不等式在導(dǎo)數(shù)題中的妙用

北京市和平街第一中學(xué) 吳 丘

分離變量法在高中導(dǎo)數(shù)題目中占有不可或缺的地位，很多含參導(dǎo)數(shù)題都能利用分離變量法，把參數(shù)的范圍求出來，但是還是有一些題目，是很難直接利用分離變量法做出來，或者說利用分離參數(shù)法做不是那么容易。下面我們就來處理這類問題：

背景不等式：（2010湖南）

已知函數(shù).f(x)=ln(x+1)-x.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若x>-1，求證：

這是一道高考題，當然起證明利用作差法師比較容易證明出來，這里就不再贅述了。我們重點關(guān)注第二問的結(jié)論：當x>-1時恒有不等式下面我們就來應(yīng)用這一結(jié)論處理一些看似復(fù)雜的問題

例一：

已知函數(shù)若x>0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.

常規(guī)解法：當x>0時，(x>0)恒成立，令x=1有k<2［1+ln2］

又k為正整數(shù)，∴k的最大值不大于3

下面證明當k=3時，恒成立

當x>0時(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立

令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x，則g'(x)=ln(x+1)-1,當x>e-1時,g'(x)=l n(x+1)-1,x>e-1時,g'(x)>0,當0

∴當x=e-1時,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0

當x>0時，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3

現(xiàn)在利用上邊的不等式ln(1+x)≤x來解如下：

原問題中的等價于

運用上邊的不等式：當x>-1時，恒有l(wèi)n(1+x)≤x所以有

，利用均值不等式所以k<4

所以k的最大整數(shù)是3。

從上面的解答過程中可以看出，利用不等式的解答此題相當簡潔。

例二：

現(xiàn)在讓我們來回顧2015年北京理科導(dǎo)數(shù)題：

已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

（Ⅱ）求證：當x∈(0,1)時，；

（Ⅲ）設(shè)實數(shù)k使得對x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.

解析：（1）由題可知函數(shù)f(x)的定義域是(-1,1)，則從而曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x.

（2）構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式.

當x∈(0,1)時g'(x)>0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，從而g(x)>g(0)=0，

即對任意x∈(0,1)恒成立.

（3）構(gòu)造函數(shù)，若p(x)>0對∨x∈(0,1)恒成立，則p'(0)≥0，又，即p'(0)-2-k≥0，得k≤2，又當k=2時，對x∈(0,1)恒成立，因此k的最大值為2.現(xiàn)在我們利用上邊的不等式來重新研究第三問

即，從而等價于如下式子

從上邊的兩個例子中我們可以看出，當我們直接應(yīng)用分離變量法無法操作的時候，我們不妨嘗試把函數(shù)表達式進行適當?shù)牡葍r變形。尤其我們遇到上邊這種含有對數(shù)不等式的時候，我們常常可以利用上邊的不等式進行等價變形從而使問題得到大大簡化。縱觀近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題的設(shè)計，無不對含有自然對數(shù)的式子中進行作文章。