淺談復變函數(shù)中積分的計算方法

焦晶晶

【摘要】掌握復積分的計算方法對于學好復變函數(shù)至關重要.本文主要探究了復變函數(shù)的計算方法.盡管它的計算方法過程已有發(fā)表，但在此重述的目標只是為了更加系統(tǒng)，更便于計算，通過了解這些常見的積分計算方法，把它們進行整理、歸類，并以典型的例題加以說明，可以使我們在計算復變函數(shù)積分的過程中更加得心應手.

【關鍵詞】復變函數(shù)；積分計算；柯西積分定理；留數(shù)定理

一、引言

復變函數(shù)以其完美的理論成為數(shù)學的一個重要分支，是其他學科解決實際問題的強有力的工具.解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象.復變函數(shù)的積分是研究函數(shù)的一個重要工具.復變函數(shù)積分的求解問題向來被認為是復變函數(shù)教學中重點和難點問題.

復變函數(shù)積分常見的幾種計算方法：

①將積分曲線C分成為n小段時，可用定義直接計算復積分（不常用）；

②當f（z）在簡單光滑曲線C上連續(xù)時，欲計算積分時常用參數(shù)方程法，參數(shù)方程是計算復積分的基本方法；

③如果被積函數(shù)f（z）在包含積分曲線C的某一單連通域D內(nèi)處處解析，則可用牛頓-萊布尼茲公式進行計算；

④涉及圍線積分，想到利用Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、留數(shù)定理，其中留數(shù)定理應用最廣；

⑤高階導數(shù)公式可以形式地由反復用Cauchy積分公式求關于參數(shù)z0的導數(shù)得到，故有時被稱為微分Cauchy積分公式.

本文主要在理論上介紹復積分中Cauchy積分定理及由它派生出的Cauchy公式、留數(shù)定理及積分的計算問題.

二、柯西（Cauchy）積分定理

六、結束語

本文利用綜述法、比類法，以有限的篇幅介紹了復變函數(shù)積分計算的幾種一般方法，它對數(shù)學分析知識的理解和提高，以及應用新知識解決復雜問題的能力，起到拋磚引玉的作用，進而能更加深刻地體會數(shù)學這門科學不同于其他學科的魅力.