空間直線與平面平行問題的二型四策

甘肅省臨澤一中 (734200) 張元國

空間直線與平面平行問題的二型四策

甘肅省臨澤一中 (734200)
張元國

空間直線與平面的平行問題，是近年高考命題經(jīng)久不衰的熱點.如何巧妙迅捷的判定空間直線與平面平行，如何在平面內(nèi)尋找一條直線，以靜制動，探索該直線與平面平行，本文給出兩種常見類型的四種推證策略.

1.判定空間直線與平面平行

1.1 作平行平面

圖1

例1 三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，D,E,F分別為棱AC，AA1，CC1的中點.求證：B1F∥平面BDE.

分析:如圖1，取A1C1中點D1，則B1D1∥BD.又D1F∥A1C，DE∥A1C,知D1F∥DE.從而平面B1D1F∥平面BDE，又B1F?平面BDE，故B1F∥平面BDE.

評注:判定直線與平面平行時，若能找到一個平行平面，則可利用面面平行迅捷推證線面平行.

圖2

1.2 作三角形截面

例2 四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，E,F分別是AB,PD的中點.

求證：AF∥平面PEC.

分析:如圖2，過五點A,F,P,E,C外的一點D，連DA,DF分別交平面PEC于點M與P，即延長DA，CE相交于點M.只需證AF∥PM.

評注:判定直線與平面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一直線與平面外的直線平行.若能在確定該平面的點與確定該直線的點外再找到一個點，并過該點作一個三角形截面，則可巧妙地找到與平面外的直線平行的平面內(nèi)直線，然后利用線段成比例，就能巧證線面平行.

1.3 作平行四邊形截面

例3 四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，E,F分別是AB,PD的中點.求證：AF∥平面PEC.

圖3

由FM,知

AEFM.即四邊形AFME為平行四邊形.從而EM∥AF，又AF?平面PEC，故AF∥平面PEC.

評注:判定直線與平面平行時，若能經(jīng)過平面外的直線上兩點作一個與該平面都相交的平行線，就可巧妙地找到與平面外的直線平行的平面內(nèi)的直線.然后通過推證該平面四邊形是平行四邊形，就能巧證直線與平面平行.

1.4 利用平面向量基本定理

例4 在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別為AA1,B1C的中點.求證：DE∥平面ABC.

圖4

評注:判定直線與平面平行時，若能利用平面向量基本定理，選擇基底，進行向量分解，就可利用代數(shù)方法巧證直線與平面平行.

2.探索直線與平面平行

2.1 作三角形截面

例5 四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，AB=3DC=3，在棱PB上確定一點E，使得CE∥平面PAD.

圖5

評注:探索直線與平面平行，若能在確定該平面的點與確定該直線的點外再找到一個點，并過該點做一個三角形截面，則可巧妙地找到與平面外的直線平行的平面內(nèi)的直線，迅捷推證.

2.2 作平行平面

例6 四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=3，F(xiàn)在棱PA上，AF=1，E在棱PD上.若CE∥平面BDF.求PE∶ED的值.

圖6

分析:如圖6，設(shè)AC與BD交于O，過點E作EG∥FD交PA于G.又CE∥平面BDF,知平面CEG∥平面BDF,得CG∥平面BDF.

又平面CGA∩平面BDF=OF,知CG∥OF.由O為AC中點，F(xiàn)為AG中點.∴GF=AF=1,由PA=3,知PG=1.∴G為PF中點，從而E為PD中點，即PE∶ED=1∶1.

評注:探索直線與平面平行，若能找到一個平行平面，則可利用面面平行迅捷得到線面平行.

2.3 作平行四邊形截面

例7 幾何體EFG-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB=2EF.在線段AD上是否存在一點M，使GM∥平面ABFE.

圖7

分析:如圖7，過兩點G,M作兩平行線均與平面ABFE相交.

評注:探索直線與平面平行，若能經(jīng)過平面外的直線上兩點作一個與該平面都相交的平行線，就可迅捷找到與平面外的直線平行的平面內(nèi)的直線.

2.4 利用平面向量基本定理

例8 四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，AB=3DC=3，在棱PB上確定一點E，使得CE∥平面PAD.

圖8

分析:如圖8，過D作DM∥CB交AB于M，則DM=CB.

評注:探索直線與平面平行時，若能利用平面向量基本定理，選擇基底，進行向量分解，就可利用代數(shù)方法巧證線面平行.