盧賢慧
函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和求解問(wèn)題,它是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問(wèn)題就可以利用函數(shù)思想.在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),根據(jù)問(wèn)題的條件,構(gòu)想、組合一種新的函數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題在新的觀(guān)點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段.即通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù),把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì),并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性來(lái)解決.所以,構(gòu)造輔助函數(shù)在代數(shù)、幾何等問(wèn)題中是非常常見(jiàn)的.
本文以2016年高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第21題壓軸題為例,讓我們一起體會(huì)通過(guò)構(gòu)造函數(shù),化含參問(wèn)題為已知問(wèn)題,把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而解決函數(shù)難題.
一、試題呈現(xiàn)
已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
二、賞 析
本題考查到了函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)及方程根的問(wèn)題.在解決含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要對(duì)參數(shù)分情況討論.研究發(fā)現(xiàn)教育部考試中心所提供的參考答案不易想到,本題第二問(wèn)參考答案采用分類(lèi)討論的方法解決.作為文科學(xué)生,對(duì)分類(lèi)討論的技巧較難掌握,學(xué)生往往會(huì)感到困難,討論時(shí)常常因遺漏情況而導(dǎo)致解答不全面,難以做到不重不漏,對(duì)學(xué)生能力的要求較高,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)在有限的時(shí)間內(nèi)解決這類(lèi)問(wèn)題是有困難的.但分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)能輕松地解決此類(lèi)問(wèn)題.筆者根據(jù)這類(lèi)問(wèn)題的共性和特點(diǎn),根據(jù)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的范圍,嘗試使用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行分離變量,構(gòu)造不同的函數(shù),利用數(shù)形結(jié)合的方式解答,均得到了比較簡(jiǎn)捷的解法.
三、解法探究
解法1 變量分離直接構(gòu)造參數(shù)函數(shù)解題
可利用題設(shè)條件把參數(shù)分離出來(lái)直接構(gòu)造單個(gè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)作出函數(shù)圖像解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.
由方程f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0,
得到a=-(x-2)ex(x-1)2(x≠1),
令h(x)=-(x-2)ex(x-1)2,則h′(x)=-(x2-4x+5)ex(x-1)3,
當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),h′(x)>0,所以h(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減.
且易知當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)∈R.
要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),只需a>0.
此法根據(jù)已知條件進(jìn)行參數(shù)分離,把參數(shù)直接分離.但是很多題目是可以分離參數(shù)的,只是分離后新的函數(shù)并不太好處理,有的需要用到零點(diǎn)定理,有的需要多次求導(dǎo),有的還需要用羅比達(dá)法則,等等.
本題也可根據(jù)條件把零點(diǎn)問(wèn)題變成由方程分離出來(lái)構(gòu)造兩個(gè)基本函數(shù),作出函數(shù)圖像解決問(wèn)題.
解法2 構(gòu)造一次函數(shù)解題
由方程f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0,
得到-a(x-1)=(x-2)exx-1(x≠1).
令h(x)=(x-2)exx-1,g(x)=-a(x-1),
則h′(x)=(x2-3x+3)ex(x-1)2,顯然h′(x)>0.
當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),h′(x)>0,所以h(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,所以h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.
且易知當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)∈R.
要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則需要函數(shù)h(x)=(x-2)exx-1與函數(shù)g(x)=-a(x-1)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),又函數(shù)g(x)=-a(x-1)過(guò)定點(diǎn)(1,0),所以只需-a<0,∴a>0.
解法3 構(gòu)造二次函數(shù)解題
由方程f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0,
得到(x-2)ex=-a(x-1)2.
令g(x)=(x-2)ex,h(x)=-a(x-1)2.
則g′(x)=(x-1)ex,
當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,1)單調(diào)減遞;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.
易知g(x)=(x-2)ex在R上連續(xù),且當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)∈R.
要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則需要函數(shù)g(x)=(x-2)ex與函數(shù)h(x)=-a(x-1)2的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),則函數(shù)h(x)=-a(x-1)2必須是開(kāi)口向下的二次函數(shù),其對(duì)稱(chēng)軸為x=1,所以-a<0,a>0.
解法4 構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)解題
由方程f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0,得到ex-a=(x-1)2x-2=(x-2+1)2x-2=(x-2)+1x-2+2(x≠2).
令g(x)=ex-a,h(x)=(x-2)+1x-2+2,
作出兩個(gè)函數(shù)g(x),h(x)的圖像,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)勾函數(shù)的變化趨勢(shì),易知要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),只需a>0.
四、解題反思
函數(shù)的高考?jí)狠S題越來(lái)越難,而且含有參數(shù),很多人發(fā)現(xiàn),高考題給出來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)答案都看不懂,連答案都看不懂的題目,怎么會(huì)做呢?不過(guò)高考給出的標(biāo)準(zhǔn)答案基本沒(méi)有采用分離參數(shù)的方法,參數(shù)討論的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)自然不好把握,但是很多題目是可以分離參數(shù)的.構(gòu)造新函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法,但是有時(shí)簡(jiǎn)單地構(gòu)造函數(shù)對(duì)問(wèn)題求解帶來(lái)很大麻煩甚至是解決不了問(wèn)題的,那么怎樣合理地構(gòu)造函數(shù)就是問(wèn)題的關(guān)鍵.要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì),化簡(jiǎn)函數(shù),尤其是抓住常規(guī)基本函數(shù),利用函數(shù)草圖分析問(wèn)題,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式根式函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)的圖像力求清晰準(zhǔn)確,一些綜合性的問(wèn)題基本上是這些函數(shù)的組合體,如果適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問(wèn)題解決的突破口,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明確化.