學(xué)生學(xué)業(yè)成績分析的數(shù)學(xué)模型

徐楊溢

摘要：本文主要以金華二中高三某班的數(shù)學(xué)成績?yōu)槔?，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)差、方差、偏度、峰度等指標(biāo)，較單一的“絕對分?jǐn)?shù)”更全面、客觀、合理地分析了學(xué)生成績的整體特征，采用頻率直方圖，正態(tài)分布圖使得分析更加直觀、清晰。

關(guān)鍵詞：學(xué)生成績分析 絕對分?jǐn)?shù) 頻率直方圖 正態(tài)分布圖

1. 問題提出

眾所周知，初高中現(xiàn)今實行以“絕對分?jǐn)?shù)”來分析一場考試中學(xué)生的成績情況，分析學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的目的是激勵優(yōu)秀學(xué)生努力學(xué)習(xí)取得更好的成績，同時為教師如何正確地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)提供幫助。但是以“絕對分?jǐn)?shù)”來分析只能對基礎(chǔ)條件較好的學(xué)生起到促進(jìn)作用，對基礎(chǔ)條件相對薄弱的學(xué)生很難起到鼓勵作用。因此，我們需要更為全面、客觀、合理的方式來進(jìn)行評價[1]。

我們搜集了金華二中高三某班的521名學(xué)生連續(xù)四個學(xué)期的數(shù)學(xué)成績。為了更直觀地分析和比較四個學(xué)期中學(xué)生成績的整體變化以及各學(xué)期的的差異，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、總體學(xué)習(xí)成績等，運(yùn)用統(tǒng)計學(xué)知識[2]，對這521名學(xué)生的整體成績情況進(jìn)行了包括每個學(xué)期整體成績的平均值、最大值、最小值、標(biāo)準(zhǔn)差、優(yōu)秀率等多項指標(biāo)在內(nèi)的詳細(xì)分析。同時，為了更合理、科學(xué)地了解學(xué)生整體成績特征的發(fā)展趨勢，可以用偏度和峰度進(jìn)行分析。在數(shù)據(jù)處理[3]時把成績分為四個等級，120分及以上的為優(yōu)秀，105分到120分之間的為良好，90分到105分之間的為合格，小于90分的為不及格，來分析學(xué)生整體學(xué)習(xí)狀態(tài)發(fā)展趨勢。最終對學(xué)生的整體情況進(jìn)行全面、客觀、科學(xué)的分析說明。

2. 模型建立

2.1 模型一的建立

我們先從整體評價學(xué)生成績開始，對這521名學(xué)生的整體成績情況進(jìn)行包括每個學(xué)期整體成績的平均分、最高分、最低分、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、及格率等多項指標(biāo)在內(nèi)的詳細(xì)分析。

為了進(jìn)一步比較每個學(xué)期中學(xué)生整體成績較各學(xué)期平均分的偏向程度和高分層人數(shù)的比例，運(yùn)用偏度（Skewness）公式和峰度（Kurtosis）：

其中，μ表示每學(xué)期學(xué)生成績的平均分，σ表示每學(xué)期學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差，x表示每學(xué)期中學(xué)生的成績，S每個學(xué)期學(xué)生成績的偏度，K表示每個學(xué)期學(xué)生成績的峰度。

2.2 模型二的建立

為了更加直觀、清晰地觀測每個學(xué)期學(xué)生成績的分布情況，了解每個學(xué)期中學(xué)生的基礎(chǔ)掌握和四個學(xué)期中學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的整體變化。利用直方圖中各頻率面積分布同時，結(jié)合正態(tài)分布公式如下：

來進(jìn)一步分析學(xué)生的每個學(xué)期成績整體分布和學(xué)習(xí)狀況。

同時，基于把學(xué)生的成績劃分為四個等級，120分的及以上為優(yōu)秀，105分—120分的為良好，90分—105分的認(rèn)為合格，90分以下的為不合格。對每個學(xué)期中每個成績等級段的人數(shù)進(jìn)行分別分類統(tǒng)計，并直觀地將四個學(xué)期學(xué)習(xí)成績等級分布利用簇狀圓柱圖來呈現(xiàn)。

3. 模型求解

3.1 模型一的求解

運(yùn)用Excel對附件中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)統(tǒng)計后運(yùn)用平均值、最大值、最小值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、及格率等多項指標(biāo)的計算公式進(jìn)行計算并得到以下結(jié)果：

1.四個學(xué)期的總平均成績均在100分左右，體現(xiàn)了學(xué)生的總體學(xué)習(xí)情況良好；

2.四個學(xué)期的考試難度有所差異第一學(xué)期相對簡單，第3學(xué)期相對較難，但是仍可以肯定大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)能力；

3.四個學(xué)期的最高分均在135分左右，因此看出高分層學(xué)生的成績無較大波動，較為穩(wěn)定；

4.四個學(xué)期中第一、二學(xué)期的標(biāo)準(zhǔn)差較第三、四學(xué)期的大，說明一、二學(xué)期的分?jǐn)?shù)較為分散，學(xué)生的差距較大，三、四學(xué)期學(xué)生學(xué)習(xí)的差距略小。由此，說明學(xué)生的學(xué)習(xí)整體狀態(tài)具有緊張和松懈期，和所在學(xué)年中的上、下學(xué)期有關(guān)，學(xué)生在學(xué)年中的下學(xué)期學(xué)習(xí)較上學(xué)期更為緊張，差距減小。

將521名同學(xué)的四個中的每個學(xué)期的整體成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別帶入以上的兩個公式中，可得到以下結(jié)果：

1.從四個學(xué)期的峰度值可以看出，試卷難易程度決定了高分層的學(xué)生數(shù)量，可見第一學(xué)期之易和第三學(xué)期之難，同時也說明學(xué)生努力成為高分層即學(xué)習(xí)更多知識完善自我的意識增強(qiáng)，并在實際中取得了收獲；

2.據(jù)每個學(xué)期的偏度值，可以判斷出學(xué)生每個學(xué)期的總體成績分布都屬于負(fù)偏態(tài)分布，即其波峰偏向于成績較高的右側(cè)，體現(xiàn)了學(xué)生的總體成績偏向于高分，每個學(xué)期的偏度值的絕對值越大，說明偏態(tài)程度越來越嚴(yán)重，進(jìn)一步說明學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性增強(qiáng)。

3.2 模型二的求解

運(yùn)用Excel，作出四個學(xué)期學(xué)生數(shù)學(xué)成績正態(tài)分布直方圖[4]，從圖中可以得到以下結(jié)果：

1.可以清晰地觀測到，四個學(xué)期的每個學(xué)期中學(xué)生成績均主要分布在90分—120分之間，說明大部分學(xué)生學(xué)習(xí)中對于基礎(chǔ)的知識內(nèi)容掌握的比較扎實；

2.進(jìn)一步可以觀察到第一學(xué)期中學(xué)生成績正態(tài)分布在平均分109分左側(cè)所占面積比例明顯多于右側(cè)，且分布分散，即低分段的學(xué)生較多，體現(xiàn)了第一學(xué)期中學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱；

3.從第二學(xué)期至第四學(xué)期的學(xué)生成績綜合分部中發(fā)現(xiàn)頻率的主體分布逐漸向每個學(xué)期的平均分聚攏，同時高分層所占頻率面積有了明顯增加，更能肯定學(xué)生的基礎(chǔ)的不斷加強(qiáng)，大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度不斷改善，學(xué)習(xí)的興趣加深，對自身學(xué)習(xí)要求不斷提高。

把學(xué)生的成績劃分為四個等級，對每個學(xué)期中每個成績等級段的人數(shù)進(jìn)行分別分類統(tǒng)計，并直觀地將四個學(xué)期學(xué)習(xí)成績等級分布利用簇狀圓柱圖表示并得到以下結(jié)果：

1.因為四次考試的難度有所差異，導(dǎo)致學(xué)生成績等級分布出現(xiàn)明顯的不同，但也集中體現(xiàn)了大部分學(xué)生能掌握學(xué)習(xí)的基本知識；

2.通過比較可明顯觀測到，第一學(xué)期因為試卷簡單不及格人數(shù)最少，第三學(xué)期因為試卷較難不及格人數(shù)最多，但比較難度相似的第二和第四學(xué)期，發(fā)現(xiàn)低分層學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)態(tài)度不斷提高，漸漸向中分層及高分層發(fā)展。

4. 結(jié)論

運(yùn)用平均分、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度指標(biāo)等使得原本單一枯燥的分?jǐn)?shù)變得多樣化，通過比較這些指標(biāo)，可以更清楚地分析學(xué)生成績的整體特征。利用正態(tài)分布直方圖，能夠直觀、清晰地看出每個學(xué)期學(xué)生成績的整體特征。作為教師也可以通過這樣的方式來分析學(xué)生的總體成績，一味地追求單一枯燥的“絕對分?jǐn)?shù)”較不利于學(xué)生之后的學(xué)習(xí)情況。

參考文獻(xiàn)：

[1]熊永忠.《重慶科技學(xué)院學(xué)報：社會科學(xué)版》， 2006 （S1）：104-105.

[2]王文博.《統(tǒng)計學(xué)：原理、方法及應(yīng)用》， 西安：西安交通大學(xué)出版社，2010.

[3]Darnay， Arsen J. Statistical Record of the Environment. Detroit： Gale Research Inc， 1992.

[4]馬瑩瑩.用Excel畫直方圖和正態(tài)分布圖. 《科技信息》. 2011，21：685-686.