規(guī)律，掌握基本概念；在此基礎(chǔ)上深入理解，發(fā)散求異，發(fā)展創(chuàng)新，理解共性和個(gè)性的關(guān)系，從而讓學(xué)生能更有效地解決問題，更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

1.舉一反三，建構(gòu)知識體系。

子曰:“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也?！边@種典型的啟發(fā)式教學(xué)，可以刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性。學(xué)生可以從預(yù)習(xí)、上課、復(fù)習(xí)這三個(gè)過程中借助“三思”（思方法、思?xì)w類、思多解），對所學(xué)知識進(jìn)行舉一反三，找到新舊知識間的聯(lián)系，加深對知識的理解，形成自己的學(xué)習(xí)技能，從而發(fā)展自己的智力，培養(yǎng)解決問題的能力。

例如在教學(xué) “借助三角函數(shù)特值求三角形面積”時(shí)，教師可以首先提供如下例題。

圖1

圖2

生：三角形的底和相應(yīng)底邊上的高。以AB為底，如圖2過點(diǎn)C作AB邊上的高，垂足為D。

師：高CD怎么求？△ABC的面積是？

生：因?yàn)椤螦=30°，所以 CD=AC·sinA，S△ABC=

圖3

在解決好上面的例題后，再提供如下3個(gè)變式。

圖4

圖5

這里設(shè)計(jì)的幾個(gè)變式，題目的條件從已知兩邊夾一銳角變到已知兩邊夾一鈍角，再變到已知兩邊和一角（不是夾角），問題都是求三角形面積。同例題相似，都需要借助特殊角的三角函數(shù)值來解決問題。這些變式促進(jìn)了學(xué)生解決三角形面積問題的知識體系的構(gòu)建。

2.“意義”聯(lián)想，促進(jìn)知識遷移。

聯(lián)想是思維的一種特殊形式，一般情況下我們很容易從“形”方面對一個(gè)事物進(jìn)行聯(lián)想，如果能從其本質(zhì)，即“意義”方面對事物進(jìn)行聯(lián)想，對學(xué)生思維更高層次的鍛煉有著特別重要的作用。這樣能夠較快地幫助學(xué)生理解新知、接受新知并且熟練地運(yùn)用新知。

例如，學(xué)生在初中階段，已經(jīng)正式開始學(xué)習(xí)幾何。很長一段時(shí)間，很多學(xué)生都不能找到幾何入門的技巧。但學(xué)生對數(shù)與代數(shù)的知識已經(jīng)非常熟悉了，我們可以借助數(shù)與代數(shù)的思想方法，解決學(xué)生幾何學(xué)習(xí)入門難的問題。

圖6

在教學(xué)“垂直證明”的內(nèi)容時(shí)有一道例題:如圖 6，OD平分角∠AOC，OE平分∠BOC，判斷OD、OE的位置關(guān)系。

解決此問題的過程中，我們可以這樣聯(lián)想:將這些“角”之間的關(guān)系聯(lián)想為“數(shù)”之間的關(guān)系，并借助加減乘除運(yùn)算將“數(shù)”之間的關(guān)系表示出來，這樣可以幫助學(xué)生清晰地理解“角”之間的關(guān)系。

雖然這道題目很簡單，但是對于初一剛接觸幾何的學(xué)生來說，他們很難理解，并且很難將其中的關(guān)系搞懂。但學(xué)生接觸代數(shù)知識較多，無形中早已培養(yǎng)了符號化、形式化、結(jié)構(gòu)化和操作化四個(gè)方面的意識。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何的過程中若能借助這四種意識，對幾何知識進(jìn)行“意義”聯(lián)想，將代數(shù)知識遷移到幾何問題中，便可解決幾何學(xué)習(xí)入門難的問題。

二、內(nèi)化：聯(lián)結(jié)性學(xué)習(xí)形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的縱向遷移

學(xué)習(xí)是一個(gè)內(nèi)化的過程，在多維互動(dòng)中內(nèi)化建構(gòu)，需要思考“學(xué)”的策略和“學(xué)”的方法；需要運(yùn)用智慧將知識進(jìn)行升華，并學(xué)會(huì)在總結(jié)中不斷內(nèi)化知識，尋找知識的根本。這樣將知識進(jìn)行重組構(gòu)建新的知識體系，不僅可以幫助學(xué)生找到問題的本質(zhì)，還可能在其過程中得到意想不到的結(jié)果，使學(xué)生的學(xué)習(xí)思維得到深度的發(fā)展。

1.循環(huán)建構(gòu)，催生數(shù)學(xué)思維。

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程一般分為四個(gè)環(huán)節(jié):自主定向、嘗試學(xué)習(xí)、反思學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，反思學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)即是對知識進(jìn)行循環(huán)內(nèi)化的過程。循環(huán)建構(gòu)主要是將已經(jīng)掌握的知識與新知聯(lián)系到一起，形成一張知識網(wǎng)絡(luò)圖，在這樣建構(gòu)的過程中對新舊知識進(jìn)行一種再認(rèn)識、升華的過程，以此加深學(xué)生的理解，讓學(xué)生能更好地學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)，從而催生學(xué)生數(shù)學(xué)思維的種子。

例如在教學(xué)“一元二次方程”時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生回想學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程組的過程。

師：通過一元一次方程、二元一次方程組的學(xué)習(xí)，我們知道在學(xué)習(xí)方程問題時(shí)將經(jīng)歷幾個(gè)階段？

生：認(rèn)識方程、解方程、用方程解決問題三個(gè)階段。

師：那學(xué)習(xí)一元二次方程同樣要經(jīng)歷幾個(gè)階段呢？

生：認(rèn)識方程、解方程、用方程解決問題三個(gè)階段去學(xué)習(xí)。

師：我們又該如何去解一元二次方程呢？

生：可以借助解二元一次方程組的思想，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

雖然上面的案例比較抽象，但這樣一個(gè)過程，其實(shí)可以讓學(xué)生認(rèn)識到幾種方程之間的聯(lián)系。通過這樣一個(gè)循環(huán)認(rèn)知的過程讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要想解決未知的問題可以轉(zhuǎn)化為已知的知識去解決，從而催生學(xué)生解決問題的思維。

2.追根尋底，激發(fā)數(shù)學(xué)思維。

教師經(jīng)常會(huì)說:這個(gè)題目我都講過四五遍了，他們還是不會(huì)。學(xué)生也常有這樣的感覺:明明老師講的時(shí)候我確實(shí)聽明白了，怎么遇到了相同題目時(shí)又不會(huì)做了呢？其實(shí)說到底，是沒有認(rèn)識到問題的本質(zhì)，那怎樣才能理解問題的本質(zhì)呢？“追根尋底”是解決這一現(xiàn)象的方法?！白犯鶎さ住敝饕峭ㄟ^對問題或者知識點(diǎn)層層剝皮，讓學(xué)生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

例如在教學(xué)設(shè)計(jì)“一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式”時(shí)，可以設(shè)計(jì)如下的情景，開展教學(xué)活動(dòng)。

一根彈簧長為2cm，一端固定，另一端掛物。在彈簧伸長后的長度不超過8cm的限度內(nèi)，設(shè)所掛物體的質(zhì)量為xg，彈簧長度為ycm。

活動(dòng)一：

（1）請你測量一下所掛物體質(zhì)量為50g、100g、150g、200g時(shí)彈簧的長度，并完成下列表格。

?

（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)的規(guī)律列出物體質(zhì)量xg、彈簧長度ycm的函數(shù)表達(dá)式 。

（3）在以x為橫軸、y為縱軸的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像。

活動(dòng)二：

（1）當(dāng)所掛物體質(zhì)量x=230時(shí)，你能測量出彈簧的長度嗎？如果不能，彈簧的長度能算出來嗎？怎么算？

（2）如果給你一個(gè)物體，你能否借助手中的彈簧拉力器算出物體的質(zhì)量？（從表格、表達(dá)式、圖像三方面理解）

活動(dòng)三：

（1）如果勾碼不斷掛下去，彈簧可以不斷伸長嗎？

（2）彈性限度范圍內(nèi)彈簧長度y（cm）滿足什么條件？所掛物體的質(zhì)量呢？你是怎么得到的？（從表格、表達(dá)式、圖像三方面理解）

通過前面的活動(dòng)，將一元一次方程與一元一次不等式與函數(shù)的三種表達(dá)方式作比較。以層層遞進(jìn)的方式，讓學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)，從而在本質(zhì)上幫助學(xué)生理解函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式三者間的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)是刻畫一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系；方程是刻畫一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中的瞬間情況；不等式刻畫的是一個(gè)變化過程中，某一段的情況。從根本上解決了這三種式子之間的關(guān)系，讓學(xué)生以后再遇到類似問題時(shí)可以快速解決。同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生解決問題的思維。

總之，不管是“類化”還是“內(nèi)化”，數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)遵循數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)結(jié)方式，遵循學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在規(guī)律，提供給學(xué)生 “學(xué)習(xí)的動(dòng)力”，促進(jìn)學(xué)生的思維向更深處發(fā)展，從而提升學(xué)生問題解決的能力。

G633.6

A

1005-6009（2017）35-0038-03

高娟，江蘇省淮安工業(yè)園區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇淮安，223008）教師，一級教師。