基于PSO算法的加速度計(jì)標(biāo)定研究及應(yīng)用
——以江坪河水電站面板撓度監(jiān)測(cè)為例

祁 志 君，蔡 德 所，陳 聲 震，散 劍 娣

(三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

0 引 言

大壩變形監(jiān)測(cè)是了解大壩運(yùn)行狀況的重要措施，壩體變形的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)需要依賴(lài)高精度的監(jiān)測(cè)儀器。傳統(tǒng)的大壩變形監(jiān)測(cè)常使用固定式斜側(cè)儀及水管式沉降儀，但是其“以點(diǎn)代面”的監(jiān)測(cè)方式已不能滿足現(xiàn)代監(jiān)測(cè)要求[1-3]。新型監(jiān)測(cè)手段有：基于光纖陀螺儀的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)和基于三軸MEMS加速度計(jì)的磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)[4]。這兩套系統(tǒng)均為全分布式監(jiān)測(cè)，能得到連續(xù)的壩體面板撓度曲線，已在水布埡、江坪河等水電站高面板堆石壩中成功應(yīng)用。

磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的核心部件——三軸MEMS加速度計(jì)的性能指標(biāo)與其誤差源相關(guān)[5-6]，而誤差源系數(shù)受MEMS加速度計(jì)的使用次數(shù)、存放時(shí)間影響。因此使用前或放置一段時(shí)間后需對(duì)MEMS加速度計(jì)進(jìn)行標(biāo)定[7-8]。為了使標(biāo)定效果更好，本文基于粒子群優(yōu)化算法，改進(jìn)算法中的慣性權(quán)重后用于加速度計(jì)標(biāo)定，并與迭代最小二乘法標(biāo)定結(jié)果對(duì)比，將標(biāo)定后的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)應(yīng)用到江坪河大壩面板撓度變形監(jiān)測(cè)。

1 加速度計(jì)快速標(biāo)定原理

若將三軸MEMS加速度計(jì)的模型合在一起寫(xiě)成矢量的形式，得：

(1)

(2)

(3)

fb=KANA-f0-δa

(4)

而根據(jù)模觀測(cè)標(biāo)定原理可知：

(5)

式(5)表明，靜態(tài)條件下，無(wú)論慣測(cè)組合處于什么姿態(tài)，加速度的測(cè)量模都是已知的(等于當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭的大小)。

將加速度計(jì)標(biāo)定參數(shù)模型(4)代入式(5)得：

|fb|=|KANA-f0-δa|=|-g|=g

(6)

兩邊平方，整理得：

g2=|fb|2=(KANA-f0-δa)T(KANA-f0-δa)

(7)

式(7)是單個(gè)關(guān)于加速度計(jì)待標(biāo)定參數(shù)的非線性方程，多個(gè)靜態(tài)位置的觀測(cè)可以組成非線性方程組，利用非線性方程組構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

(8)

式中：θa為待標(biāo)定參數(shù)，θa=[KAf0]；J為標(biāo)定時(shí)靜態(tài)測(cè)試的位置數(shù)。此時(shí)非線性方程組的求解問(wèn)題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)全局優(yōu)化問(wèn)題[9]，通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)即可得到待標(biāo)定參數(shù)。

2 PSO算法描述及計(jì)算流程

粒子群優(yōu)化(PSO)算法是由肯尼迪(Kennedy)與埃伯·哈特(Eberhart)兩位學(xué)者提出的一種智能群體進(jìn)化算法[10-11]。粒子群算法通過(guò)個(gè)體間的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間中最優(yōu)解的搜索。該算法中，粒子在解空間中運(yùn)動(dòng)，所有粒子不斷調(diào)整自己的速度和位置[12]。每一次迭代過(guò)程中，粒子跟蹤兩個(gè)“極值”來(lái)更新自己的速度和位置：一個(gè)是粒子本身找到的最優(yōu)解；另一個(gè)是整個(gè)種群的全局最優(yōu)解，粒子速度和位置更新方程如下[13]。

(9)

(10)

粒子群優(yōu)化算法的原理簡(jiǎn)單、編程容易實(shí)現(xiàn)，因此自提出以來(lái)，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都對(duì)其非常關(guān)注，并致力于其算法的研究和應(yīng)用。但該算法本身也具有局限性：對(duì)于復(fù)雜的高維多峰函數(shù)或參數(shù)選擇不合適時(shí)，局部搜索能力有限，搜索步幅過(guò)大，導(dǎo)致算法的收斂精度不髙等。針對(duì)以上幾種缺點(diǎn)，學(xué)者們從多方面對(duì)粒子群優(yōu)化算法提出了改進(jìn)[14-16]，但多數(shù)改進(jìn)都只停留在算法測(cè)試階段，并未真正應(yīng)用到實(shí)際工程。本文針對(duì)該算法的慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用于江平河大壩面板撓度測(cè)量。PSO算法的流程如圖1所示，直到結(jié)果達(dá)到最小誤差要求或最大迭代次數(shù)時(shí)，結(jié)束循環(huán)并輸出最優(yōu)值。

3 慣性權(quán)重測(cè)試分析

3.1 慣性因子設(shè)計(jì)

慣性因子w是PSO優(yōu)化算法中的重要參數(shù)，其作用為控制搜索范圍，通過(guò)設(shè)置慣性因子可平衡全局搜索與局部開(kāi)發(fā)的關(guān)系。一般慣性權(quán)重的范圍在0.4～0.9之間。w越大，算法的搜索范圍越大，提高全局搜索能力，但損失局部搜索能力；w越小，搜索速度越慢，但搜索細(xì)致，容易陷入局部最優(yōu)。因此，為了在粒子群全局內(nèi)尋找最優(yōu)解，很多學(xué)者對(duì)慣性因子w的選取進(jìn)行了改進(jìn)，本文的慣性權(quán)重選取策略如下。

(1) 固定常數(shù)：

w1=0.4

(11)

(2) 線性遞減策略：

w2=wmax-(wmax-wmin)t/T

(12)

(3) 非線性遞減策略：

w3=wmin+(wmax-wmin)·rand()

(13)

(4) 帶控制因子的非線性策略：

w4=(wmax-wmin-d1)exp{1/[1+d2(t/T)]}

(14)

在這4種慣性權(quán)重的函數(shù)表達(dá)式中：wmax=0.9，wmin=0.4，最大迭代次數(shù)T= 100，rand()為[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)。

3.2 測(cè)試與分析

為尋找最適合加速度計(jì)待標(biāo)定參數(shù)的非線性方程的慣性權(quán)重方法，選用3個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行仿真測(cè)試，用來(lái)測(cè)試算法的收斂速度和得到最優(yōu)值的精度。

(1) Sphere函數(shù)，該函數(shù)是非線性、對(duì)稱(chēng)、平滑的單峰函數(shù)，可以找到一個(gè)全局最優(yōu)解，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于求解。其表達(dá)式為

(15)

式中：xi∈(-100，100)；f(x)min=f(0，0，…0)=0。

(2) Schwefel函數(shù)，此函數(shù)是一個(gè)單峰函數(shù)，但函數(shù)中存在累乘項(xiàng)，尋求最優(yōu)值較難。其表達(dá)式為

(16)

式中：xi∈(-10，10)；f(x)min=f(0，0，…0)=0。

(3) Rosenbrock函數(shù)，此函數(shù)是非對(duì)稱(chēng)、很難極小化的典型病態(tài)二次函數(shù)，找到全局最優(yōu)的機(jī)會(huì)很小。其表達(dá)式為

(17)

式中：xi∈(-40，40)；f(x)min=f(1，1，…1)=0。

其他參數(shù)不變，改變不同慣性權(quán)重w，獨(dú)立運(yùn)行3個(gè)測(cè)試函數(shù)，得到算法尋優(yōu)的最優(yōu)值見(jiàn)表1，平均最優(yōu)值見(jiàn)表2，方差見(jiàn)表3，運(yùn)行時(shí)間見(jiàn)表4，其運(yùn)行過(guò)程見(jiàn)圖2～4。

表1 不同慣性權(quán)重情況下不同測(cè)試函數(shù)輸出最優(yōu)值Tab.1 Optimal output values of dfferent testing functions under different inertia weights

表2 不同慣性權(quán)重情況下不同測(cè)試函數(shù)輸出平均最優(yōu)值Tab.2 Average output optimal values of different testing functions under different inertia weights

表3 不同慣性權(quán)重情況下不同測(cè)試函數(shù)輸出方差Tab.3 Variance of different testing functions with different inertia weights

表4 不同慣性權(quán)重情況下不同測(cè)試函數(shù)運(yùn)行時(shí)間Tab.4 Running time of different testing functions with different inertia weights s

由圖2～4和表1～4可得：3種測(cè)試函數(shù)下，線性遞減權(quán)重策略前期快速搜索，后期精細(xì)搜索，其收斂精度優(yōu)于其他慣性權(quán)重方法。因此，用該策略對(duì)PSO算法的固定權(quán)重w進(jìn)行改進(jìn)。其計(jì)算公式即公式(12)。

通過(guò)不斷地迭代和更新，當(dāng)滿足迭代終止條件或達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)各粒子收斂于最優(yōu)值附近，即增益因子系數(shù)獲得了最優(yōu)解。

4 加速度計(jì)標(biāo)定結(jié)果分析

加速度計(jì)有12個(gè)待標(biāo)定參數(shù)，分別為加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)K11，K22，K33，加速度計(jì)等效安裝誤差系數(shù)K12，K13，K21，K23，K31，K32和加速度計(jì)常值零偏Dax，Day，Daz。要完全激勵(lì)出所有參數(shù)至少在12個(gè)不相關(guān)的位置進(jìn)行觀測(cè)[17]，位置編排如表5所列，其中X，Y，Z為加速度計(jì)的3個(gè)測(cè)量軸。

表5 加速度計(jì)12個(gè)位置編排方案Tab.5 Twelve-position layout scheme of accelerometer

在加速度計(jì)的標(biāo)定優(yōu)化中，算法的參數(shù)設(shè)置為：粒子種群規(guī)模N=500；粒子維數(shù)D=12；學(xué)習(xí)因子c1=c2=2；迭代步數(shù)100步。

按照標(biāo)定方案進(jìn)行加速度計(jì)標(biāo)定，為了驗(yàn)證改進(jìn)慣性權(quán)重的PSO算法(NPSO)對(duì)加速度計(jì)標(biāo)定的優(yōu)越性，將標(biāo)定結(jié)果與迭代的最小二乘法標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表6所列，標(biāo)定前后加速度計(jì)三軸的輸出對(duì)比如表7所列。

表6 兩種算法標(biāo)定結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of calibration results of two algorithms

表7 標(biāo)定前后的加速度計(jì)三軸輸出對(duì)比Tab.7 Comparison of the three-axis output of the accelerometer before and after calibration mg

由表7可知，經(jīng)過(guò)迭代最小二乘法標(biāo)定后，輸出值分別為998.128，-0.042 3，0.035 8 mg；而粒子群優(yōu)化算法標(biāo)定后輸出值為999.876，0.01，0.012 mg；與真值1 000，0，0 mg更加接近。相對(duì)于迭代最小二乘法，粒子群優(yōu)化算法標(biāo)定后的加速度計(jì)三軸的誤差分別降低了93.4%，76.4%和66.5%。說(shuō)明使用粒子群優(yōu)化算法后，可以有效提高三軸MEMS加速度計(jì)的精度。

5 工程應(yīng)用結(jié)果分析

5.1 工程概況

江坪河水電站位于湖北省恩施土家族苗族自治州鶴峰縣走馬鎮(zhèn)，是溇水干流規(guī)劃建設(shè)5個(gè)梯級(jí)電站中的龍頭電站。電站大壩為高219 m的面板堆石壩，壩體上游面板鋪設(shè)有2條特殊管道，分別布設(shè)在L0+005.0斷面和L0+062.6斷面。

2021年07月22日，用磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)L0+062.6面板進(jìn)行了第18次全程監(jiān)測(cè)。管道全長(zhǎng)266.8 m，監(jiān)測(cè)當(dāng)天壩前蓄水高程458.84 m。

5.2 結(jié)果分析

現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采集時(shí)，為了進(jìn)一步驗(yàn)證PSO算法對(duì)加速度計(jì)標(biāo)定在工程實(shí)踐中的可行性和優(yōu)越性，使用未標(biāo)定組和標(biāo)定組的磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)同一管道進(jìn)行監(jiān)測(cè)，每組運(yùn)行兩次。兩次監(jiān)測(cè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)撓度差值對(duì)比見(jiàn)表8，未標(biāo)定組兩次監(jiān)測(cè)撓度曲線對(duì)比見(jiàn)圖5，標(biāo)定組兩次監(jiān)測(cè)撓度曲線對(duì)比見(jiàn)圖6。

表8 兩組關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)撓度差值對(duì)比Tab.8 Comparison of the deflection difference between the two key nodes

從圖5～6可知，用PSO算法進(jìn)行加速度計(jì)標(biāo)定后的磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)輸出更加穩(wěn)定，數(shù)據(jù)波動(dòng)更小。從表8可知標(biāo)定組平均差值明顯小于未標(biāo)定組平均差值。如關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)160 m處未標(biāo)定組兩次監(jiān)測(cè)差值為-12.6 mm，標(biāo)定組兩次監(jiān)測(cè)差值僅為-0.4 mm。為進(jìn)一步驗(yàn)證標(biāo)定效果，課題組使用高精度的光纖陀螺監(jiān)測(cè)系統(tǒng)(FOG)在同一管道進(jìn)行測(cè)量，將FOG監(jiān)測(cè)結(jié)果與標(biāo)定組監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，各組監(jiān)測(cè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)比見(jiàn)表9，面板撓度曲線對(duì)比見(jiàn)圖7。

表9 L0+062.6關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)撓度差值Tab.9 Deflection difference at key node L0+062.6

從圖7可知，兩組系統(tǒng)的面板撓度曲線一致性較好，最大面板撓度值均出現(xiàn)在面板1/3至1/2處，符合一般面板變形規(guī)律，標(biāo)定組的最大面板撓度值(314.2 mm)與光纖組的最大面板撓度值(318.8 mm)相差僅4.6 mm。由于兩組系統(tǒng)運(yùn)行軌跡不可能完全一樣，以及各系統(tǒng)本身存在一定誤差，此精度完全滿足監(jiān)測(cè)要求。從表9可知兩組的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)面板撓度絕對(duì)差值都不超過(guò)10 mm，說(shuō)明基于PSO算法的加速度計(jì)標(biāo)定對(duì)磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的優(yōu)化效果明顯，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可靠，輸出更加穩(wěn)定。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文從工程實(shí)際需要的角度出發(fā)，基于粒子群優(yōu)化算法，進(jìn)行慣性權(quán)重測(cè)試分析，有效避免了算法本身的不足。并基于該算法進(jìn)行了加速度計(jì)標(biāo)定對(duì)比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：基于PSO算法的加速度計(jì)標(biāo)定輸出效果更好，更加接近真實(shí)值。在實(shí)際工程應(yīng)用中，將標(biāo)定的磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)與未標(biāo)定的磁慣導(dǎo)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)、FOG監(jiān)測(cè)系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果對(duì)比，結(jié)果表明標(biāo)定的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)數(shù)據(jù)可靠、輸出更加穩(wěn)定、精度滿足工程測(cè)量需求，拓展了PSO算法的應(yīng)用領(lǐng)域，驗(yàn)證了PSO算法應(yīng)用于實(shí)際工程的可行性和優(yōu)越性。隨著PSO算法的不斷優(yōu)化，憑借算法本身的普適性，未來(lái)必定會(huì)在更多的領(lǐng)域得以應(yīng)用。