時標(biāo)上一類Lotka-Volterra模型的周期解的存在性

蔣建新

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

?

時標(biāo)上一類Lotka-Volterra模型的周期解的存在性

蔣建新

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

利用迭合度理論得到了時標(biāo)上一類Lotka-Volterra模型的周期解存在的充分條件，所得結(jié)果對一些已有的結(jié)論進行了推廣.

時標(biāo)；迭合度；周期解

近年來，生物學(xué)家在對種群動力學(xué)的研究中提出了大量的微分方程模型，其中非常著名的模型是Lotka-Volterra生態(tài)模型[1-4].隨后Higer創(chuàng)立了時標(biāo)上動力方程的研究[5]，由于時標(biāo)分析理論不僅能夠統(tǒng)一連續(xù)性和離散型，從而具有重要的應(yīng)用價值,如作者蔣建新、丁彥林等作者在時標(biāo)上分別研究了具有時滯Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性和企業(yè)集群模式下的企業(yè)之間競爭的數(shù)學(xué)模型[6-7]， 因此時標(biāo)上的動力方程研究是當(dāng)前數(shù)學(xué)界非常關(guān)注的課題.作者Arditi和Ginzburg在文獻(xiàn)[8]中研究了一類Lotka-Volterra模型：

本文將在此基礎(chǔ)上研究時標(biāo)上Lotka-Volterra模型：

(1)

其中:x(t)表示t時刻捕食種群，y(t)表示t時刻被捕食種群，a(t),b(t),c(t),d(t),m(t),f(t)≥0都是定義在T上的ω-周期函數(shù)，這里T表示時標(biāo).

(2)

若令T=Z，則方程組(1)變?yōu)椴罘址匠探M(3).

(3)

1 預(yù)備知識

為了方便起見,引進以下記號:

為了敘述方便，首先給出一些基本的定義.

時標(biāo)T是指R的一個非空閉子集，對任意T，定義向前跳躍算子σ和graininess函數(shù)μ為:σ(t)=inf{s∈T∶s>t},μ(t)=σ(t)-t.當(dāng)σ(t)=t時稱t是右稠密的；當(dāng)σ(t)>t時稱t是右稀疏的.類似地可定義向后跳躍算子以及左稠密、左稀疏.

定義1[9]設(shè)函數(shù)f∶T→R，?t∈T，?ε>0，?t的鄰域U(t)?T，使得:

則稱f△為函數(shù)f的delta導(dǎo)數(shù).

稱函數(shù)f∶T→R是rd-連續(xù)的，如果它在T上的右稠密點是連續(xù)的，且在T上左稠密點左極限存在.當(dāng)設(shè)函數(shù)f是rd-連續(xù)時，存在函數(shù)F(t)，使得F△(t)=f(t)，此時定義：

關(guān)于時標(biāo)上各種計算，請參考文獻(xiàn)[9]，本文不在一一列出.

為了應(yīng)用迭合度延拓理論，引進以下記號：令X,Y是實Banach空間,設(shè)L∶DomL?X→Y為零指標(biāo)Fredholm算子,且P∶X→X,Q∶Y→Y是連續(xù)算子使得

ImP=KerL,KerQ=ImL,X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ成立.用LP表示L在DomL∩KerP上的限制,定義映射：KP∶ImL→KerP∩DomL,J∶ImQ→KerL.

(1)對任意的λ∈(0，1)，x∈?Ω∩DomL,都有Lx≠λNx，

引理2 若a,b∈T，α,β∈R，且f,g∈Crd(T)，則:

引理3 令t1,t2∈Iω,t∈T，如果g∶T→R是ω-周期函數(shù),則有:

證明：下證第一個不等式,?t∈Iω,

(1) 若t=t1，則不等式顯然成立.

同理可證第一個不等式也成立.

2 主要結(jié)果

為了得到方程組(2)的周期解存在性,首先給出迭合度理論的一些知識.設(shè)?t∈T有:

φω={(u,v)∈C(T,R2)∶u(t+ω)=u(t),v(t+ω)=v(t)}

下面給出本文的主要定理.

證明：令X=Y=φω,定義:

ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q).

令Lx=λNx，Ly=λNy，λ∈(0,1)則有:

(4)

假定(x(t),y(t))T?X是式(4)對于給定的λ∈(0,1)的解，則對式(4)在[κ，κ+ω]積分,得:

(5)

(6)

將式(5)和式(6)分別寫為:

(7)

(8)

由式(4)和式(7)可得:

(9)

同理,由式(4)和式(8)可得:

(10)

由于(x(t),y(t))T?X，故存在ξi,ηi∈Iω，i=1,2,使得

(11)

由式(7)和式(11)有

同理，由式(8)和式(11)有：

顯然這里H1,H2,H3,H4,K1,K2都與λ無關(guān).記K=K1+K2+K3,其中K3>0且滿足:

K3≥|l1|+|l2|+|L1|+|L2|.考慮代數(shù)方程：

(12)

其中μ∈[0,1],顯然方程組(12)的解(x*,y*)當(dāng)μ∈[0,1]時滿足:

l1≤x*≤L1,l2≤y*≤L2

令Ω={(x(t),y(t))∈X∶‖(x(t),y(t))‖

當(dāng)(x(t),y(t))∈?Ω∩KerL=?Ω∩R2,‖(x(t)‖+‖y(t))‖=K，由式(12)有:

從而Ω滿足引理1的條件(2)，從而有deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0，因此方程組(1)至少有一個ω-周期解.

由定理1的證明易得:

推論1:方程組(2)和(3)至少存在一個周期解.

3 結(jié)束語

本文主要利用Gaines和Mawhin提出的Mawhin迭合度理論來得到方程組(1)周期解存在的條件.本文與文獻(xiàn)[8]相比較，本文通過時間尺度將連續(xù)和離散模型統(tǒng)一起來研究，這樣對微分方程和差分方程的解的存在性及穩(wěn)定性的研究提供了方便，因此應(yīng)用范圍相對更廣.

[1] AL NOUFAEY K S,MARCHANT T R,EDWARDS M P.The diffusive Lotka-Volterra predator-prey system with delay[J].Mathematical Biosciences,2016,270:30-40.

[2] ZU LI,JIANG DA-QING.Periodic solution for a non-autonomous Lotka-Volterra predator-prey system with random perturbation[J].Applied Mathematics and Computation,2015,269:288-300.

[3] BAO XIONG-XIONG,WANG Zhi-Cheng.Existence and stability of time periodic traveling waves for a Lotka-Volterra competition system[J].Journal of Differential Equations,2013,255:2402-2435.

[4] LIU QUN.Analysis of a stochastic non-autonomous food-limited Lotka-Volterra cooperative model[J].Applied Mathematics and Computation,2015,254:1-8.

[5] HILGER S.Analysis on measure chain-a unified approach to continuous and discrete calculus[J].Results Math,1990,18(1/2):18-56.

[6] 蔣建新.時標(biāo)上一類具有時滯Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性[J].樂山師范學(xué)院學(xué)報，2016(3):13-18.

[7] 丁彥林，李永昆，龐一成.時間尺度上帶有反饋控制的企業(yè)集群競爭模型的持久性[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報，2016(2): 103-107.

[8] ARDITI R,GINZBURG L R.Coupling in predator-prey Dynamics: ratio-dependence[J].Theoret Biol,1989,139:311-326.

[9] BOHNER M,PETERSON A.Dynamic equation on time scales: An introduction with applications[M].Boston:Birkhauser,2001.

[10] GAINES R E,MAWHIN R M.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M].Berlin:Springer-Verlag,1977.

責(zé)任編輯：時 凌

Existence of Periodic Solutions for a Lotka-Volterra System on Time Scales

JIANG Jianxin

(School of Mathematics,Wenshan University,Wenshan 663000,China)

By using the Mawhin′s continuation theorem of coincidence degree theory,the sufficient conditions of the existence of periodic solution for a Lotka-Volterra system on time scales are obtained.In particular,the criteria generalize some known results.

time scales;coincidence degree;periodic solution

2017-02-24.

云南省教育廳科研項目(2013Y585)；文山學(xué)院校級項目(14WSY03).

蔣建新(1981-)，男，碩士，講師，主要從事微分方程理論及其應(yīng)用的研究.

1008-8423(2017)02-0143-05

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.007

O175.12

A