我國(guó)城鄉(xiāng)收入差距的統(tǒng)計(jì)建模
——基于各省縱向數(shù)據(jù)的MERS模型的實(shí)證分析

吳士寶， 鄭 列， 羅幼喜

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

我國(guó)城鄉(xiāng)收入差距的統(tǒng)計(jì)建模
——基于各省縱向數(shù)據(jù)的MERS模型的實(shí)證分析

吳士寶， 鄭 列， 羅幼喜

(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

使用回歸樣條線混合效應(yīng)(MERS)模型，基于各省份的縱向數(shù)據(jù)，對(duì)城鄉(xiāng)收入差距與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，證實(shí)無(wú)論是全國(guó)還是各省份城鄉(xiāng)收入比與對(duì)數(shù)人均GDP均存在庫(kù)茲涅茨曲線的倒U關(guān)系。對(duì)各省份樣本的庫(kù)茲涅茨曲線的拐點(diǎn)處的人均GDP以及到達(dá)拐點(diǎn)的時(shí)間的分析表明，我國(guó)各省在2010年以后均進(jìn)入了庫(kù)茲涅茨曲線的下降區(qū)域，城鄉(xiāng)收入差距有望進(jìn)一步縮小。

城鄉(xiāng)收入差距； 回歸樣條線混合效應(yīng)； 庫(kù)茲涅茨曲線

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，同時(shí)，收入差距(包括城鄉(xiāng)收入差距，區(qū)域間收入差距以及社會(huì)各階層的收入差距)也發(fā)生了較大變化，由一個(gè)收入較均衡的國(guó)家轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)城鄉(xiāng)間、區(qū)域間、各階層收入差距較大的國(guó)家[1]。城鄉(xiāng)收入差距是衡量收入差距的一個(gè)重要指標(biāo)。城鄉(xiāng)收入差距問(wèn)題已經(jīng)成為各省乃至全國(guó)不可忽視的社會(huì)問(wèn)題[2]，這一問(wèn)題是否能夠得以解決關(guān)乎社會(huì)能否和諧發(fā)展、共同富裕的目標(biāo)能否得以實(shí)現(xiàn)。

經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱澞腫3]在20世紀(jì)50年代中期，通過(guò)對(duì)歐美發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展資料的研究，提出了“庫(kù)茲涅茨曲線”假說(shuō)，認(rèn)為收入不平等與經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間存在著倒U型關(guān)系，即隨著經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，收入差距會(huì)先經(jīng)歷一個(gè)迅速擴(kuò)大，然后短暫的穩(wěn)定，最后逐漸縮小的過(guò)程。這一假說(shuō)無(wú)論在理論上還是在實(shí)證分析上，都引起了激烈的爭(zhēng)論[4]。

本文選取了2002-2012年全國(guó)31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市的縱向數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)城鄉(xiāng)收入差異的庫(kù)茲涅茨曲線進(jìn)行基于MERS(回歸樣條線混合效應(yīng)模型)模型的統(tǒng)計(jì)建模。MERS模型是非參數(shù)混合效應(yīng)模型的一種.它克服了使用參數(shù)模型所受的模型設(shè)定的限制，如：對(duì)城鄉(xiāng)收入差距與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)關(guān)系的研究，若采用參數(shù)模型，則必然假定其具體函數(shù)形式，現(xiàn)有研究多采用二次多項(xiàng)式形式，這樣一來(lái)，擬合曲線只可能是U型或者倒U型，即使實(shí)際曲線并非如此。非參數(shù)模型則可克服這種限制，通過(guò)平滑參數(shù)的選擇，還原其曲線的真實(shí)面目。

1 數(shù)據(jù)來(lái)源及處理

本文所用的數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站。由于2013年以后城鄉(xiāng)人均收入統(tǒng)計(jì)方法發(fā)生改變，造成數(shù)據(jù)缺失的問(wèn)題，本文選取的數(shù)據(jù)為2002-2012年各省、自治區(qū)、直轄市的縱向數(shù)據(jù)。響應(yīng)變量為城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與農(nóng)村居民人均純收入的比值Rur，預(yù)測(cè)變量為人均GDP的對(duì)數(shù)ln GDP。

2 研究方法

MERS模型是非參數(shù)混合效應(yīng)模型的一種，以Rur為響應(yīng)變量，ln GDP為預(yù)測(cè)變量的典型非參數(shù)模型混合效應(yīng)模型記作以下形式[5]：

(1)

這里η(ln GDP)為縱向數(shù)據(jù)的平滑均值函數(shù)，也叫做固定效應(yīng)函數(shù)；viln(GDP)刻畫了個(gè)體函數(shù)對(duì)總體均值函數(shù)的偏離，叫做隨機(jī)效應(yīng)函數(shù)。εij是不能為模型所解釋的測(cè)量誤差函數(shù)。

在MERS模型中，常使用含有K個(gè)結(jié)點(diǎn)(τ1，τ2，…,τK)的k階截?cái)喽囗?xiàng)式基Φp(ln GDP)為η(ln GDP)構(gòu)建估計(jì)值，使用含有Kv個(gè)結(jié)點(diǎn)(δ1，δ2，…,δKv)的kv階截?cái)喽囗?xiàng)式基Ψq(ln GDP)為vi(ln GDP)構(gòu)建估計(jì)值。則可用下式表示回歸樣條線：

(2)

這里

β=[β0,β1,…,βk+K]T

bi=[bi0,bi1,…,bi(kv+Kv)]T,i=1,2,…,n

為系數(shù)向量。記

xij=Φp(ln GDPij),zij=Ψq(ln GDPij),

Xi=[xi1,…,xini]T,yi=[Ruri1,…,Rurini]T,

R=diag(R1,…,Rn),

則式(1)可以記為以下矩陣形式

y=Xβ+Zb+ε,

(3)

在D和R已知的情況下，通過(guò)加權(quán)最小二乘法可得以下估計(jì)量[6]：

(4)

這里

V=diag(V1,…,Vn),

若D和R未知，則可使用通過(guò)EM算法迭代得到的估計(jì)值代替D和R。

在所有結(jié)點(diǎn)處的η(ln GDP)擬合值可以記作：

這里

A=X(XTV-1X)-1XTV-1

而vi(ln GDP)在結(jié)點(diǎn)的擬合向量可以記作：

這里

3 模型應(yīng)用

3.1 結(jié)點(diǎn)選擇與基函數(shù)個(gè)數(shù)的選擇

結(jié)點(diǎn)選擇采用等間距樣本分位數(shù)結(jié)點(diǎn)選擇方法[7](EquallySpacedSampleQuantilesasKnotsMethod)，原理如下：令ln GDP(1),ln GDP(2),…ln GDP(n)為結(jié)點(diǎn)的次序統(tǒng)計(jì)量。則其K個(gè)結(jié)點(diǎn)定義如下：

τr=ln GDP(1+[rn/(K+1)]),r=1,2,…,K,

這里[a]表示a的整數(shù)部分。

為了方便計(jì)算，本文采用最常用的做法，選取三次回歸樣條線，即k=3。p，q選擇應(yīng)同時(shí)考慮兩個(gè)方面：擬合優(yōu)度和模型的復(fù)雜性，本文的選擇標(biāo)準(zhǔn)為AIC，對(duì)于MERS模型，其定義如下：

AIC=-2Loglik+2[df+dfv]

df=tr(A),dfv=tr(Av)

通過(guò)R語(yǔ)言lme4程序包，嘗試不同的p，q組合，得出p=7，q=4時(shí)AIC最小，為-231.299。

3.2 構(gòu)建總體均值函數(shù)及其估計(jì)值

使用R語(yǔ)言lme4程序包的lmer函數(shù)對(duì)式(3)求解，則可以得到η(ln GDP)的MERS估計(jì)值：

圖 1 Rur總體均值函數(shù)圖像

圖1可以看出，Rur總體均值函數(shù)呈現(xiàn)出倒U形態(tài)，與庫(kù)茲涅茨假說(shuō)相吻合，城鄉(xiāng)收入差距最大時(shí)，即城鄉(xiāng)收入差距開(kāi)始降低的人均GDP為15 142元。

3.3 構(gòu)建各省、自治區(qū)、直轄市的個(gè)體函數(shù)的估計(jì)值

各省、自治區(qū)、直轄市的個(gè)體函數(shù)si(ln GDP)的估計(jì)值

利用R語(yǔ)言lme4程序包的predict函數(shù)對(duì)樣本進(jìn)行估計(jì)，得到每個(gè)省、自治區(qū)、直轄市的城鄉(xiāng)收入差距Rur的個(gè)體函數(shù)，并估計(jì)個(gè)體城鄉(xiāng)收入差距達(dá)到極值點(diǎn)極值點(diǎn)的人均GDP，得到表1。

表1 各省份進(jìn)入拐點(diǎn)的時(shí)間、拐點(diǎn)處的人均GDP

圖 2 隨機(jī)挑選的4個(gè)個(gè)體的個(gè)體擬合曲線

4 結(jié)論

本文通過(guò)研究31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市的縱向數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)城鄉(xiāng)收入差距進(jìn)行基于MERS模型的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)建模，實(shí)證分析表明我國(guó)的城鄉(xiāng)收入差距總體上支持庫(kù)茲涅茨曲線，各省、自治區(qū)、直轄市樣本的城鄉(xiāng)收入差距呈倒U曲線，從而支持了庫(kù)茲涅茨的假說(shuō)。通過(guò)對(duì)樣本的分析可以發(fā)現(xiàn)，我國(guó)各省、自治區(qū)、直轄市的城鄉(xiāng)收入差距大致在2010年以后全部進(jìn)入了倒U曲線的下降區(qū)域，表明我國(guó)的城鄉(xiāng)收入差距有望在今后一段時(shí)間，繼續(xù)逐步縮減。其中黑龍江省、西藏自治區(qū)、新疆維吾爾自治區(qū)在2002年以前就已經(jīng)進(jìn)入了倒U曲線的下降區(qū)域。通過(guò)分析樣本城鄉(xiāng)收入差距拐點(diǎn)，到達(dá)拐點(diǎn)的人均GDP，以及到達(dá)拐點(diǎn)的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)農(nóng)業(yè)比重較大的省、自治區(qū)、直轄市，到達(dá)拐點(diǎn)的人均GDP值越低，且越早到達(dá)拐點(diǎn)。

為進(jìn)一步縮小城鄉(xiāng)收入差距，各省、自治區(qū)、直轄市應(yīng)該從結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?nèi)胧?，加快?duì)農(nóng)業(yè)部門的現(xiàn)代化改造，推進(jìn)城鄉(xiāng)一體化，大力發(fā)展農(nóng)村非農(nóng)產(chǎn)業(yè)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)，促進(jìn)城鄉(xiāng)均衡發(fā)展。

[1] 王小魯，樊綱. 中國(guó)收入差距的走勢(shì)與影響因素分析[J].經(jīng)濟(jì)研究，2005(10)：24-36.

[2] 劉榮添，葉民強(qiáng).中國(guó)城鄉(xiāng)收入差異的庫(kù)茲涅茨曲線研究——基于各省份面板數(shù)據(jù)(1978-2004)的實(shí)證分析[J].經(jīng)濟(jì)問(wèn)題探索，2006(6)：9-13.

[3]KuznetsS.Economicgrowthandincomeinequality[J].AmericaEconomicReview,1955(1):1-28.

[4] 邵紅偉，靳濤.收人分配的庫(kù)茲涅茨倒U曲線——跨國(guó)橫截面和面板數(shù)據(jù)的再實(shí)證[J].中國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì)，2016(4)：22-38

[5]WuHulin,ZhangJin-Ting.Nonparametricregressionmethodsforlongitudinaldataanalysis[M].Wiley-Interscience,2005:130-136.

[6]EubankRL.Nonparametricregressionandsplinesmoothing[M].NewYork:MarcelDekker，1988:12-101.

[7]WoldS.Splinefunctionsindataanalysis[J].Technometrics,1974(16):1-11.

[責(zé)任編校： 張 眾]

Statistical Modeling of Urban and Rural Income Gap of China —An Empirical Research Based on MERS Model of Longitudinal Data

WU Shibao, ZHENG Lie, LUO Youxi

(SchoolofScience,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

The relationship of urban and rural income gap and economic growth of China and its provinces is modeled through using mixed effects regression splines(MERS) model,based on longitudinal data of China's provinces.It is verified that there exists a converse U curve relation,which Kuznets curve indicates,between urban and rural income ratio and the logarithm of GDP per capita.Then GDP per capita of each province at the inflection point of Kuznets curve,and the year when the sample reached the the inflection point are estimated.After the analysis of the samples,it is revealed that all provinces of China have entered the decreasing part of Kuznets curve, and consequently ,urban and rural income gap is expected to be narrowed in the next few years.

urban and rural income gap；MERS；Kuznets Curve

2017-02-17

國(guó)家人社部國(guó)家留學(xué)人員科技活動(dòng)擇優(yōu)資助項(xiàng)目(鄂人函「2013」277號(hào))；國(guó)家自然科學(xué)基金(HBSkFM2014001)

吳士寶(1982-)， 男， 山東省泰安人，湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，碩士研究生，研究方向?yàn)榭v向數(shù)據(jù)非參數(shù)回歸

鄭 列(1963-)，男，湖北英山人，湖北工業(yè)大學(xué)教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)

1003-4684(2017)02-0114-04

F126.2

A