一題多思培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

劉俊

摘要：數(shù)學(xué)之美存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，需用心體會(huì)。一題多思多解就是感受數(shù)學(xué)之美的一種途徑。筆者由一道向量題的探索，從幾何，代數(shù)，圖形等不同角度去探索，既能感受數(shù)學(xué)的殊途同歸之美，又能啟發(fā)學(xué)生不同思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。通過(guò)不同解法去探索一般規(guī)律滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在探索中學(xué)會(huì)創(chuàng)新！

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美；一題多思；創(chuàng)新能力

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們能時(shí)時(shí)感受數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)中的數(shù)，形，法則，一題多思，通過(guò)探索去感受數(shù)學(xué)的規(guī)律之美，實(shí)在是一件美事！在最近的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)一道向量題非常有意思，通過(guò)5種方法探索出一般規(guī)律，讓學(xué)生一起參與其中，分享心得，既感受了數(shù)學(xué)之美，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值?，F(xiàn)在和大家一起分享如下：

已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，記的面積為，的面積為，且，則的值為（ ）

A、 B、 C、 D、

筆者經(jīng)過(guò)思考后得出以下解法：

法一、如圖：設(shè)為中點(diǎn)，

（方法說(shuō)明：用此法解決本題比較簡(jiǎn)單，但不能解決每個(gè)小三角形和大三角形面積比，不具有通法效果。）

法二、如圖：設(shè)分別為中點(diǎn)，

原式=

三點(diǎn)共線且為中位線。

，，

（方法說(shuō)明：雖然運(yùn)算量比方法一大，但能解決每一個(gè)小三角形和大三角形的面積比，具有通法效果）

法三：（法向量法）設(shè)，

為的法向量，

則（*）。

，

代入（*）得

（方法說(shuō)明：法向量法學(xué)生雖不易掌握，但可以開(kāi)辟一條新思路，理解起來(lái)不算困難。）

法四：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得。

以和鄰邊做平行四邊形，連接交于點(diǎn)，則，即

。所以，由相似三角形知，。

（方法說(shuō)明：此法為通法，雖思路簡(jiǎn)單但計(jì)算繁瑣，且如果計(jì)算三個(gè)小三角形和大三角形面積之比需計(jì)算三次，運(yùn)算量大）

法五、特值法：

由已知得，為一個(gè)定值。既然對(duì)任意三角形都滿足，那么對(duì)特殊三角形也滿足。設(shè)為的等腰直角三角形，建立坐標(biāo)系如圖：

則，設(shè)，則 。由得：

，易知

（方法說(shuō)明：特值法是我們解決問(wèn)題的一種快捷準(zhǔn)確的方法，包括特殊值，特殊函數(shù)，特殊位置，特殊圖形等。本題用特殊圖形解決此問(wèn)題很簡(jiǎn)單，但仍然具有通法的效果！值得推薦?。?/p>

問(wèn)題變式：已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，

求（注意的關(guān)系）

由此對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步推廣，得出以下結(jié)論：

結(jié)論（1）：設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，分別是中點(diǎn)。若（其中），則在中位線上且；特別的若在內(nèi)部，則，

。

證明：如圖， ①

②

由①+②得：

即

若在內(nèi)部，則

，

進(jìn)一步證明發(fā)現(xiàn)，其逆命題也成立。

結(jié)論（2）：設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，分別是中點(diǎn)，若有

，（其中）則 。

證明：如圖：，則

整理得：

以上是筆者對(duì)這道向量題的一點(diǎn)思考，希望能得到師生們的共鳴。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)集體探索一題多解妙解，進(jìn)而去探索其一般規(guī)律發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律之美，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，相信學(xué)生能把它深深印在腦海里，永不磨滅！