類比推理在高中數學教學實踐中的應用研究

付長兵

【摘要】類比推理是解決數學問題的一種重要方法.它與歸納推理和演繹推理并重，是高考中的核心考向.教師要引導學生在解決數學問題中通過觀察、分析和聯(lián)想進行對比，提出猜想，找到合適的類比對象，順利地解決問題，提高能力.

【關鍵詞】高中數學；類比推理；對比

類比推理需要學生做到由此及彼，根據已知的知識來探究未知的知識，找到知識之間的聯(lián)系，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律和方法，形成自己的結論，學會分析問題和解決問題，實現(xiàn)能力的提高.在數學學習過程中，教師引導學生采用類比推理的方式來解決問題有利于學生進行發(fā)散思維，建構自己的知識框架，尋找規(guī)律，進而接受新知識，掌握新方法.

一、類比定理，體會數學性質

數學學習過程中的定理是非常多的，通過對于定理的學習和掌握有利于學生更好地理解數學規(guī)律，方便學生的解題和對于數學知識的學習.教師要引導學生尋找定理中的相似之處，把知識進行拓展和延伸，促進學生進行由此及彼的思考和探究，進而找到規(guī)律，做出猜想，提高自己的思維能力.例如，在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，則有a=bcosC+ccosB，試類比以上定理，給出三維空間四面體性質的猜想.在分析問題中，學生就可以利用類比的思想來探究問題，首先學生可以畫圖，

在四面體P-ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成角的大小，猜想其結論為S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.通過運用類比的思想，學生的思維變得更加開闊，在“求同”中逐步地學會“存異”，使學生的思維活躍，可以進行聯(lián)想和歸納，找到相似的之處，進而更深刻地理解數學性質，掌握數學解題方法和技巧，提高自己的綜合學習能力.

二、類比結論，實現(xiàn)舉一反三

數學中的很多結論學生是可以直接來運用的，只要學生能夠理解其中包含的數學知識和規(guī)律就可以靈活地應用，達到舉一反三的程度，在解題過程中表現(xiàn)出超常的表現(xiàn)和驚人的思維能力.學生不僅要掌握解題過程中得到的結論，同時還要善于進行發(fā)散思維和拓展想象，把數學規(guī)律進行巧妙的變化，實現(xiàn)規(guī)律的變通，在解決問題中做到輕松應對，觸類旁通.例如，教師提供練習題：已知數列{an}為等差數列，若am=a，an=b（n-m≥1，m，n∈N+），則am+n=nb-man-m.類比等差數列{an}的上述結論，對于等比數列{bn}（bn>0，n∈N+），若bm=c，bn=d（n-m≥2，m，n∈N+），則可以得到bm+n等于多少？學生在類比中要注意等差數列{an}和等比數列{bn}類比時，等差數列的公差對應等比數列的公比，等差數列的加減法運算對應等比數列的乘除法運算，等差數列的乘除法運算對應等比數列中的乘方開方運算.這是解決等差數列和等比數列問題中的一個通用的結論，學生要善于總結歸納，并在解決過程中靈活應用.在對于本題的分析中，學生可以設數列{an}的公差為d，數列{bn}的公比為q.因為an=a1+（n-1）d，bn=b1qn-1，am+n=nb-man-m，所以類比得bm+n=（n-m）dncm.通過對于結論的類比，學生的思維會變得更加開闊.學生要注意在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，而且要注意找兩類對象的對應元素.如，三角形對應三棱錐、圓對應球、面積對應體積等等.同時，要找到對應元素的對應關系，如，兩條邊垂直對應線面垂直或面面垂直、邊相等對應面積相等.學生掌握了這些規(guī)律會深化自己的理解和認識，靈活地對相關知識進行類比和比較，形成深刻的認識，靈活地應用知識.

三、類比方法，總結解題規(guī)律

在解決數學問題中，方法是最為重要的.教師在對學生進行教學的過程中要學會方法的引導，對學生進行“授之以漁”的教學，促進學生掌握知識，學會解決方法，形成自己的思路，進而提高能力.例如，學習了基本不等式的知識后，教師就可以引導學生去歸納總結，通過類比和比較的方式總結出求最值的方法.在類比和比較中，學生會認識到“常數代換法”是解決這類問題最為常用的方法.這個方法就是利用已知等式的變形以及代數式與“1”的積、商都是自身的性質，通過代數式的變形構造和式或積式為定值，然后利用基本不等式求解最值的方法.此種方法適用于已知兩變量之間的和或積為常數時有關代數式的最值求解問題.這類問題的基本解題步驟就是：首先，換常數，把已知條件中的等式變形為“1”的表達式；其次，精化簡，把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積或相除求商，通過變形構造和或積的定值；再次，是求最值，利用基本不等式求解最值；最后，就是回顧反思，常數代換法求解最值的關鍵在于常數的變形應用.利用這種方法求解最值應注意三個方面：首先，是條件的靈活變形，確定或分離出常數是基礎；其次，是已知等式化成“1”的表達式，是代數式等價變形的基礎；最后，利用基本不等式求解最值時要注意“一正、二定、三相等”的檢驗，否則容易出現(xiàn)錯解.學生在類比中總結出了這些規(guī)律就會輕松地應對此類相關問題，做到胸有成竹，游刃有余.

四、類比公式，強化理解記憶

牢固記住數學公式，才能夠靈活熟練地應用.教師可以引導學生采用類比的方式來進行記憶，強化學生對于公式的理解和掌握.比如，在學習圓臺的側面積公式時，教師就可以根據已經學習過的梯形面積公式進行類比，幫助學生對于圓臺公式的記憶和掌握.梯形公式是學生所熟悉的，（上底+下底）乘高除以2，其中上底指圓臺上底面圓的周長，下底指圓臺下底面圓的周長，高指圓臺的母線長.通過把它們之間的相似之處進行類比，能夠幫助學生的記憶，方便學生的理解，實現(xiàn)學生牢固地掌握公式，久久不忘.

總之，在解決數學問題時，教師要學會引導學生進行類比推理，引導學生思維方式和思維方法，促進學生在思考中掌握方法，提高能力，實現(xiàn)學生數學綜合素質的提高.