基于交叉耦合結(jié)構(gòu)的輪廓控制器設(shè)計(jì)*

基于交叉耦合結(jié)構(gòu)的輪廓控制器設(shè)計(jì)*

盛賢君，許才，張亞鵬

(大連理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧大連116024)

針對工業(yè)控制中常出現(xiàn)的雙軸伺服系統(tǒng)輪廓控制問題，在分析典型曲線軌跡輪廓誤差的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種具有位置閉環(huán)反饋和軸間協(xié)調(diào)控制器的交叉耦合控制(CCC)結(jié)構(gòu)。通過CCC結(jié)構(gòu)進(jìn)行輪廓誤差估計(jì)，利用輪廓誤差分配系數(shù)把估計(jì)值補(bǔ)償?shù)礁魉欧S上以實(shí)現(xiàn)精確輪廓控制，并給出了基于輪廓誤差傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性分析。在X-Y雙軸平臺上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明:與傳統(tǒng)非耦合情況相比，交叉耦合控制結(jié)構(gòu)下的輪廓誤差在平均值，最大值和均方根值減小了63.01%，56.28%和62.07%。

輪廓控制;交叉耦合控制;輪廓誤差估計(jì);雙軸伺服系統(tǒng)

0 引言

輪廓精度是決定工件表面質(zhì)量的最重要指標(biāo)之一，為提高輪廓精度需對系統(tǒng)進(jìn)行輪廓控制。輪廓控制廣泛應(yīng)用于表面加工、激光切割等設(shè)備中，在現(xiàn)代加工制造中占有舉足輕重的地位［1］。機(jī)床運(yùn)動控制中，任何兩伺服軸間的增益不匹配或外在不平衡擾動都將降低系統(tǒng)輪廓跟蹤性能［2-3］。單純從單軸伺服控制的角度無法解決機(jī)床的輪廓精度問題，為了提高輪廓控制精度需引入外部調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)來促進(jìn)兩軸協(xié)調(diào)配合。

交叉耦合控制器因其結(jié)構(gòu)簡單且穩(wěn)定性好是輪廓控制研究熱點(diǎn)之一。其基本思想是在綜合各坐標(biāo)軸反饋信息的基礎(chǔ)上，建立實(shí)時(shí)輪廓誤差模型，尋求并建立最優(yōu)的輪廓誤差補(bǔ)償律，將輪廓誤差補(bǔ)償量送給各坐標(biāo)軸，達(dá)到減小和消除輪廓誤差的目的［4］。應(yīng)用交叉耦合輪廓控制器時(shí)需首先實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)輪廓誤差計(jì)算［2］，實(shí)際中多采用模型估計(jì)值［5］。在輪廓控制器設(shè)計(jì)方面Koren［6］最早提出交叉耦合模型，但此輪廓誤差模型只針對理想輪廓能夠用組合直線輪廓逼近的情況。為解決這一問題Shih等提出了變增益交叉耦合控制器［7-9］，使輪廓控制的應(yīng)用范圍不再局限于直線輪廓。輪廓誤差計(jì)算方面Yeh和Hsu把輪廓誤差定義為實(shí)際點(diǎn)與理想點(diǎn)切線間的向量［10］，通過補(bǔ)償可使實(shí)際點(diǎn)逼近理想點(diǎn)處切線。Yang［11］給出了實(shí)際點(diǎn)到理想點(diǎn)內(nèi)切圓的距離，利用其泰勒二階展開來估計(jì)輪廓誤差。已有研究表明，基于交叉耦合結(jié)構(gòu)的輪廓控制系統(tǒng)相比傳統(tǒng)非耦合控制系統(tǒng)有更好的輪廓控制精度，但不足在于對任意曲線軌跡輪廓誤差系數(shù)的計(jì)算量較大，控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，且多種輪廓誤差模型間估計(jì)效果缺乏比較。

本文將對直線，圓及平面任意非線性曲線下輪廓誤差情況進(jìn)行分析，介紹兩種輪廓誤差估計(jì)方法。提出一種改進(jìn)的交叉耦合輪廓控制結(jié)構(gòu)并給出基于輪廓誤差傳遞函數(shù)的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。在雙軸運(yùn)動平臺上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，比較非耦合輪廓控制與本文交叉耦合輪廓控制的控制效果，并對比不同輪廓誤差模型估計(jì)效果。

1 輪廓誤差實(shí)時(shí)估計(jì)

輪廓誤差ε(t)定義為由當(dāng)前實(shí)際位置x(t)到理想輪廓曲線S的最短距離

這里·表示歐幾里德二范數(shù)，x^表示曲線S上任意一點(diǎn)。

線性輪廓的輪廓誤差表示如下:

這里εl為線性輪廓誤差估計(jì)值;ex，ey為跟蹤誤差;α為切線傾角。

圓弧輪廓的輪廓誤差表示如下:

這里εc為圓弧輪廓誤差估計(jì)值，Pa(xa，ya)為實(shí)際坐標(biāo)位置，Oc(xc，yc)為期望圓弧圓心坐標(biāo)，r為圓弧半徑。且有xa－xc=r sinα－ex，ya－yc=－r cosα－ey。則圓弧輪廓誤差可表示為:

對式(4)進(jìn)行二階麥克勞林展開得:

當(dāng)兩軸的跟蹤誤差ex，ey遠(yuǎn)小于圓弧半徑r時(shí)，忽略式(5)中二階以上項(xiàng)可表示為:

一般非線性曲線L:F(x，y)=0的輪廓誤差模型如圖1所示，這里假設(shè)曲線L上任一點(diǎn)二階可導(dǎo)。Pa(xa，ya)為實(shí)際坐標(biāo)位置，Pd(xd，yd)為期望軌跡參考點(diǎn)，Oc(xc，yc)為Pd處內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，rd為Pd處內(nèi)切圓半徑。ε為非線性輪廓曲線L的輪廓誤差，ε*l，ε*分別為應(yīng)用式(2)中基于切線法的輪廓誤差模型和c式(6)中基于內(nèi)切圓法的輪廓誤差模型下的輪廓誤差估計(jì)值［12-13］。

圖1 平面非線性曲線的輪廓誤差

參考點(diǎn)Pd(xd，yd)處切線與X軸正方向的夾角α為:

Pd處密切圓曲率半徑rd和曲率kd可表示為:

由式(2)和式(6)，輪廓誤差模型都可描述為以下形式:

2 交叉耦合控制結(jié)構(gòu)

采用本文輪廓誤差模型的交叉耦合控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。xd和yd是運(yùn)動控制器的參考位置指令，Kx和Ky是伺服系統(tǒng)的位置環(huán)控制器，cx和cy是交叉耦合控制器的輪廓誤差分配系數(shù)，ε是經(jīng)輪廓誤差模型估計(jì)后的輪廓誤差。輪廓誤差值經(jīng)過協(xié)調(diào)控制器Kc處理后經(jīng)cx和cy把輪廓誤差補(bǔ)償值分配到各伺服軸。Gx和Gy是x、y軸包括速度環(huán)、電流環(huán)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)在內(nèi)的環(huán)節(jié)，可通過模型辨識獲得。xa和ya是各軸電機(jī)實(shí)際位置。

圖2 CCC控制結(jié)構(gòu)框圖

輪廓誤差分配系數(shù)根據(jù)輪廓誤差模型的不同而不同。根據(jù)式(2)，切線法下系數(shù)為:

把輪廓控制器從中間斷開，即圖2中Kc=0，由式(9)和圖2，輪廓誤差為:

Kc不為零時(shí)輪廓誤差模型可寫作:

根據(jù)式(6)，內(nèi)切圓法下的系數(shù)為:

圖2中輪廓控制器為閉環(huán)反饋控制結(jié)構(gòu)，交叉耦

圖2中其它傳遞函數(shù)可以寫作:

假使圖2中各單軸控制器初始狀態(tài)穩(wěn)定，則有(1/(1+KxGx)，Kc/(1+KxGx)，Gx/(1+KxGx)，KcGx/(1+KxGx)穩(wěn)定，同樣Y軸對應(yīng)部分也穩(wěn)定。由式(15)，選擇適當(dāng)Kc值可使交叉耦合控制下ε為有限值。為了簡便，這里Kc中采用P控制器。另由式(16)～式(19)，圖2系統(tǒng)內(nèi)各部分取值為有限值且穩(wěn)定，則CCC系統(tǒng)整體穩(wěn)定。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 參數(shù)設(shè)置

采用X-Y運(yùn)動平臺驗(yàn)證提出的輪廓控制器的有效性，如圖3所示。系統(tǒng)采用半閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，所用滾珠絲杠導(dǎo)程為5mm。Y軸固定于X軸上并隨之一起運(yùn)動。單軸各由一個(gè)10000脈沖/轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動。所用電機(jī)為松下MINAS A5系列電機(jī)。采用增量式編碼器把兩軸的位置信息反饋到系統(tǒng)中。系統(tǒng)的采樣頻率為1ms。

兩軸跟蹤控制器皆為PID控制結(jié)構(gòu)，速度和電流環(huán)PID控制器內(nèi)置于伺服驅(qū)動器中，其參數(shù)自動分配。位置環(huán)和交叉耦合結(jié)構(gòu)在LabVIEW平臺上實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)。圖2中(xd，yd)在LabVIEW中給出并傳送到GALIL運(yùn)動控制板卡中作為電機(jī)理想位置，(xa，ya)由電機(jī)編碼器反饋值獲得;由式(6)完成輪廓誤差計(jì)算并通過cx，cy向各伺服軸分配輪廓補(bǔ)償值;最后把各軸輪廓補(bǔ)償值疊加到下一周期位置命令上進(jìn)行下一伺服周期運(yùn)動。

圖3 X-Y雙軸運(yùn)動平臺

這里選取圓輪廓作為典型曲線輪廓來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。選取切線法和內(nèi)切圓法作為待比較的輪廓誤差估計(jì)方法。兩軸位置參數(shù)如下:

其中，t表示時(shí)間。曲線輪廓滿足方程:

3.2 不同輪廓誤差模型估計(jì)值對比

在不引入CCC的情況下進(jìn)行電機(jī)控制，在相同運(yùn)動軌跡下利用兩種輪廓誤差模型計(jì)算輪廓誤差。這里X，Y軸位置環(huán)采用PD控制器，參數(shù)為Kpx=10，Kpy= 10和Kdx=80，Kdy=80。協(xié)調(diào)控制器Kc處參數(shù)為Kpc= 1.5。兩種輪廓誤差模型下輪廓誤差估計(jì)值和真實(shí)輪廓誤差值的對比如圖4所示。其中，真實(shí)輪廓誤差數(shù)值由離線計(jì)算所得。

圖4 輪廓誤差對比結(jié)果

由圖4，相比于切線法，內(nèi)切圓法下的輪廓誤差估計(jì)值明顯更接近真實(shí)輪廓誤差值。兩種估計(jì)方法下與真實(shí)輪廓誤差值的偏差如圖5所示。偏差的平均值，最大值和均方根值見表1。由表1可得，內(nèi)切圓法下輪廓誤差偏差的平均值，最大值和均方根值相比切線法下偏差分別減小了70.49%，61.33%和68.22%，估計(jì)效果更接近真實(shí)值。

圖5輪廓誤差估計(jì)值與真實(shí)輪廓誤差的偏差

表1 輪廓誤差估計(jì)值與真實(shí)輪廓誤差的偏差(mm)

3.3 不同交叉耦合控制器輪廓誤差對比

比較引入切線法交叉耦合輪廓控制器，內(nèi)切圓法交叉耦合輪廓控制器和不加CCC控制結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)的輪廓控制效果，三種情況下的真實(shí)輪廓誤差值見圖6，其平均值，最大值和均方根值見表2。這里實(shí)驗(yàn)設(shè)備中各參數(shù)保持不變，運(yùn)動曲線輪廓不變。

圖6 不同控制結(jié)構(gòu)下真實(shí)輪廓誤差值對比

表2 輪廓控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果(mm)

由表2可知，加入CCC結(jié)構(gòu)后輪廓誤差值相比無CCC結(jié)構(gòu)時(shí)明顯減小。相比無CCC結(jié)構(gòu)，切線法交叉耦合輪廓控制在輪廓誤差平均值，最大值和均方根值上分別減小了56.16%，54.11%和55.17%，內(nèi)切圓法交叉耦合輪廓控制分別減小了63.01%，56.28%和62.07%。內(nèi)切圓法相比于切線法，在輪廓誤差平均值，最大值和均方根值分別減小了15.63%，4.72%和15.38%?？梢?，內(nèi)切圓法交叉耦合輪廓控制下的輪廓精度最高。

4 結(jié)論

本文在分析了典型曲線軌跡輪廓誤差的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種交叉耦合輪廓控制結(jié)構(gòu)，給出了基于輪廓誤差傳遞函數(shù)的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，證明了交叉耦合結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。利用典型圓輪廓曲線進(jìn)行了兩軸輪廓控制實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明:基于內(nèi)切圓法的輪廓誤差模型相比于切線法模型其估計(jì)效果更優(yōu);本文交叉耦合控制結(jié)構(gòu)相比傳統(tǒng)非耦合結(jié)構(gòu)下輪廓誤差在平均值，最大值和均方根值減小了63.01%，56.28%和62.07%。本文提出的交叉耦合輪廓控制結(jié)構(gòu)也可推廣到多軸平臺，進(jìn)而降低輪廓誤差，提高輪廓精度。

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(編輯李秀敏)

Contour Controller Design Based on Cross-coupled Control Structure

SHENG Xian-jun，XU Cai，ZHANG Ya-peng
(College of Electrical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian Liaoning 116024，China)

In order to solve the contour control problem for biaxial servo system，contour errors under typical trajectories have been studied and a cross-coupled control(CCC)structure composed of position feedback and coordination controllers is proposed in this paper.The control effects are distributed to each axis through CCC structure and stability analysis is given using the contour error transfer function.Experimentresults based on biaxialsystem show thatthe contour errors have decreased by 63.01%，56.28%and 62.07% in average，maximum and RMS values using proposed CCC structure compared with the traditional uncoupled structure.

contouring control;cross-coupled control;contour error model;biaxial servo system

TH166;TG659

A

1001－2265(2017)04－0085－04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.04.021

2017－01－19

國家973重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(2014CB046603)

盛賢君(1969—)，女，遼寧大連人，大連理工大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、微機(jī)輔助測試與控制技術(shù)，(E－mail)sxianjun@dlut.edu.cn;通訊作者:許才(1991—)，男，內(nèi)蒙古包頭人，大連理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與裝備，(E－mail)xucai1218@ mail.dlut.edu.cn。