NQD隨機(jī)樣本經(jīng)驗分布函數(shù)列的收斂性

梁 瓊

(廣州工商學(xué)院，廣州 510850)

?

NQD隨機(jī)樣本經(jīng)驗分布函數(shù)列的收斂性

梁 瓊

(廣州工商學(xué)院，廣州 510850)

證明了同分布NQD序列下經(jīng)驗分布函數(shù)的依概率收斂和幾乎處處收斂的性質(zhì)，得到了與iid完全相同的結(jié)果.

兩兩NQD列;經(jīng)驗分布函數(shù);依概率收斂;幾乎處處收斂

1 定義和引理

兩兩NQD(Negatively Quadrant Dependent)列的概念是由著名的統(tǒng)計學(xué)家Lehmann[1]提出來的.它是有濃厚的統(tǒng)計背景且十分廣泛的隨機(jī)變量列，文獻(xiàn)[2]中討論了兩兩 NQD 列的Marcinkiewicz型弱大數(shù)律及Jamison型加權(quán)和的強(qiáng)穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[3]中推廣了Matula[4]的結(jié)果得到了更一般的兩兩NQD列的Kolmogorov型強(qiáng)大數(shù)律.文獻(xiàn)[5-9]研究了兩兩NQD列的極限定理、收斂性及完全收斂性.經(jīng)驗分布函數(shù)是數(shù)理統(tǒng)計中樣本估計總體常用到的函數(shù)，在獨立同分布樣本下具有良好的收斂性，本文利用以上成果討論了經(jīng)驗分布函數(shù)在NQD樣本下的收斂性，得到了兩個與獨立樣本下相同的收斂定理.

定義1[1]稱隨機(jī)變量X和Y是NQD的,若對任意實數(shù)x和y都有：

P(X

稱隨機(jī)變量列{Xn,n≥1}是兩兩NQD列.若對任何i≠j,i,j=1,2,…,Xi與Xj都是NQD的.和獨立樣本類似給出在NQD樣本下的經(jīng)驗分布函數(shù)列的定義.

則稱Fn(x)為X的經(jīng)驗分布函數(shù)，稱隨機(jī)變量列{Fn(x),n≥1}為經(jīng)驗分布函數(shù)列.

引理1[4]設(shè)1≤p<2,αp≥1或p=2,αp≥1，{Xn,n≥1}為同分布兩兩NQD列且滿足條件：

特別地,若1≤p<2,αp=1，則：

(1)

引理2[4]設(shè){Xn,n≥1}是兩兩NQD列，對任意n≥1,var(Xn)<∞,{an,n≥1}是非減的且趨于無窮的正實數(shù)序列，若滿足：

2 定理和證明

證明 (i)設(shè)Yn=I(Xn≤x),n=1,2,…,則{Yn,n≥1}也是兩兩NQD列.事實上：由Yn的定義可知，其服從兩點分布，且當(dāng)n=1,2,…，時有：

P(Yn=0)=P(Xn>x)=1-F(x),P(Yn=1)=P(Xn≤x)=F(x)

(2)

由定義1知，需要證明?(x,y)∈R2，?i,j=1,2,…,下面不等式成立：

P(Yi

(3)

不難看出如果事件Yi

現(xiàn)分塊進(jìn)行討論：

當(dāng)y≤0時，Yi

當(dāng)y>1時，Yi

當(dāng)0

當(dāng)01時，Yj

當(dāng)0

(0,0)→Yi

由式(2)得：E|Y1|=0×(1-F(x))+1×F(x)=F(x)<+∞

知{Yn,n≥1}滿足引理1在p=α=1時的條件，于是由引理1有：

證明 設(shè)Yn=I(Xn≤x)，n=1,2,…,由定理1的證明(i)知:{Yn,n≥1}也是兩兩NQD列，當(dāng)n=1,2,…時，P(Yn=0)=P(Xn>x)=1-F(x),P(Yn=1)=P(Xn≤x)=F(x),

所以EYn=F(x),varYn=F(x)(1-F(x))，

E|Yn-EYn|=E|Yn-F(x)|=F(x)(1-F(x))+(1-F(x))F(x)=2F(x)(1-F(x))

于是在引理2中，取a1=a2=…=n，顯然{n,n≥1}是非減的且趨于無窮的正實數(shù)序列，且滿足：

[1] LEHMANN E L.Some concepts of dependent[J].Ann Math Statist, 1966, 43:1137-1153.

[2] 王岳寶,蘇淳,劉許國.關(guān)于兩兩NQD列的若干極限性質(zhì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 1998,21(3):404-414.

[3] 陳平炎.兩兩NQD列的強(qiáng)大數(shù)定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2005,25A(3):386-392.

[4] MATULA P.A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables[J].Statist Probab Lett, 1992,15(3):209-213.

[5] 許敏,陳平炎.非負(fù)NQD隨機(jī)變量序列的逆矩[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2012,55(2)：201-206.

[6] 宋明珠; 吳永鋒.兩兩NQD列的極限定理[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2017,34(1):38-46

[7] 韓家俊.關(guān)于經(jīng)典強(qiáng)大數(shù)定律的一點注記[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2007,24(2):116-118.

[8] 王寬程.兩兩NQD隨機(jī)序列的完全收斂性[J].延邊大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,41(4):292-294.

[9] 吳群英.兩兩NQD列的收斂性質(zhì)[J].2002,45(3):617-624.

責(zé)任編輯：時 凌

Convergence of the Empirical Distribution Function under NQD Sequences

LIANG Qiong

(Guangzhou College of Technology and Business,Guangzhou 510850,China)

This paper demonstrates the properties of the empirical distribution function′s convergence in probability and almost sure convergence under NQD sequences. This result is the same as that of the iid.

pairwise NQD sequences; empirical distribution function; convergence in probability; almost sure convergence

2017-04-17.

梁瓊(1959-)，女，副教授，主要從事概率論極限理論的研究.

1008-8423(2017)02-0157-02

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.010

O221.4

A