追本溯源，注重思維訓(xùn)練
——《直線與平面垂直》教學(xué)分析

北京市第七中學(xué) 劉文志

一、概念辨析求精度

學(xué)習(xí)立體幾何的一個重要途徑就是熟練掌握每一個概念、每一個定理及其用途。教師以一組小題回顧，與學(xué)生一同復(fù)習(xí)直線與平面垂直的定義，直線和平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，明確定義定理的作用是什么，多用在什么地方，怎么用。

通過這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟知識的內(nèi)涵，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，提高學(xué)生將自然語言，圖形語言和符號語言相互之間轉(zhuǎn)化的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直覺能力。

二、思想滲透有順度

對立體幾何學(xué)習(xí)的有效性的實現(xiàn)，應(yīng)循序漸進(jìn)，有順度地滲透數(shù)學(xué)思想，不斷制造成功機(jī)會，使每一個難點的突破成為學(xué)生獲得成功的喜悅點，從而使其形成穩(wěn)定、持久的學(xué)習(xí)興趣。

例1.已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A、B，且α∩β= l ，求證：AB⊥l .

請同學(xué)們審題，也就是明白“求證題”的已知是什么?條件是什么?未知是什么?結(jié)論是什么?

生：AB⊥ll⊥面PAB

學(xué)生通過思考在弄清題意的基礎(chǔ)上,從中捕捉有用的信息,找出已知與未知的直接或者間接的聯(lián)系。

生：線線垂直線面垂直

師：會運(yùn)用直線和平面垂直的定義，判定定理及掌握線線，線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化思想證明相關(guān)題目。（學(xué)生板書解題過程）

三、思維提升帶廣度

學(xué)習(xí)立體幾何除了相關(guān)的定義，定理之外，最重要的就是要有空間想象能力。這就需要多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”。空間幾何體，特別是正方體，其中的棱與棱、棱與面之間的位置聯(lián)系，是探討直線與直線、直線與平面位置聯(lián)系的直觀載體。

例2.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1，請指出下列各組直線與

平面的位置關(guān)系，并說明理由.

(1)直線AB與平面BCC1B1；

(2) 直線AC與平面BB1D1D ；

(3) 直線BD1與平面ACB1 .

生：(1)要證直線A B與平面BCC1B1垂直，關(guān)鍵找直線AB與平面BCC1B1內(nèi)的兩條相交直線垂直，可以找BB1和BC。

師：很好，已知直線AB與平面BCC1B1垂直，那么AB與B1C 什么關(guān)系？

生：由線面垂直的定義可知AB與B1C垂直。

師：同學(xué)們還能類似在正方體ABCD-A1B1C1D1得到棱與側(cè)面或底面垂直的呢？

生：BB1垂直于面ABCD，AD垂直于面C1D1DC

師：很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。請同學(xué)們接著思考直線AC與平面BB1D1D ；BD1與AC是什么樣的位置關(guān)系呢?

生：垂直。

師：同學(xué)們很有空間想象能力和幾何直覺能力，誰來說說為什么

生：要證線線垂直找線面，要證線面垂直找線線，不斷地進(jìn)行線線垂直線面垂直之間的轉(zhuǎn)化。

師：那么BD1與B1C的位置關(guān)系怎樣呢？

生：垂直。因為B1C垂直于面ABC1D1

師：很好，直線BD1與平面ACB1的位置關(guān)系呢？

生：垂直。因為BD1垂直于B1C與AC

師：非常好。（學(xué)生板書解題過程）

四、嫻熟思維重梯度

三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，他們直觀、具體、對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力有很大的幫助。由于立體幾何學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容與學(xué)生的聯(lián)系非常密切，以形狀的角度反映現(xiàn)實世界的物體時，經(jīng)過抽象得到的空間幾何體就是現(xiàn)實世界物體的幾何模型，這些模型可以描體述現(xiàn)實世界中的許多物體。認(rèn)識空間圖形，弄清楚圖形是什么幾何體，規(guī)則的、不規(guī)則的等，從而縮短了學(xué)生與立體幾何的距離，消除學(xué)生對立體幾何的神秘感，使學(xué)生樂于接受它。

例3.如圖，在空間四邊形SABC中,SA ⊥平面ABC, ∠ABC= 90°,AN⊥SB于N,

AM ⊥SC于M .求證：

(1) AN ⊥BC;

(2) SC ⊥平面AMN.

學(xué)生先獨立思考，然后在小組內(nèi)交流。

生：要證明線垂直于線，重點分析會有哪些線面垂直，要證明直線m垂直于面β，只需要證明直線m與面β中的兩條相交的直線n和h垂直即可

師：雖然同學(xué)們在解答立體幾何題目時，題干中往往會給出特定的圖像，若缺乏空間想象力，常將空間問題看成平面問題，不能及時提取已知條件中的有關(guān)信息,識圖就難。通過剛才同學(xué)的分析，發(fā)現(xiàn)解立體幾何的不足，主要是將信息資源如何作出合乎邏輯的有效組合，充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，明確在轉(zhuǎn)化過程中前后有什么聯(lián)系是非常關(guān)鍵的。

生：SA ⊥平面ABCSA ⊥BC，又由∠ABC= 90°,可得BC ⊥平面SABBC ⊥AN(1)得證，又由AN⊥SBAN ⊥面SBCAN ⊥SC，又由

AM ⊥SC，所以SC ⊥平面AMN，(2)得證。

學(xué)習(xí)立體幾何不僅需要較強(qiáng)的邏輯思維能力，還需要弄清楚幾何體結(jié)構(gòu)特征，用豐富的空間想象能力聯(lián)想面面、線面、線線之間有哪些關(guān)系，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線是解題的常用方法之一。

例4.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，

M、N分別是A1B、B1C1的中點.求證：MN⊥平面A1BC；

學(xué)生先獨立思考，然后在小組內(nèi)交流。

生：要證明線垂直于面，需要轉(zhuǎn)化為證明直線MN垂直于平面A1BC內(nèi)的兩條相交的直線A1B和A1C即可。

生：在解答立體幾何題時,有時需要添加輔助線.這里的關(guān)鍵就是如何添加平面內(nèi)的輔助線。連結(jié)A1N和BN，由全等三角形得A1N與BN相等，推出MN垂直于A1B。再連結(jié)AC1，AC1交A1C于點O，在正方形AC1 中，AC1⊥A1C,最后通過證明平行四邊形C1NMO，得MN與C1O平行，得到MN垂直于A1C為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的歸納、概括能力，由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)入課堂尾聲。

生：本節(jié)課復(fù)習(xí)了直線與平面垂直的定義，直線和平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，掌握了線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化。

師：學(xué)習(xí)立體幾何，一方面要注意以實際出發(fā)，把學(xué)習(xí)的知識與周圍的實物聯(lián)系起來，另一方面，也要注意經(jīng)歷以現(xiàn)實的生活抽象空間圖形的過程，注重探討空間圖形的位置聯(lián)系，歸納、概括它們的判定定理和性質(zhì)定理。還有什么注意點嗎？

生：對照已知看懂圖形，理清思路總結(jié)規(guī)律，按照標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范訓(xùn)練。

師：學(xué)貴知其當(dāng)然與所以然，同學(xué)們在平時做題的過程中進(jìn)行反思，在反思中總結(jié)、提煉，不斷提升空間想象能力及分析問題和解決問題的能力。