探析立體幾何在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

朱順

【摘 要】立體幾何是我們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必須學(xué)會的重要知識點(diǎn)，其在很多類型的數(shù)學(xué)知識中有著廣泛的應(yīng)用。立體幾何需要我們結(jié)合數(shù)據(jù)和圖形甚至要加上一定程度的空間思維想象才能對其進(jìn)行正確處理的一類數(shù)學(xué)難點(diǎn)。很多同學(xué)在應(yīng)用立體幾何解答高中數(shù)學(xué)題的時候會無從下手，因?yàn)橛行┦切枰鬏o助線的，我主要結(jié)合自己的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對立體幾何在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】立體幾何；高中數(shù)學(xué)

我們可以通過平時的高中數(shù)學(xué)考試發(fā)現(xiàn)，立體幾何占的分值是比較大的，部分選擇題、填空題可能都需要借助立體幾何思維解答，在大分值的解答題中也會有專門的考察立體幾何的題，因此明確立體幾何在在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用對我們整體成績的提升就有著非常重要的作用。部分同學(xué)在解答相關(guān)數(shù)學(xué)題的過程中，不能理解立體幾何的多變性，并且邏輯思維能力達(dá)不到要求，因此就容易在解題過程中出現(xiàn)錯誤。因此，我主要針對立體幾何的應(yīng)用方式和類型進(jìn)行分析，希望對同學(xué)們有所幫助。

一、構(gòu)造輔助圖形，使原命題特殊化

在解答立體幾何的過程中，構(gòu)造輔助圖形是比較常用的方式，它能夠使得題中的數(shù)量關(guān)系連接起來，幫助我們簡化解題思路。輔助圖形的構(gòu)造就是將原命題中的幾何關(guān)系進(jìn)行重新構(gòu)造，并且使得新的命題與原命題是相應(yīng)的，從而使得命題特殊化，能夠較快地找到突破口，這對于提升我們的立體幾何解題效率來說是具有重要的作用的。比如：四邊形ABCD為一個矩形（圖1），PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，作如圖2折疊：折痕EF∥DC，其中點(diǎn)E、F分別在線段PD、PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.（1）證明：CF⊥平面MDF.（2）求三棱錐M-CDE的體積。

在解答這個立體幾何題的時候，我們首先可以根據(jù)題意將能夠從原圖中找出的線段之間的關(guān)系找出來，然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化。由于題目的已知條件中有PD⊥平面ABCD，因此可以得到MD⊥CF，又可以結(jié)合MF⊥CF，由線線垂直定理可以得到CF⊥平面MDF。接下來我們來解答第二個小問題，根據(jù)題意就可以得知在現(xiàn)有的命題圖形中是難以直接進(jìn)行求解的，因此就需要構(gòu)造相應(yīng)的輔助圖形，依題意得，MD=√6/2，三角形CDB的面積就是√3/8，然后可以得到三棱錐M-CDE的體積為1/3倍的MD的長度，就是√2/16。所以，由這個題可以得知，在一些復(fù)雜的立體結(jié)合問題中借助輔助圖形能夠使得原命在不改變的情況下得以簡化，不僅能夠提升我們的解題效率，還能夠培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)邏輯思維。

二、變換圖形，巧用運(yùn)動觀點(diǎn)解題

在求解立體幾何數(shù)學(xué)題的時候，經(jīng)常會遇到一些求最值和幾何范圍的題目，這些大多是不能由立體幾何原圖直接求解的，而是需要對圖形進(jìn)行一定程度的變化，利用運(yùn)動的觀點(diǎn)進(jìn)行解答。運(yùn)動變化理念在高中物理學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用比較多，和這種立體結(jié)合運(yùn)動求解的方式類似，能夠比較準(zhǔn)確和快速地分析題目中所給的條件，然后再進(jìn)行轉(zhuǎn)化解答。比如：直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是一個直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC=√2，AC=6，BC1上有一個隨意移動的點(diǎn)P，問CP+PA1的最小值。

很明顯，這個題主要是求最小距離，但是在圖3中，并不能直接求解，因此就需要將圖形進(jìn)行一定程度的變換，使其轉(zhuǎn)化為運(yùn)動范疇，從而求出其最小值。在解答這個題的時候，我們可以先將A1與B進(jìn)行連接，然后以BC1為基礎(chǔ)，將△CBC1與△A1B1C1展開在同一平面上，再連接A1與C，這樣的話，A1C的長度就是題目要求的最小值。在計(jì)算過程中，可以求出∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，所以∠A1C1C=135°，然后根據(jù)余弦定理可以求出的A1C的長度為5√2，這就是CP+PA1的最小值。所以說，在遇到立體幾何需要求解最大值或者最小值時，就可以按照這種方式將圖形進(jìn)行變換，從而幫助我們簡化題意，達(dá)到事半功倍的效果。

三、“設(shè)而不求”，簡化運(yùn)算

在解答立體幾何相關(guān)問題的過程中，經(jīng)常會遇到很多題目中已知條件過多但是就是缺少關(guān)鍵條件的情況，在對這類題進(jìn)行解答時，通常是需要根據(jù)題意設(shè)立最合適的未知數(shù)，利用參數(shù)進(jìn)行解題，構(gòu)造已知條件和未知條件之間的關(guān)系，避開不需要求解的部分，從而比較快速地解答問題。設(shè)而不求的方式從一定程度上來說也會可以簡化運(yùn)算的，雖然其在運(yùn)算過程中增加了參數(shù)，但這只是一個對照物，然后巧妙利用參數(shù)將題目不作要求并且對解題沒有作用的數(shù)據(jù)進(jìn)行替代，從而達(dá)到快速解答的目的。這種設(shè)而不求的方式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用范圍比較窄，由于其在解答過程中需要借助參數(shù)，很多同學(xué)就不能夠?qū)ζ溥M(jìn)行全面掌握?？偟膩碚f，立體幾何的這種解題方式是能夠是降低題目難度的，如果同學(xué)們想要進(jìn)一步了解，可以與同學(xué)和老師進(jìn)行討論，我就不進(jìn)行舉例了。

四、結(jié)語

綜上所述，立體幾何在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用是比較廣泛的，其解題方式在很多數(shù)學(xué)知識中都可以用到。我說說的應(yīng)用方式并不完善，同學(xué)們還有補(bǔ)充的可以和我一起分享，希望我的論述對同學(xué)們解答相關(guān)數(shù)學(xué)題有一定的幫助。

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