應(yīng)用型本科“高等數(shù)學(xué)”微課核心內(nèi)容設(shè)計探索研究

王錦升++楊偉芳

【摘要】本文結(jié)合應(yīng)用型本科院校學(xué)生特點及“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)內(nèi)容和要求，探索研究了“高等數(shù)學(xué)”課程微課核心視頻的內(nèi)容設(shè)計.通過實驗發(fā)現(xiàn)以這些內(nèi)容作為核心進行微課教學(xué)可以提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、提高學(xué)習(xí)效果，并且使青年教師可以很快提高教學(xué)水平.

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用型本科；高等數(shù)學(xué)；微課設(shè)計；核心內(nèi)容

【基金項目】?？诮?jīng)濟學(xué)院校級教改項目（Hjyj2015022）.

一、前言

傳統(tǒng)大學(xué)“高等數(shù)學(xué)”教材保證了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、完整性，近年來出現(xiàn)的各類教改教材雖然淡化了這兩方面的要求，大力提倡應(yīng)用性，但是在教學(xué)中不應(yīng)以學(xué)生為借口降低難度、減少內(nèi)容，既要保證數(shù)學(xué)的“純”，又要照顧學(xué)生的“情”.

本文結(jié)合應(yīng)用型本科院校學(xué)生基礎(chǔ)相對較為薄弱的特點，針對“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)內(nèi)容和要求，既保證教學(xué)內(nèi)容的相對完整性，又要體現(xiàn)“夠用為主”的原則，研究設(shè)計了“高等數(shù)學(xué)”課程的微課程視頻教學(xué)內(nèi)容.

二、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計

（一）第一部分：函數(shù)與極限

視頻1：初等函數(shù)簡介，內(nèi)容是性質(zhì)、圖像、復(fù)合函數(shù)等.

視頻2：極限的概念及性質(zhì).內(nèi)容包括數(shù)列極限、函數(shù)極限.

視頻3：極限的四則運算.

視頻4：無窮小及性質(zhì).

視頻5：極限計算方法的第5、6、7種類型——無窮小性質(zhì)應(yīng)用、第一重要極限、第二重要極限.

視頻6：無窮小的比較以及極限計算方法的第8種類型——等價無窮小的應(yīng)用.視頻7：函數(shù)連續(xù)問題處理——分界點左右表達式是否一致.

（二）第二部分：一元微分及應(yīng)用

視頻1：導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用，內(nèi)容包括物理應(yīng)用、幾何應(yīng)用、數(shù)學(xué)應(yīng)用.

視頻2：導(dǎo)數(shù)基本公式和四則運算.

視頻3：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)技巧.

視頻4：隱函數(shù)求導(dǎo)技巧及應(yīng)用，包括普通隱函數(shù)、冪指函數(shù)、復(fù)雜乘除法函數(shù)、含參變量函數(shù)求導(dǎo).

視頻5：高階導(dǎo)數(shù).

視頻6：微分.

視頻7：中值定理及洛爾定理的三個反例.

視頻8：極限的計算方法第9種類型——洛必達法則.

視頻9：泰勒公式簡介——微分與泰勒公式的關(guān)系、泰勒公式的簡單推導(dǎo).

視頻10：極限計算的第9種類型——泰勒公式法.

視頻11：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，包括函數(shù)極值、最值、單調(diào)性和凹凸性.

（三）第三部分：一元積分及應(yīng)用

視頻1：不定積分的直接積分法.

視頻2：不定積分的第一換元法.

視頻3：不定積分的第二換元法，內(nèi)容包括換根式和倒代換.

視頻4：不定積分的分部積分法.

視頻5：極限計算方法的第11種類型——定積分法.

視頻6：定積分直接積分法.

視頻7：定積分換元積分法和分部積分法.

視頻8：廣義積分.

視頻9：定積分的應(yīng)用，包括微元法、求面積、求體積、求弧長.

（四）第四部分：常微分方程

視頻1：微分模型簡介.

視頻2：常數(shù)變易法.

視頻3：全微分方程及乘數(shù)因子.

視頻4：二階常系數(shù)齊次方程通解.

視頻5：二階常系數(shù)非齊次方程特解——待定系數(shù)法、微分算子.

（五）第五部分：向量代數(shù)及空間解析幾何

視頻1：向量的內(nèi)積和外積.

視頻2：空間直線.

視頻3：空間平面.

視頻4：旋轉(zhuǎn)曲面.

視頻5：二次曲面簡介.

（六）第六部分：多元微分

視頻1：二元函數(shù)極限的計算，內(nèi)容包括降元法、消元法、公式法.

視頻2：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算.

視頻3：二元抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo).

視頻4：隱函數(shù)求導(dǎo)法.

視頻5：微分法的應(yīng)用.

視頻6：方向?qū)?shù)和梯度的計算.

視頻7：多元函數(shù)的極值普通求法.

視頻8：拉格朗日乘數(shù)法.

視頻9：多元函數(shù)在閉區(qū)域上的最值.

（七）第七部分：重積分

視頻1：積分區(qū)域邊界的確定方法——投影原理下的廣義四邊界法.

視頻2：直角坐標(biāo)系下二重積分的計算.

視頻3：極坐標(biāo)系下二重積分的計算.

視頻4：三重積分計算的投影原理.

（八）第八部分：曲線積分與曲面積分

視頻1：第一類曲線積分計算.

視頻2：第二類曲線積分計算.

視頻3：格林公式.

視頻4：第二類曲線積分計算總結(jié).

（九）第九部分：級數(shù)

視頻1：級數(shù)判斂的比較標(biāo)準(zhǔn)——幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、P-級數(shù).

視頻2：正項級數(shù)的比較法判斂——常規(guī)比較法、比較法極限形式.

視頻3：正項級數(shù)的比值法、根式法判斂——格林公式.

視頻4：正項級數(shù)判斂總結(jié)——預(yù)判→證明.

視頻5：交錯級數(shù)判斂——構(gòu)造函數(shù)法.

視頻6：冪級數(shù)收斂域的計算.

視頻7：冪級數(shù)和函數(shù)的求法——逐項積分、逐項求導(dǎo).

視頻8：函數(shù)展開成冪級數(shù).

三、實證和結(jié)論

文本依據(jù)上述教學(xué)內(nèi)容的整合設(shè)計作為主要的微課視頻內(nèi)容進行實驗，得到了一系列實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)初步發(fā)現(xiàn)以這些內(nèi)容作為“高等數(shù)學(xué)”微課程的核心進行微課教學(xué)，可以提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、提高學(xué)習(xí)效果，并且使青年教師可以很快提高教學(xué)水平.