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    復(fù)數(shù)概念教學(xué)的一種新設(shè)計(jì)

    2017-06-19 14:04何嘉穎
    科教導(dǎo)刊·電子版 2017年12期
    關(guān)鍵詞:復(fù)數(shù)概念教學(xué)

    何嘉穎

    摘 要 當(dāng)前的復(fù)數(shù)概念教學(xué)現(xiàn)狀不甚理想,致使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)常會(huì)有障礙。本文從數(shù)的歷史和學(xué)習(xí)數(shù)的過程出發(fā),結(jié)合以往學(xué)習(xí)數(shù)的模式,及從激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知需要考慮,給出復(fù)數(shù)概念教學(xué)的新設(shè)計(jì)。

    關(guān)鍵詞 復(fù)數(shù) 概念教學(xué) 新設(shè)計(jì)

    中圖分類號(hào):G422 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    1數(shù)系的發(fā)展過程

    活動(dòng)一:

    (1)分別從數(shù)學(xué)史及學(xué)習(xí)數(shù)的過程回顧已學(xué)數(shù)的發(fā)展過程,同時(shí)體會(huì)數(shù)的發(fā)展和方程之間的聯(lián)系。

    (2)從數(shù)學(xué)史體會(huì)數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。由于在實(shí)際生產(chǎn)中經(jīng)常出現(xiàn)三次方程,出于解決實(shí)際問題的需要。人們不斷探索三次方程的求根公式。在16世紀(jì),卡當(dāng)給出了三次方程的求根公式。然而,在用求根公式解三次方程時(shí),卡當(dāng)遇到了一個(gè)棘手的問題,進(jìn)而得到讓人覺得”荒唐”的結(jié)論。那么卡丹遇到了什么問題?

    2復(fù)數(shù)概念的構(gòu)建

    2.1數(shù)與方程的關(guān)系

    活動(dòng)二:從活動(dòng)1發(fā)現(xiàn)數(shù)的發(fā)展和方程之間有著密切的聯(lián)系。求解方程:,,。

    分析:引導(dǎo)學(xué)生完成下表

    求解方程有兩種方法:猜測(cè)驗(yàn)證法和公式法。在前兩個(gè)方程求解中兩種方法都得到相同的答案。然而,在第三個(gè)方程的求解中,兩種方法得到的結(jié)果不一樣。使用求根公式后方程無解,這個(gè)就是卡當(dāng)?shù)玫饺畏匠糖蟾胶笥龅降闹旅鼏栴}。

    活動(dòng)三:

    為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?

    分析:結(jié)合《推理與證明》的知識(shí),分析出現(xiàn)這種情況的原因。猜測(cè)1:兩種求解三次方程的方法都是錯(cuò)誤的。(用猜測(cè)驗(yàn)證法得出的解一定是正確的, 排除猜測(cè)1)。

    猜測(cè)2:使用求根公式時(shí),出現(xiàn)了人為錯(cuò)誤,如公式抄錯(cuò)、運(yùn)算錯(cuò)誤(經(jīng)多次驗(yàn)證及復(fù)查,排除猜測(cè)2)。

    猜測(cè)3:卡當(dāng)所給出的求根公式有錯(cuò)(把求根公式帶入三次方程后方程成立,排除猜測(cè)3)。

    猜測(cè)4:推究方程從有解到無解的原因是出現(xiàn)了,由平方根中的數(shù)是非負(fù)的,進(jìn)而使得方程無解。

    卡當(dāng)對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)及解決。

    在排除各種情況后,為求解方程,卡當(dāng)做出了一個(gè)”荒唐”的決定,承認(rèn)平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)。經(jīng)運(yùn)算,此時(shí)得到的解就和用猜測(cè)驗(yàn)證方法得到一樣。

    2.2平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)的的思考

    活動(dòng)四:從活動(dòng)3可看到承認(rèn)平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)勢(shì)在必行。這和以前學(xué)習(xí)的知識(shí)有所沖突!我們來討論這兩個(gè)問題:

    (1)在以前的學(xué)習(xí)中,為什么平方根中的數(shù)不可以是負(fù)數(shù)?

    (2)當(dāng)平方根中的數(shù)可以是負(fù)數(shù)時(shí),如,這樣的數(shù)是實(shí)數(shù)嗎?如果不是,它是什么呢?

    分析:

    (1)回歸定義,就有,由實(shí)數(shù)的平方非負(fù),有。

    (2)由“,有”的否定是“,有”。因此,這樣的數(shù)不是實(shí)數(shù),而是存在于實(shí)數(shù)系之外的數(shù)。如。

    2.3虛數(shù)單位的引入與純虛數(shù)的構(gòu)建

    活動(dòng)五:從活動(dòng)4發(fā)現(xiàn),這些數(shù)屬于實(shí)數(shù)系之外。實(shí)數(shù)系之外有多少這樣的數(shù)?

    分析:類似于,還有,;,等大量的例子??梢园l(fā)現(xiàn),,即是這類屬數(shù)的最基本單位。為寫法便利,歐拉引入了符號(hào)來簡(jiǎn)單表示,此時(shí),。所以,這些數(shù)均可簡(jiǎn)單寫為,。

    由于當(dāng)時(shí)的人們無法從現(xiàn)實(shí)中找到實(shí)際事物表示這些數(shù),所以人們認(rèn)為它們是虛無縹緲的。因此,稱i稱為虛數(shù)單位,稱,為純虛數(shù)。

    2.4虛數(shù)的構(gòu)建

    活動(dòng)六:在活動(dòng)5中,找到了實(shí)數(shù)系之外的一類數(shù),純虛數(shù)。除純虛數(shù)外,還有其他屬于實(shí)數(shù)系之外的數(shù)嗎?

    分析:我們繼續(xù)從方程入手,在之前求解二次方程時(shí),遇到△<0的情況我們便不再求解。如,x2+x+1=0,△=4<0。結(jié)合新學(xué)習(xí)的內(nèi)容,可對(duì)方程解得x = = = €保勻徊皇鞘凳蛭鰨?,方程無實(shí)數(shù)解。因此€幣彩鞘凳抵獾氖植煌詿啃槭R虼耍丫哂行問絘+b(a,b,a,b≠0)的數(shù)稱為非純虛數(shù)。

    2.5復(fù)數(shù)系的構(gòu)建以及數(shù)系擴(kuò)充

    活動(dòng)七:現(xiàn)在我們所學(xué)的數(shù)大大的增多了,除實(shí)數(shù)外,還有純虛數(shù)及非純虛數(shù)。數(shù)學(xué)家通過方程對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充先告一段落。當(dāng)然數(shù)系的擴(kuò)充還沒有終止,除實(shí)數(shù)、純虛數(shù)及非純虛數(shù)外,還有其他數(shù),但這將在更高深的數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)。現(xiàn)在,我們先提供一個(gè)更大的數(shù)系來包含實(shí)數(shù)、純虛數(shù)以及非純虛數(shù),這個(gè)數(shù)系就是復(fù)數(shù)系。

    分析:我們把純虛數(shù)以及非純虛數(shù)稱為虛數(shù),虛數(shù)的形式是a+b(a,b,b≠0)。然后把虛數(shù)和實(shí)數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的形式是a+b(a,b)。

    3結(jié)語

    設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)有:從數(shù)的發(fā)展和學(xué)習(xí)數(shù)的過程引入;結(jié)合方程求解學(xué)習(xí)新知,如,求解三次方程,造成學(xué)生認(rèn)知沖突;參考實(shí)數(shù)概念學(xué)習(xí)的模式,使學(xué)生進(jìn)行新知的構(gòu)建。

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